양 고조파 함수

수학에서, 복잡한 숫자의 단위 디스크에서 양의 고조파 함수는 원의 유한한 양의 척도의 포아송 적분으로 특징지어진다.이 결과, 헤르글로츠-리츠 표현 정리는 1911년 구스타프 헤르글로츠와 프리게스 리에스에 의해 독립적으로 증명되었다.유닛 디스크의 모든 홀오모르픽 기능에 대한 관련 공식과 특성화를 양의 실제 부품으로 부여하는데 사용할 수 있다.그러한 기능은 1907년 콘스탄틴 캐러테오도리에 의해 테일러 계수의 양적인 명확성 측면에서 이미 특징지어졌다.

조화함수에 대한 헤르글로츠-리츠 표현 정리

f(0) = 1인 장치 디스크의 양함수 f는 다음과 같이 장치 원에 확률 측정 μ가 있는 경우에만 고조파다.

${\displaystyle f(re^{i\theta }}=\int_{0}^{2\pi }{1-r^{2} \1-r^{2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}\,d\mu(\varphi).}$

이 공식은 f(0) = 1로 양의 고조파 함수를 명확하게 정의한다.

반대로 f가 양이고 고조파이고 r이_n 1로 증가하면 정의한다.

${\displaystyle f_{n}(z)=f(r_{n}z).\,}$

그러면

${\displaystyle f_{n}(re^{i\theta })={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}\,f_{n}(\varphi )\,d\phi =\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}d\mu _{n}(\varphi )}$

어디에

${\displaystyle d\mu _{n}(\varphi )={1 \over 2\pi }f(r_{n}e^{i\varphi }}\,d\varphi }}$

확률 측정값이다.

콤팩트성 인수(또는 이 경우 스틸트제스 통합에 대한 헬리의 선택 정리)에 의해, 이러한 확률 측정의 반복은 약한 한계를 가지며, 이것은 또한 확률 측정 μ이다.

r이_n 1로 증가하여 f_n(z)가 f(z) 경향이 있으므로 헤르글로츠 공식은 다음과 같다.

홀로모르픽 함수에 대한 헤르글로츠-리츠 표현 정리

f(0) = 1인 장치 디스크의 홀로모르픽 함수 f는 다음과 같이 장치 원에 확률 측정 μ가 있는 경우에만 양의 실제 부품을 갖는다.

${\displaystyle f(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\i\theta }\,d\mu(\theta).}$

이는 다음과 같은 이유로 이전의 정리로부터 따르게 된다.

• 포아송 커널은 통합의 실제 부분이다.
• 홀로모르프 함수의 실제 부분은 조화되며 스칼라의 추가까지 홀로모르프 함수를 결정한다.
• 위의 공식은 이전의 정리에 의해 주어지는 실제의 부분인 홀로모르픽 함수를 정의한다.

카라테오도리의 홀로모르픽 함수에 대한 긍정의 기준

내버려두다

${\displaystyle f(z)=1+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots }$

단위 디스크의 홀모형 함수다.그렇다면 f(z)는 다음과 같은 경우에만 디스크에 양의 실제 부품을 가지고 있다.

${\displaystyle \sum _{m}\sum _{n}a_{m-n}\boda_{m}{\overline {\n}}\geq 0}$

모든 복잡한 숫자에 대해 λ₀, λ₁, ..., λ_N, where

${\displaystyle a_{0}=2,\,\,\,a_{-m}={\overline{a_{m}}}}}}}}}$

m > 0에 대하여

사실 n > 0 에 대한 헤르글로츠 표현으로부터.

${\displaystyle a_{n}=2\int _{0}^{2\pi }e^{-in\theta }\,d\mu(\theta).}$

그러므로

${\displaystyle \sum _{m}\sum _{n}a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}=\int _{0}^{2\pi }\left \sum _{n}\lambda _{n}e^{-in\theta }\right ^{2}\,d\mu (\theta )\geq 0.}$

반대로 λ_n = z를ⁿ 설정,

${\displaystyle \sum \{m=0}^{n=0}\sum _{n=0}^{n-n}\lambda _{n}{n}}}{n}}}}{n}lambda _{n}}}=2(z),\re \f(z).}$

참고 항목

• 보슈너의 정리

참조

• Carathéodory, C. (1907), "Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen" (PDF), Math. Ann., 64: 95–115, doi:10.1007/bf01449883
• Duren, P. L. (1983), Univalent functions, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
• Herglotz, G. (1911), "Über Potenzreihen mit positivem, reellen Teil im Einheitskreis", Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, 63: 501–511
• Pommerenke, C. (1975), Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol. 15, Vandenhoeck & Ruprecht
• Riesz, F. (1911), "Sur certains systèmes singuliers d'équations intégrale", Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., 28: 33–62, doi:10.24033/asens.633