힉스 방정식

유체역학에서 힉스 방정식 또는 때로는 브래그-호손 방정식 또는 스퀴어-롱 방정식이라고도 불리는 것은 1898년 처음 이것을 도출한 윌리엄 미치슨 힉스의 이름을 딴 축대칭 비결정 유체의 스트림 함수 분포를 설명하는 부분 미분 방정식이다.^[1][2][3]이 방정식은 또한 1950년 스티븐 브래그와 윌리엄 호손에 의해 다시 도출되었고 로버트 R에 의해 다시 도출되었다.1953년, 1956년 허버트 스콰이어에 의해.^[4][5][6]소용돌이 없는 힉스 방정식은 1842년 조지 가브리엘 스톡스에 의해 처음 도입되었다.^[7][8]플라즈마 물리학에서 나타나는 그라드-샤프라노프 방정식도 힉스 방정식과 같은 형태를 취한다.

(${\displaystyle r}$ ,${\displaystyle \theta }$, z${\displaystyle }$) ${\displaystyle (r,\theta$,${\displaystyle {}_{}}$$)}$을(를) 원통형 좌표계의 의미에서 좌표로$$ 나타내며$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$, v ${\displaystyle {\theta }_{}}$, ${\displaystyle v_{}}$) ${\displaystyle (v_}, v_{\theta },{z$ 스트림$$ $함수{\displaystyle }$ $\$ {\\$displaystytype \psi}.$로 정의할 수 있다.

${\displaystyle rv_{r}=-{\frac {\fract \\property z},\properties rv_{z}={\fract \property }}}$

축대칭 흐름의 연속성 방정식을 자동으로 만족시키는 것.힉스 방정식은 다음으로 주어진다.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}}$

어디에

${\displaystyle H(\psi )={\frac {p}{\rho}}}+{1}{1}{1}{1}{1}2}}(v_{r}^{\ta{2}+v_{z}^{2}),\quad \감마(\psi )=rv_{ta }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $H{\displaystyle }$ (${\displaystyle \psi }$) ${\displaystyle H(\psi )}$은 총 헤드, C.f. 베르누이의 원리, $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathrm{\pi }}$ {$${{\$displaystyle 2$\pi \$감마 }$가 순환되며, 둘 다 하천을 따라 보존된다.여기서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은(는) 압력이고$$ $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$은(는) 유체 밀도 입니다.${\displaystyle \mathrm{함수}}$ $H{\displaystyle }$ (${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle H(\psi )}$ 및$$ ${\displaystyle \gamma }$( ${\displaystyle ))}${\$displaystyle \Gamma (\$psi $)}$는 알려진 함수로서$$, 보통 경계 중 하나에서 규정된다.

파생

Consider the axisymmetric flow in cylindrical coordinate system ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ with velocity components ${\displaystyle (v_{r},v_{\theta },v_{z})}$ and vorticity components ${\displaystyle (\omega _{r},\omega _{\theta },\omega _{z})}$. S축대칭 흐름에서$$ ince${\displaystyle \mathrm{}0}$/$display$ = 0 {\displaystyle $\partial /\partial \theta =0},$ vorticity 구성 요소는

${\displaystyle \omega _{r}=-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}},\quad \omega _{\theta }={\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}},\quad \omega _{z}={\frac {1}{r}}{$$\frac {\cHB(rv_{\theta }}}{\propert$ r$\}\}\}.$

연속성 방정식을 통해 스트림 함수 $\psi {\displaystyle }$(${\displaystyle r}$ ,${\displaystyle z}$ )$${\$displaystyle \psi (r,z)}$을(를) 정의할 수 있다.

${\displaystyle v_{r}=-{\frac {1}{r}{{\frac {1}{r}}{\frac {\reason z}},\frac v_{z}={\frac {1}{r}{\frac {\reason }}}}}}}}}}{\frac {\frac {\frac }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

(vorticity 구성 요소 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$$omega_{r$$}$ 및 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$$displaystyle rv_{\theta }}})$는 v r $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $v_{$$r}$ 및 $v$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$${psi}$와 정확히 동일한 방식으로$$ $r{\displaystyle }$ }과 관련이 있다는$$ 점에 유의하십시오.$$따라서 vorticity의 방위 구성요소는

${\displaystyle \omega _{\theta }=-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right).}$

The inviscid momentum equations ${\displaystyle \partial {\boldsymbol {v}}/\partial t-{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\omega }}=-\nabla H}$, where ${\displaystyle H={\frac {1}{2}}(v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2})+{\frac {p}{\rho$$}}}$은 베르누이 상수, $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은(는) $유체{\displaystyle }$ 압력, pressure ${\displaystyle$ \$rho }$은(는) 축대칭 유량장에 대해 쓰면 유체 밀도가 된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}v_{\theta}\omega _{z}-v_{z}\omega _{\theta}-{\frac{\partial v_{r}}{\partial지}}&={\frac{H\partial}{r\partial}},\\v_{z}\omega _{r}-v_{r}\omega _{z}-{\frac{\partial v_{\theta}}{\partial지}}&=0,\\v_{r}\omega _{\theta}-v_{\theta}\omega _{r}-{\frac{\partial v_{z}}{\partial지}}&={\frac{H\partial}{\p.artial z}}\end{정렬}}}$

여기서 두 번째 방정식은 $D{\displaystyle ({}_{}}$ v ${\displaystyle {\theta }_{}}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mathrm{D}}$ t${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle D(rv_{\ta }}/Dt=0}($으)로 기록될 수 있으며$,$${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $/$D t {\$displaystyle D/Dt}$은 재료 파생 모델이다$$.$이$는 z ${\displaystyle z}$ -축$$ 중심의 원 형태의 재료 곡선인 순환$$ 2 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {rv}_{}}${\$displaystyle 2\pi rv_{\theta }}}$이(가) 일정하다는 것을 의미한다.

유체 운동이 꾸준하면 유체 입자가 능률적인 것을 따라 이동하는데, 즉 $\psi {\displaystyle }$= ${\displaystyle \psi =}$ 상수로$$ 주어진 표면에서 이동한다.It follows then that ${\displaystyle H=H(\psi )}$ and ${\displaystyle \Gamma =\Gamma (\psi )}$, where ${\displaystyle \Gamma =rv_{\theta }}$. Therefore the radial and the azimuthal component of vorticity are

${\displaystyle \omega _{r}=v_{r}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }},\quad \omega _{z}=v_{z}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}}$.

$v{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$ 및$$ $\Omega {\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 구성 요소는 로컬로 평행하다$$.위 표현식은 ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\$에 대해 해결하기 위해 방사형 또는 축운동량 방정식으로 대체될 수 있다$.$ 예를 들어, ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ r$${\$displaystyle \omega _{r}}$를 축운동량 방정식으로 대체하면$$ 다음과^[9] 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\omega _{\theta }}{r}}&={\frac {v_{\theta }\omega _{r}}{rv_{r}}}+{\frac {1}{rv_{r}}}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\\&={\frac {\Gamma }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}-{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}.\end{정렬}}}$

그러나 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 이 파생의 시작에 나타난 바와 같이$$ $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi}$의 단위로 표현할 수 있다$$.$\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\${\$theta }}}$을(를) $of{\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$의 단위로 표현하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}.}$

이로써 필요한 파생이 완성된다.

이 방정식

압축할 수 $없는{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{흐름}}$ D $/$ /${\displaystyle \mathrm{D}}$ t =$$0 {\$displaystyle D\rho$ /Dt$=0$의 경우, 가변 밀도를 사용하여 Chia-Shun Yih가 필요한 방정식을 도출했다.속도장은 Ih 변환을 사용하여 처음 변환된다.

${\displaystyle (v_{r}),v_{\theta },v_{z}')={\sqrt {\frac {\rho }{0}}}{0}}(v_{r}}}},{\ta }}}}}$

여기서 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 참조 밀도로, 해당하는 Stok크스 스트림 기능 ${\$은(는) 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle rv_{r}'=-{\frac {\fract \\properties z},\properties rv_{z}}={\fract \property \v_{\frcuffer r}}.}$

음의 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ 방향으로$$ 작용하는 중력을 포함시키자.이 방정식은 다음으로^[10][11] 주어진다.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi '}{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi '}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi '}{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi '}}-r^{2}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} \psi '}}{\frac {g}{\rho _{0}}}z-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi '}}}$

어디에

${\displaystyle H(\psi ')={\frac {p}{\rho _{0}}}+{\frac {\rho }{2\rho _{0}}}(v_{r}'^{2}+v_{\theta }'^{2}+v_{z}'^{2})+{\frac {\rho }{\rho _{0}}}gz,\quad \Gamma (\psi ')=rv_{\theta }'}$

참조