보슈너의 정리

수학에서 보슈너의 정리(살로몬 보슈너의 이름)는 실제 선에 있는 양의 유한 보렐 측정치의 푸리에 변환을 특징으로 한다. 보다 일반적으로 조화 분석에서 보치너의 정리는 푸리에가 국소 소형 아벨리아 그룹에서 연속적인 양의-확정 함수를 변환하는 것이 폰트랴긴 이중 그룹에 대한 유한한 양의 측정에 해당한다고 주장한다.

지역적으로 작은 아벨 그룹들을 위한 정리

이중 그룹 $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$을(를) 가진 로컬 콤팩트 아벨리아 그룹 G에 대한 Bochner의 정리는 다음과 같이 말한다$.$

정리 G에 대한 모든 정규화된 연속 양성-확정 함수 f에 대해(여기서 정규화는 f가 G의 단위에 1이라는 것을 의미함), $G{\displaystyle \hat{}}$ ${\$에 다음과 같은$$ 고유한 확률 측정 μ가 존재한다.

${\displaystyle f(g)=\int _{\widehat{G}\xi(g)\,d\mu(\xi ),}$

예: f는 $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에 대한 고유한 확률 측정 μs의 푸리에 변환이며$,$ $반대$로 G${\displaystyle \stackrel{}{}}$^$${\$displaystyle${\$widehat{G}}$에 대한 확률 측정의 푸리에 변환은$$ G에 대해 정규화된 연속 양성확정 함수 f이다. 이것은 사실 일대일 통신이다.

더 헬프랜드-푸리에 변환은 그룹 C*-알제브라 C*(G)와 C(G₀) 사이의 이형성이다. 그 정리는 본질적으로 두 아벨 C*-알게브라의 상태를 위한 이중 진술이다.

정리의 증명은 G의 강력한 연속적인 단일적 표현에 관한 벡터 상태를 통과한다(사실 그 증거는 모든 정규화된 연속적인 양성-확정 함수가 반드시 이 형태의 것이어야 함을 보여준다).

G에 대한 정규화된 연속 양성-확정 함수 f를 감안할 때 자연적인 방법으로 G의 강력하고 연속적인 단일함수 표현을 구성할 수 있다: F(G₀)는 유한한 지지를 가진 G에 대한 복합값 함수의 집합, 즉, h(g) = 0을 의미한다. 양-확정성 커널 K(g₁, g₂) = f(g₁ - g₂)는 F₀(G)에 (가변성) 내측 제품을 유도한다. 퇴폐를 인용하고 완성을 취함으로써 힐버트에게 공간을 준다.

${\displaystyle({\mathcal{H},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{f}),}$

그 대표적인 요소는 동등성 등급[h]이다. G의 고정 G의 경우, (U_g)(h) (g') = h(g') - g로 정의된 "시프트 연산자" U는_g [h]의 대표에 대해 단일하다. 그래서 지도는

${\displaystyle g\mapsto U_{g}}$

G on${\displaystyle }$(${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle \cdot {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ f $){\displaystyle$({\$mathcal{$H},\$langle$ \$cdot \rangele _{f$})의 단일 표현이다$.$ f의 연속성에 의해 약하게 연속적이며, 따라서 강하게 연속된다. 건설에 의해, 우리는

${\displaystyle \langle U_{g}[e],[e]\angle _{f}=f(g),}$

여기서 [e]는 G와 0의 아이덴티티에 대해 1인 함수의 등급이다. 하지만 겔판드-Fourier isomorphism, the vector state ${\displaystyle \langle \cdot [e],[e]\rangle _{f}}$ on C*(G) is the pull-back of a state on ${\displaystyle C_{0}({\widehat {G}})}$, which is necessarily integration against a probability measure μ. 그리고 나서 이형체들을 쫓아다니다 보면

${\dplaystyle \langle U_{g}[e]\angle _{f}=\int_{\widehat{G}\xi(g)\,d\mu(\xi).}$

반면, $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$^ ${\${\$widehat{G$에 대한 확률 측정 μs, 함수

${\displaystyle f(g)=\int _{\widehat{G}\xi(g)\,d\mu(\xi ),}$

정규화된 연속 양성 반응 함수. f의 연속성은 지배적인 정합화 정리로부터 따른다. 양의 정의를 위해서는 C ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}G\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$) ${\displaystyle C_{0}({\widehat{G})}$을(를) 디제너레이션하지 않은 상태로 표시하십시오$.$ 이것은 고유하게 그것의 $승수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {대수}_{}}$C b ( ${\displaystyle G\stackrel{}{}\stackrel{}{^}}$ )$${\$displaystyle C_{$b}({\$widehat{G})$의 표현으로 확장되며, 따라서 강력 연속적인 단일 표현 U_g. 위와 같이 U에_g 대한 어떤 벡터 상태에 의해 주어진 f.

${\displaystyle f(g)=\langle U_{g}v,v\angle ,}$

따라서 양성으로 판단된다.

그 두 건축물은 서로 상반된다.

특례

이산 그룹 Z의 특수한 경우에 있어서의 보슈너의 정리를 흔히 헤르글로츠의 정리(Herglotz의 표현 정리 참조)라고 하며, F(0) = 1을 갖는 Z의 함수 f는 다음과 같이 원 T에 확률 측정 μ가 존재하는 경우에만 양확정이라고 한다.

${\displaystyle f(k)=\int _{\mathb {T} }e^{-2\pi icx}\,d\mu (x).}$

마찬가지로, R에 f(0) = 1을 갖는 연속함수 f는 다음과 같은 R에 확률 측정 μ가 존재하는 경우에만 양립할 수 있다.

${\displaystyle f(t)=\int _{\mathb {R} }e^{-2\pi i\xi t}\,d\mu(\xi).}$

적용들

통계에서 보치너의 정리는 특정 유형의 시계열의 직렬 상관관계를 설명하는 데 사용될 수 있다. 공분산인 경우 평균 0의 랜덤$$ 변수${\displaystyle }${${\displaystyle {fn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}$의 시퀀스는 (광범위한) 고정 시계열이다.

${\displaystyle \operatorname {Cov}(f_{n},f_{m})}$

n - m에만 의존한다. 함수

${\displaystyle g(n-m)=\operatorname {Cov}(f_{n},f_{m})$

시계열의 자기 분산 함수라고 불린다. 평균 영점 가정으로 볼 때

${\displaystyle g(n-m)=\langle f_{n},f_{m}\angle ,}$

여기서 ⟨⋅, second⟩은 유한한 두 번째 모멘트를 가진 랜덤 변수의 힐버트 공간에 있는 내적 산물을 나타낸다. 그리고 나서 g가 정수 Ⅱ에 대한 양확정 함수라는 것은 즉시이다. 보치너의 정리에는 [0, 1]에 다음과 같은 독특한 양의 측정 μ가 존재한다.

${\displaystyle g(k)=\int e^{-2\pi icx}\,d\mu (x).}$

이 측정 μ를 시계열의 스펙트럼 측정이라고 한다. 그것은 시리즈의 "계절 트렌드"에 대한 정보를 산출한다.

예를 들어, z를 통일의 m-th 루트로 하고(현재 식별에서는 1/m ∈ [0, 1]), f는 평균 0과 분산 1의 랜덤 변수가 되도록 한다. 시계열${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{z^{n}f\}}$을(를) 고려하십시오$.$ 자기 분산 함수는

${\displaystyle g(k)=z^{k}.}$

분명히, 해당 스펙트럼 측정은 z를 중심으로 한 디라크 점 질량이다. 이는 시계열이 매 m주기마다 반복된다는 사실과 관련이 있다.

g가 충분히 빠른 붕괴를 가졌을 때 측정 μ는 르베그 측정에 대해 절대적으로 연속되며, 라돈-니코디름 파생 f는 시계열의 스펙트럼 밀도라고 불린다. g가 ℓ¹(()에 있을 때 f는 g의 푸리에 변환이다.

참고 항목

• 그룹의 양확정확정
• 특성함수(확률론)

참조

• Loomis, L. H. (1953), An introduction to abstract harmonic analysis, Van Nostrand
• M. Reed와 Barry Simon, Methods of Modern Materical Physics, vol, vol. 1975년 II, Academic Press.
• Rudin, W. (1990), Fourier analysis on groups, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-52364-X