가환 대수

교환대수의 선구자 중 한 명인 에미 노에터가 E로 보낸 1915년 엽서.피셔, 가환대수 연구에 대해 얘기하고 있어

먼저 이상 이론으로 알려진 가환대수는 가환환, 그 이상, 그리고 그러한 고리에 대한 모듈을 연구하는 대수학의 한 분야이다.대수기하학과 대수적 수 이론은 모두 교환대수를 기반으로 한다.가환환의 대표적인 예로는 다항식 고리, 일반 $\mathbb {Z}$ Z(\ $displaystyle \mathbb {Z$ ;) 및 p-adic ^[1]정수를 포함한 대수 정수의 고리 등이 있습니다.

교환대수는 체계에 대한 국지적 연구의 주요 기술 도구이다.

꼭 가환적이지는 않은 고리에 대한 연구는 비가환 대수라고 알려져 있다; 그것은 고리 이론, 표현 이론, 바나흐 대수의 이론을 포함한다.

개요

교환대수는 본질적으로 대수적 수 이론과 대수적 기하학에서 발생하는 고리에 대한 연구이다.

대수적 수론에서, 대수적 정수의 고리는 교환환의 중요한 클래스를 구성하는 데데킨드 고리이다.모듈식 산술과 관련된 고려사항으로 인해 밸류에이션 링의 개념이 생겨났다.대수적 필드 확장이 하위 링으로 제한됨에 따라 적분 확장 및 통합 폐쇄 도메인의 개념뿐만 아니라 평가 링의 확장이라는 개념도 생겨났다.

링의 국부화 개념(특히 일차 이상에 대한 국부화, 단일 원소와 총 몫환의 역방향으로 구성된 국부화)은 교환 대수와 비환의 이론 사이의 주요 차이점 중 하나이다.이것은 하나의 최대 이상만을 갖는 국소 고리인 교환 고리의 중요한 클래스로 이어집니다.교환환의 주요 이상 집합은 당연히 자리스키 토폴로지를 갖추고 있습니다.이 모든 개념은 대수기하학에서 널리 사용되며 그로텐디크에 의해 도입된 대수기하학의 일반화인 체계론의 정의를 위한 기본적인 기술적 도구이다.

가환대수의 다른 많은 개념들은 대수기하학에서 발생하는 기하학적 개념의 대응물이다.이것은 크룰 차원, 1차 분해, 규칙 고리, 코헨-맥컬리 고리, 고렌슈타인 고리 및 기타 많은 개념의 경우이다.

역사

처음에 이상 이론으로 알려진 이 주제는 에른스트 쿠머와 레오폴드 크로네커의 초기 연구에 바탕을 둔 이상에 대한 리하르트 데데킨드의 연구로 시작되었다.나중에 David Hilbert는 초기 용어 숫자 링을 일반화하기 위해 링이라는 용어를 도입했습니다.힐버트는 복잡한 분석과 고전적인 불변성 이론과 같은 것에 기반을 둔 보다 구체적이고 계산적으로 지향적인 방법을 대체하기 위해 보다 추상적인 접근법을 도입했다.차례로, 힐버트는 에미 노에테르에게 강한 영향을 끼쳤는데, 에미 노에테르는 현재 노에테리안 상태로 알려진 상승 사슬 상태에 관해 많은 초기 결과를 재연했다.또 다른 중요한 이정표는 힐베르트의 제자 이매뉴얼 래스커의 작품인데, 그는 일차적인 이상을 소개했고 래스커-노에테르 정리의 첫 번째 버전을 증명했다.

성숙한 과목으로 교환대수의 탄생에 책임이 있는 주요 인물은 볼프강 크럴로, 규칙적인 국소환의 국소환과 국소환의 국소환의 국소화와 완성의 기본 개념을 도입했다.그는 노에테르 고리에 대한 크럴 치수의 개념을 확립한 후 일반 평가 고리 및 크럴 고리에 대한 이론을 확장했습니다.오늘날까지, 크룰의 주요 이상 정리는 가환 대수에서 가장 중요한 기본 정리로 널리 여겨지고 있다.이러한 결과는 교환대수를 대수기하학으로 도입하는 길을 닦았고, 이는 후자의 주제를 혁신할 아이디어이다.

가환대수의 현대적 발전의 대부분은 모듈을 강조한다.링 R과 R-대수의 이상은 모두 R-모듈의 특수한 경우이기 때문에 모듈 이론에는 링 확장 이론과 이상 이론이 모두 포함됩니다.크로네커의 연구에서 이미 초기 단계였지만 모듈 이론을 이용한 가환대수에 대한 현대적 접근은 대개 크룰과 노에테르에 의해 인정된다.

주요 도구 및 결과

노에테르 고리

수학에서, 특히 고리 이론으로 알려진 현대 대수학 분야에서, 에미 노에터의 이름을 딴 노에테르 고리는 비어있지 않은 모든 이상 집합이 최대 원소를 갖는 고리이다.마찬가지로 링이 이상에 대한 상승 사슬 조건, 즉 다음과 같은 사슬 조건을 만족하는 경우 노에테르식이다.

I_{1}\subseteq \cdots I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq \cdots

다음과 같은 n이 존재합니다.

I_{n}=I_{n+1}=\cdots

교환 링이 노에테리언이 되기 위해서는 링의 모든 주요 이상이 최종적으로 생성되는 것으로 충분하다.(결과는 I.S. Cohen 덕분입니다.)

노에테르 고리의 개념은 교환환 이론과 비교환환 이론 모두에서 근본적으로 중요한데, 이는 고리의 이상적인 구조를 단순화하는 역할을 하기 때문입니다.예를 들어, 정수의 고리와 필드 위의 다항식 고리는 둘 다 노에테르 고리이며, 결과적으로 라스케르-노에테르 정리, 크룰 교차 정리, 힐베르트의 기본 정리 보유와 같은 이론들이 있다.게다가 고리가 노에테리안이라면, 그것은 주요 이상에 대한 하강 사슬 조건을 만족시킨다.이 성질은 노에테르 고리에 대한 깊은 차원의 이론을 크룰 차원 개념에서 시작한다는 것을 암시합니다.

힐베르트 기저 정리

정리 - R이 왼쪽(오른쪽) Noetherian 고리인 경우 다항식 고리 R[X]도 왼쪽(오른쪽) Noetherian 고리입니다.

힐베르트의 기본정리는 몇 가지 직접적인 결과를 가지고 있다.

유도하면 R $R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ [ $R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ $R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ , $R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ , $R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ n - $]$ { $displaystyle$ R [ $X$ _ { $0$ , \ $dotsc$ , X $_$ { n - 1 $}$ }도 $R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ Noetherian이 됩니다.
$R^{n}$ n {\ $displaystyle$ R $^{n}($ 즉, 다항식 집합의 궤적 집합)을 초과하는 아핀 품종은 ${\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ a ${\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ R [ ${\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ , ${\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ , ${\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ n - ${\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ ](\ $displaystyle {a}$ \ $subset$ R [ $X _$ $0$ , ${\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ , \ $dot$ 1 $} )$ 의 궤적으로 쓸 수 있으므로,최종 다항식의 궤적, 즉 최종 다항식의 교집합이다.
$A(\$ $displaystyle$ A $)$ 가 $A$ 최종 생성된 R $(\displaystyle$ R $)$ - algebra인 $R$ $경우$ $A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}$ ) [ $A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}$ 0 $A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}$ $A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}$ $A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}$ - $A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}$ / $A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}$ { $displaystyle$ A $\simeq$ R $[X_{0},\dotsc,X_n-1]/{mathfrak$ $A$ $($ 서)임을 $A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}$ 수 있습니다. $기본정리$ 는 예를 ${\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})$ a $=$ ( ${\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})$ 0 ${\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})$ , ${\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})$ , p ${\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})$ - 1) ${\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})$ { $displaystyle$ {a}=( $p_$ {0},\ $dotsc,p_{N-1$ {displaystyle { $mathfrak {a$ $}$ 을 ${\mathfrak {a}}$ $($ 를) 생성해야 함을 ${\mathfrak {a}}$ 합니다.최종적으로는 $,$ 「 $디스플레이$ 스타일 A $」$ 가 $A$ $표시$ 됩니다.

일차 분해

링의 이상적인 Q는 Q가 적절한 경우 1차이며, xy xy Q는 어떤 양의 정수 n에 대해 x q Q 또는ⁿ y q Q 중 하나라고 한다.Z에서 일차 이상은 정확히 p 형식의^e 이상이다. 여기서 p는 소수이고 e는 양의 정수이다.따라서, n의 1차 분해는 n을 최종적으로 많은 1차 이상들의 교집합으로 나타내는 것에 대응한다.

여기에 주어진 라스카-노에테르 정리는 산술의 기본 정리의 특정한 일반화라고 볼 수 있다.

Lasker-Noether 정리 - R을 교환 Noetherian 고리로 하고, 내가 R의 이상이 되도록 하자.그렇다면 나는 분명히 많은 주요 이상과 뚜렷한 급진파의 교차점이라고 할 수 있다. 즉, 다음과 같다.

I=\bigcap _{i=1}^{t}Q_{i}

모든 i에 대해서는 Q 프라이머리, i j j에 대해서는 Rad(Q_i) rad Rad(Q_j)를 사용한다_i.게다가 다음과 같은 경우:

{{displaystyle I=\bigcap_{i=1}^{k}P_{i}}

는 Rad(P_i) are Rad_j(P)로 I를 분해하는 것이며, I의 두 분해는 모두 비장하다({Q_t, ..., Q} 또는₁ {P_k, ..., P}의₁ 적절한 부분 집합이 I와 동일한 교차를 생성하지 않음을 의미함), t = k 및 (Q Rad(Q_i)를_i 재넘버링한 후)

I의 모든 1차 분해에 대해, 모든 라디칼 집합, 즉 집합 {Rad(Q₁), ..., Rad(Q_t)}은 라스카-노에테르 정리에 의해 동일하게 유지됩니다.실제로 (Noetherian 링의 경우) 세트는 모듈 R/I의 어쌔신레이터, 즉 R/I의 모든 소멸자(R 위의 모듈로 간주)의 프라임 세트인 것으로 판명되었습니다.

현지화

현지화는 특정 링 또는 모듈에 "분자"를 도입하는 정식 방법입니다.즉, 기존 링/모듈에서 새로운 링/모듈을 도입하여 분수로 구성됩니다.

{\frac {m}{s}}

s

.

displaystyle {frac {m}{s

여기서 분모의 범위는 R의 주어진 부분 집합 S이다.전형적인 예는 정수의 고리 Z에서 유리수의 고리 Q의 구성이다.

완료

complete는 완전한 토폴로지 링과 모듈이 되는 링과 모듈의 관련 함수 중 하나입니다.완성은 국소화와 비슷하며, 이 두 가지가 모두 가환환을 분석하는 가장 기본적인 도구 중 하나입니다.완전한 가환 고리는 일반 고리보다 단순한 구조를 가지고 있으며 헨젤의 보조원리가 그것들에 적용된다.

주요 이상에 대한 자리스키 위상

Zariski 토폴로지에서는 링의 스펙트럼에 관한 ^[2]토폴로지가 정의됩니다(주요 이상 세트).이 공식에서 자리스키 클로즈드 세트는 다음 세트로 간주됩니다.

\displaystyle V(I)=\{P\in\operatorname {Spec},(A)\mid I\subseteq P\}

여기서 A는 고정 정류환이고 I는 이상이다.이것은 아핀 공간의 닫힌 집합이 다항식 방정식에 의해 정의되는 고전적인 Zariski 토폴로지와 유사하게 정의된다.고전적인 사진과 교감을 보려면에 아무런 정해진 S다항식의(는 대수적으로 닫혀 밭에), 힐베르트의 영점 정리 것 V(S)(오래 된 의미에서)의 점을 주목한다 정확히 tuples고" 약한"누에 의해 그(x1-a1,..., xn-1)S가 들어 있으며 이러한 게다가, 이것들은 최대 이상(a1,...,).llstelensatz는 어떤 아핀 좌표환의 이상형이 이 형태일 경우에만 최대값이다.따라서, V(S)는 S. 그로텐디크의 스펙 정의 혁신이 포함된 최대 이상은 최대 이상을 모든 주요 이상으로 대체하는 것과 같다. 이 공식에서 이 관찰을 고리의 스펙트럼에서 닫힌 집합의 정의로 단순하게 일반화하는 것은 자연스러운 것이다.

예

가환대수의 기본 예는 $\mathbb {Z}$ 이다 $\mathbb {Z}$ 소수 존재와 독특한 인수분해 정리는 노에테르환과 1차 분해와 같은 개념의 기초를 만들었다.

기타 중요한 예는 다음과 같습니다.

다항식 링 $R[x_{1},...x_{n}}$
p-adic 정수
대수 정수의 고리.

대수기하학과의 연결

교환대수는 항상 대수기하학의 일부였다.그러나 1950년대 후반, 대수적 다양성이 알렉산더 그로텐디크의 체계 개념에 포함되었습니다.이들의 국소 객체는 국소 링 공간인 아핀 체계 또는 프라임 스펙트럼으로, 국소 링 공간은 교환 단수 링 범주에 반등가(이중)하는 범주를 형성하며, 필드 k에 걸친 아핀 대수 변종 범주와 최종 생성된 k-알게브라 범주 사이의 이중성을 확장한다.접착은 Zariski 토폴로지를 따릅니다. 로컬 링형 공간 범주 내에서 접착할 수 있을 뿐만 아니라 Yoneda 매립을 사용하여 아핀 체계 범주에서 더 추상적인 세트의 범주 내에서 접착할 수 있습니다.다음으로 설정 이론적인 의미에서 Zariski 토폴로지는 그로텐디크 토폴로지의 의미에서 Zariski 토폴로지로 대체됩니다.그로텐디크는 조잡한 자리스키 토폴로지, 즉 에테일 토폴로지 및 2개의 플랫 그로텐디크 토폴로지인 fppf와 fpqc보다 더 이국적이지만 기하학적으로 더 미세하고 민감한 예를 염두에 둔 그로텐디크 토폴로지를 도입했다.오늘날에는 니스네비치 토폴로지를 포함한 몇 가지 다른 예가 두드러지고 있다.시브는 그로텐디크(Grothendieck)의 의미에서 스택으로 더욱 일반화될 수 있으며, 일반적으로 몇 가지 추가 표현성 조건이 적용되어 Artin 스택과 더 세분화된 Deligne-Mumford 스택으로 이어지며, 둘 다 대수적 스택이라고 불린다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 아티야와 맥도날드, 1969, 제1장
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레퍼런스

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[1] 아티야와 맥도날드, 1969, 제1장

[2] Dummit, D. S.; Foote, R. (2004). Abstract Algebra (3 ed.). Wiley. pp. 71–72. ISBN 9780471433347.

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v t 수학
역사 타임라인 개요 리스트 용어집
기초	범주론 정보 이론 수리논리 수학 철학 집합론 유형 이론
대수학	추상적인 가환성 초등 군론 선형 멀티라인 유니버설 호몰로지
분석.	미적분학. 실제 분석 복잡한 분석 초복잡한 분석 미분 방정식 기능 분석 고조파 분석 측정 이론
디스크리트	조합 그래프 이론 순서론
기하학.	대수적 분석 산술 차동 디스크리트 유클리드 유한
수론	산술 대수적 수론 해석수 이론 디오판토스 기하학
토폴로지	일반 대수적 차동 기하학 호모토피 이론
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