Hilbert 기반(선형 프로그래밍)

볼록콘 C의 힐버트 기준은 C의 모든 정수 벡터가 힐버트 기준의 벡터와 정수 계수를 갖는 원뿔형 조합인 정수 벡터의 최소 집합이다.

정의

힐버트 기준 시각화

래티스 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$d}}$와 ${\displaystyle {생성자}_{}}$가 $1{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$, ${\displaystyle n_{}{}^{}}$ Z$$d {\$displaysty a_{1},\ldots$ ,$a_{n}\$in \$mathb${Z} ^{d$}}}}}}}$이 주어진다.

${\displaystyle C=\{\lambda _{1}a_{1}+\ldots +\lambda _{n}a_{n}\mid \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\geq 0,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {R} ^{d}}$

we consider the monoid ${\displaystyle C\cap L}$. By Gordan's lemma this monoid is finitely generated, i.e., there exists a finite set of lattice points ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}\subset C\cap L}$ such that every lattice point ${\displaystyle x\in C\cap L}$ is an integ이 점들의 원뿔형 조합:

${\displaystyle x=\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{m},\quad \lambda _{1},\lambda \in \mattheb {Z},\lambda _\lambdots\geq 0}$

$x{\displaystyle }$ , - x${\displaystyle }$pointed ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x,-x\in C}$이(가) x${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$=0}$을(를) 내포하는 경우 원뿔 C를 point라고 한다$.$이 경우 C의 Hilbert 기준인 $$모노이드 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ L ${\displaystyle C\cap L}$의 고유한 최소 생성 집합이 존재한다.이 값은 다음과 같은 수정 불가능한 격자 점 세트로 주어진다.$요소{\displaystyle }$ x${\displaystyle }x{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x\in C\cap$ L$}$이(가) 0이 아닌 두 요소의 합으로 쓸 수 없는 경우, 즉, x${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle$ x$=y+z}$는 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty y=$$0}$ 또는$$ $z{\displaystyle }$= $}$을$($가)으로$$ 함축하는 경우$$, unrediscredisplaystate)라고 한다$.$

참조

• Bruns, Winfried; Gubeladze, Joseph; Henk, Martin; Martin, Alexander; Weismantel, Robert (1999), "A counterexample to an integer analogue of Carathéodory's theorem", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1999 (510): 179–185, doi:10.1515/crll.1999.045
• Cook, William John; Fonlupt, Jean; Schrijver, Alexander (1986), "An integer analogue of Carathéodory's theorem", Journal of Combinatorial Theory, Series B, 40 (1): 63–70, doi:10.1016/0095-8956(86)90064-X
• Eisenbrand, Friedrich; Shmonin, Gennady (2006), "Carathéodory bounds for integer cones", Operations Research Letters, 34 (5): 564–568, doi:10.1016/j.orl.2005.09.008
• D. V. Pasechnik (2001). "On computing the Hilbert bases via the Elliott—MacMahon algorithm". Theoretical Computer Science. 263 (1–2): 37–46. doi:10.1016/S0304-3975(00)00229-2.

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