힐베르트 기저 정리

수학, 특히 교환 대수학에서 힐베르트의 기초 정리는 노에테리안 환 위의 다항식 고리가 노에테리안임을 말합니다.

진술

If ${\displaystyle R}$ is a ring, let ${\displaystyle R[X]}$ denote the ring of polynomials in the indeterminate ${\displaystyle X}$ over ${\displaystyle R}$. Hilbert proved that if ${\displaystyle R}$ is "not too large", in the sense that if ${\displaystyle R}$ is Noetherian, $R{\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$] ${\displaystyle R[X]}$ 에 대해서도 마찬가지여야 합니다$.$ 형식적으로는,

힐베르트의 기초 정리. $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ R$}$이(가) 노에테리언 링이면 R [${\displaystyle X]}$ ${\display$ R[$X]}은($는) 노에테리언 링입니다$$.^[1]

코럴리. $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ R$}$이(가) 노에테리언 링인 경우, $R{\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle X_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ R$[X_{1},\dotsc,X_{n}}$은 노에테리언 링입니다.

이것은 대수기하학으로 다음과 같이 번역될 수 있습니다. 필드 위의 모든 대수 집합은 무한히 많은 다항식들의 공통 근들의 집합으로 설명될 수 있습니다. 힐베르트는 불변의 고리들의 유한 생성에 대한 그의 증명 과정에서 (장 위의 다항식 고리들의 특별한 경우에 대한) 정리를 증명했습니다.^[2]

힐베르트는 수학적 귀납법을 이용하여 모순에 의한 혁신적인 증명을 만들어냈습니다. 그의 방법은 주어진 이상에 대해 무한히 많은 기본 다항식을 산출하는 알고리즘을 제공하는 것이 아니라 그것들이 존재해야 한다는 것을 보여줄 뿐입니다. 그뢰브너 기저의 방법을 사용하여 기저 다항식을 결정할 수 있습니다.

증명

정리. $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이 왼쪽(resp. 오른쪽) 노에테리안 링인 경우, 다항식 $링{\displaystyle }$ R${\displaystyle }$[$]$ {\$displaystyle R[X]}$도 왼쪽(resp. 오른쪽) 노에테리안 링입니다$$.

멘트. 두 경우 모두 "왼쪽" 경우만 고려할 경우 두 가지 증명을 제공할 것입니다. 오른쪽 경우에 대한 증명은 유사합니다.

첫번째 증명

⊆${\displaystyle R}$ [$X$ ] {\displaystyle {\$mathfrak$ {a}}\subseteq R[X]}가 유한하지 않은 왼쪽 아이디얼이라고 가정합니다. 그런 다음 (의존적 선택의 공리를 사용하여) 재귀를 통해 $({\displaystyle }$b가 f ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\dots )}$ ${\$$displaystyle$ $\{f_{0$$}, f_{1$$},\ldots \}$의 순서로 다항식이 생성됩니다. 만약$$ ${\displaystyle b_{}}$가$$$f{\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}_{}}$- 1 ${\$$f_{n-1}}:$ 그런 다음 $fn$ $∈$ $∖$ b${\displaystyle f_${n$}\in${\$mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak$ {b}_{n}는 최소 차수입니다. 구성별로 {${\displaystyle {deg}_{}}$⁡${\displaystyle (f}$0$),$ deg ⁡(f 1), … {\displaystyle \{\deg(f_{0}),\deg(f_{1}),\ldots \}는 자연수의 비감소 시퀀스입니다. Let ${\displaystyle a_{n}}$ be the leading coefficient of ${\displaystyle f_{n}}$ and let ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ be the left ideal in ${\displaystyle R}$ generated by ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$. $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 이상의 사슬인 노테리안이므로

${\displaystyle(a_{0})\subset(a_{0}, a_{1})\subset(a_{0}, a_{1}, a_{2})\subset \cdots}$

종료해야 합니다. 따라서, 어떤 정수 N {\displaystyle N}에 $대하여$ b = (${\displaystyle {}_{}}$ 0$,$ …, a N-1) {\displaystyle {b}} = (a_{0},\ldots,a_{N-1})}입니다. 특히,

${\displaystyle a_{N}=\sum _{i<N}u_{i}a_{i},\qquad u_{i}\in R.}$

이제 생각해 보세요.

${\displaystyle g=\sum _{i<N}u_{i}X^{\deg(f_{N})-\deg(f_{i})}f_{i},}$

선두 ${\displaystyle {항이}_{}}$ $N$ {\$displaystyle f_${N$}}$의 선행 항과 동일한 ${\displaystyle {경우}_{}}$$;$ $또한$ g$$∈ b N${\displaystyle$g\$in {\mathfrak$ {b$\}\}$_{N}}.${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ $N$∉ b N${\displaystyle$ f_{N}\n$오틴 {\mathfrak {b}_{N$ $즉$, f ${\displaystyle N_{}}$- ${\displaystyle g_{}}$는$$∖ b N {\$displaystyle$f_{N}-g$\in${\$mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak$ {b}_{N}}가 f N $displaystyle$ f_{N}}보다 작으므로$$최소값과 모순됩니다.

두 번째 증명

⊆$R$ [$$X ] {\displaystyle {\$mathfrak$ {a}}\subseteq R[X]}을 왼쪽 이상이라고 합니다. $b{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$를 ${\$의 구성원의 선행 계수 집합이라고 가정합니다$.$ 이것은 분명히 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ R$}$보다 왼쪽 이상이므로$$${\$의 $유한$한 많은 멤버의 선행 계수에 의해 $생성$됩니다$.$ f 0,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$N-1$\}\}$입니다$.$ Let ${\displaystyle d}$ be the maximum of the set ${\displaystyle \{\deg(f_{0}),\ldots ,\deg(f_{N-1})\}}$, and let ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$ be the set of leading coefficients of members of ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, 그 ${\displaystyle \mathrm{차수}}$는${\displaystyle }$≤ k$${\$displaystyle \leq$ k$}$입니다$.$ 이전과 같이, ${\displaystyle {bk}_{}}${\$displaystyle${\$mathfrak {b}_{$k}는$$R {\$displaystyle$R}보다 이상적인 것이므로$,$ ${\$의 유한한 많은 구성원의 선행 계수에 의해 유한하게 생성됩니다$.$

${\displaystyle f_{0}^{(k)},\ldots ,f_{N^{(k)}-1}^{(k)}}$

${\displaystyle \mathrm{차수}}$ $\le$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \leq$ k$}.$ 이제$$∗ ⊆${\displaystyle }R$ [ X ] {\$displaystyle {\mathfrak${a$}}^{*}\subseteq$R[X]를 다음에 의해 생성된 왼쪽 이상이라고 가정합니다.

${\displaystyle \left\{f_{i},f_{j}^{(k)}\,:\ i<N,\,j<N^{(k)},\,k<d\right\}\!\!\;.}$

$우리$는$$∗ ⊆ {\$displaystyle {\mathfrak$ {$a}^{*}\subseteq {\mathfrak$ {a}}이 $있고$, ⊆도 ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}\subseteq {\mathfrak {a}^{*}}이라고 합니다. 모순을 위해 이것이 그렇지 않다고 가정합니다. ${\displaystyle {}^{}}$ 다음 $h$ ∈ ∖를 {\$mathfrak$ {a$}}\$setminus {\mathfrak {a}^{*}에서 ∗ {\displaystyle h}로 표시하고 그 선행$계수$를$${\displaystyle a}로 표시합니다.

사례 1: $deg$ ⁡ (${\displaystyle h}$) ≥ $d {\displaystyle$deg(h)\geq d}. 이${\displaystyle 조건}$에 관계없이 ${\mathfrak$ {b}}에서$$∈ b {\displaystyle$$a\$in$ {\mathfrak {b}}가$$있으므로 {\displaystyle a}는 왼쪽 선형 조합입니다.

${\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}}$

${\displaystyle {fj}_{}}$의 계수$$중 {\$displaystyle$ f_${j$ 을 고려합니다.

${\displaystyle h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j})}f_{j},}$

$h$ ${\displaystyle h}$와 동일한 선행 항을 가지며$,$ 또한 $h$는 {\mathfrak {a}}^{*}에서$$∗ ${\$displaystyle h_{0}\을 ∈하고 h는 ∗ {\displaystyle h\n$오틴 {\mathfrak {a$ $따라서$ h${\displaystyle }$- h ${\displaystyle {}^{}}$은$$∗ {\$displaystyle h-h_{$0}\$in {\mathfrak$ {$a}}\$setminus 와 ⁡(h - h $0)$ <$deg$⁡$(h$) {\displaystyle \deg(h-h_{0})<\deg(h))}를$$∖하여 최소값과 모순됩니다.

사례 2: ⁡ ($h$) =$k$ < d {\$displaystyle$ \ deg(h$)$ = k < d}. 그런 다음 ∈ b {\mathfrak {b}}_{k}에서 {\displaystyle a}는 왼쪽 선형 조합입니다.

${\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}^{(k)}}$

$f{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$( ${\displaystyle k_{}^{}}$) ${\$의 선행 계수 중$.$ 고려 중

${\displaystyle h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j}^{(k)})}f_{j}^{(k)},}$

우리는 사례 1과 비슷한 모순을 낳습니다.

따라서 우리의 주장은 유지되며 = $유한$하게 생성되는 ∗ {\$displaystyle {\mathfrak$ {a}}={\mathfrak {a}}^{*}이다.

우리가 두 경우로 나누어야 했던 유일한 이유는 요인을$$ $곱한{\displaystyle }$X {\$displaystyle$X}의 거듭제곱이 작도에서 음수가 아님을 보장하기 위해서였습니다.

적용들

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ R$}$을 노에테리안 가환환이라 하자. 힐베르트의 기초 정리는 몇 가지 즉각적인 상관 관계를 갖습니다.

1. 귀납법으로 R [${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{},}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle R[X_{0},\dotsc,X_{n-1]}$도 노에테리안임을 알 수 있습니다.
2. ${\displaystyle {Rn}^{}}$ ${\displaystyle R^{n}}$에 대한 임의의 아핀 품종(즉, 다항식 집합의 로커스 집합)은 ${\displaystyle {이상적}_{}}$인 ⊂ R${\displaystyle [{}_{}}$0,${\displaystyle {}_{}}$…,${\displaystyle {\mathrm{X}}_{}}$n - 1] ${\displaystyle {\mathfrak$ {$a}\subset$R[X_{$0},\dotsc,$X_{n-1]}의 위치로 쓰여질 수 있고, 나아가 생성자의 로커스로서, 따라서 모든 아핀 다양체는 유한한 많은 다항식들의 위치, 즉 유한한 많은 초표면들의 교집합이 됩니다.
3. If ${\displaystyle A}$ is a finitely-generated ${\displaystyle R}$-algebra, then we know that ${\displaystyle A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}}$, where ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ is an ideal. 기본 정리는 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}$이(가) 유한하게 생성되어야 한다는 것을 의미합니다. $예$를 들어, a = (${\displaystyle {}_{}}$ 0$,$ …, p N - 1) {\displaystyle {\mathfrak {a}} = (p_{0},\dotsc,p_{N-1})}. ${\displaystyle$ A$}$이(가) 최종적으로 표시됩니다.

형식적 증명

힐베르트의 기초 정리의 공식적인 증명은 미자르 프로젝트(HILBASIS 파일 참조)와 린(_theory.polynomial 참조)을 통해 검증되었습니다.

참고문헌

더보기

• Cox, Little, and O'Shea, Ideal, Variety, Algorithms, Springer-Verlag, 1997.

• Roman, Stephen (2008), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (Third ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5