홀로모르픽 접선다발

수학, 특히 복잡한 기하학에서 복합다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 홀로모르픽 접선다발은 매끄러운 다지관의 접선다발의 홀로모르픽 아날로그다$$.한 점에 걸쳐 있는 홀로모르픽 접선다발의 섬유는 $복합다지관{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M$의 거의 복잡한 $구조{\displaystyle }$ J$${\$displaystyle$J}을 통한 복합 벡터 공간의 구조로 볼 때 기초적인 매끄러운 다지관의 접선 공간이다.

정의

복합 치수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 복잡한 $다지관{\displaystyle }$ M ${\$$displaystyle$ $M}$을(를) 감안할 때$,$ 부드러운 벡터 번들로서의 접선 번들은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에서 실제 순위 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystytle 2n}$ 벡터$$ 번들 ${\displaystyle \mathrm{TM}}$ ${\displaysty TM}$이다$.$ 거의 통합 가능한 복잡한 $구조{\displaystyle }$ $J}$ 대응이다$$.다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 복합 구조물에 대한 ng는 내형성 $J{\displaystyle }$: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle T}$ M ${\displaystyle J:$$TM\to TM}$ with the property that ${\displaystyle J^{2}=-\operatorname {Id} }$. After complexifying the real tangent bundle to ${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} \to M}$, the endomorphism ${\displaystyle J}$ may be extended complex-linearly to an endomorphism ${\dis$$Playstyleavestyle J:$$TM\otimes \mathbb {C} \to TM\otimes \mathbb {C} }$ defined by ${\displaystyle J(X+iY)=J(X)+iJ(Y)}$ for vectors ${\displaystyle X,Y}$ in ${\displaystyle TM}$.

$J{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{ID}}$ ${\displaystyle$ J$^{2}=-\operatorname {Id}$ $\},$ $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $J$$}$에는 복합 탄젠트 번들에 대한 고유값$$ $i{\displaystyle }$ , -${\displaystyle i}$ ${\displaystyle$ i$,-i},$ TM $m$ C${\$ {$C}이($으$$$$$)$가 직접 합으로 분할됨

${\displaystyle TM\otimes \mathb {C} =T^{1,0}M\oplus T^{0,1}M}$

$여기$서 T ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$ M ${\displaystyle T^{1,0}M}$은(는) $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ -eigenbundle이고 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{0,$1}$M$$}$은 -${\displaystyle i}$ ${\displaysty -i}$ -eigenbundle이다$$.$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 홀로모르픽 탄젠트 번들은 벡터 번들 T ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$ M ${\displaystyle$ T$^{1,0}M}$이며$,$ 안티홀모픽 탄젠트 번들은 벡터 번들 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{},}^{}}$ 1 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyty$ T$^{0,1}M}$이다$.$

벡터 번들 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$ M ${\displaystyle T^{1,0}M$$}$ 및 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{},}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ M ${\displaystyle$ T$^{0,1}M}$은 복합 벡터 번들 ${\displaystyle TM\mathbb{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ C ${\$의 복합 벡터 하위 번들이며$$ 이중들을 취할 수 있다.The holomorphic cotangent bundle is the dual of the holomorphic tangent bundle, and is written ${\displaystyle T_{1,0}^{*}M}$. Similarly the anti-holomorphic cotangent bundle is the dual of the anti-holomorphic tangent bundle, and is written ${\displaystyle T_{0,1}^{*}M}$. The holomorphic and anti-ho로모르픽(co) 탄젠트 번들은 결합에 의해 상호 교환되는데, 이 결합은 (복잡한 선형은 아니지만!) 이형성 T ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle 0^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {T\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{,}}$ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{1,0}M\to$ T$^{0,1}M}$을 준다$.$

The holomorphic tangent bundle ${\displaystyle T^{1,0}M}$ is isomorphic as a real vector bundle of rank ${\displaystyle 2n}$ to the regular tangent bundle ${\displaystyle TM}$. The isomorphism is given by the composition ${\displaystyle TM\hookrightarrow$$TM\otimes \mathb {C} {\xrightarrow {\operatorname {pr} _{1,0}}$$T{\displaystyle }$$^{1,0}M}$을(를) 복합 탄젠트 번들에$$넣은 $다음$ i {\displaystyle $i}$ - 고유번들$$ 위에 투영하십시오.

표준 번들은 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$= ${\displaystyle {\lambda n}^{}}$ T ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$, ${\displaystyle 0_{}^{}}$ M ${\displaystyle K_{M}=\Lambda^{n}T_{1$,0$}^{*}M}$ 로 정의된다$.$

대체 로컬 설명

로컬 홀로모르픽 차트 $\phi {\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle z^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$$U\to \mathbb {C} ^{n}}$ of ${\displaystyle M}$, one has distinguished real coordinates ${\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n},y^{1},\dots ,y^{n})}$ defined by ${\displaystyle z^{j}=x^{j}+iy^{j}}$ for each ${\displaystyle j=1,\dots ,n$$}$. These give distinguished complex-valued one-forms ${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j}}$ on ${\displaystyle U}$. Dual to these complex-valued one-forms are the complex-valued vector fields (that is, sections of the complexified 탄젠트 번들),

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}-i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).}$

이 벡터 필드는 함께 T ${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle {\otimes }_{}}$ ${\displaystyle {C\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$ ${\$을 위한 프레임을 형성한다$.$$TM\otimes \mathb{C} \오른쪽 _{U}},$ 복잡한 접선 번들을 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ U$}$로 제한$.$ 이와 같이 이러한 벡터 필드는 복잡한 접선 번들을 두 개의 하위 번들로 분할하기도 한다.

$왼쪽.T^{1,0}M\right _{U}=\operatorname {Span} \left\{\frac {\partial }{\partial z^{j}}\right\},\quad \left.T^{0,1}M\right _{U}=\operatorname {Span} \left\{\frac {\partial }{\bar}{z}^{j}}\right\}.}$

좌표의 홀로모픽 변화 하에서 이 두 하위분들의 T ${\displaystyle M_{}}$⊗ ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {U\mathbb{}}_{}}$ ${\$$TM\otimes \mathb{C} \right _{U}}$은(는) 보존되므로, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) 홀로모르픽 차트로 덮음으로써 복잡한 탄젠트 번들의 분할을 얻는다.이것은 정확히 앞에서 설명한 홀로모르픽과 반홀로모르픽 탄젠트 번들로 분할된 것이다.이와 유사하게 복합값의 단일 형태 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ ${\$ 및$$ $d{\displaystyle }$ z${\displaystyle {\stackrel{}{\text{'}}}^{\stackrel{}{}}}$'${\displaystyle j^{}}$ ${\$ d${\z}^{j}}}}$은 복합형 동탄재 번들을 홀로모르픽 및 반동탄성 동탄재 번들로 분할하여 제공한다$$.

이러한 관점에서 볼 때, 홀로모르픽 접선다발이라는 이름은 투명해진다.Namely, the transition functions for the holomorphic tangent bundle, with local frames generated by the ${\displaystyle \partial /\partial z^{j}}$, are given by the Jacobian matrix of the transition functions of ${\displaystyle M}$. Explicitly, if we have two charts ${\displaystyle U_{\alpha },U$$_{\cHB }$ 두 세트의 좌표 z ${\displaystyle j^{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ z$^{j},w^{k$ 그러면$$

${\displaystyle {\frac{\frac}{\frac{j}}=\sum _{k}{\frac {\frac {\frac {\reason w^{k}}{\frac {\reason w^{k}}}}}.}$

좌표함수는 홀모픽이기 때문에 그 중 어떤 파생상품도 마찬가지며, 따라서 홀모픽 접선다발의 전이함수도 홀모픽이다.따라서 홀로모르픽 접선다발은 진짜 홀로모르픽 벡터다발이다.이와 유사하게 홀로모르픽 코탄젠트 번들은 진짜 홀로모르픽 벡터 번들로, 제이콥 매트릭스의 역행렬에 의해 변형 함수가 주어진다.항고형 탄젠트 및 코탄젠트 번들은 홀고형 전이 기능이 아니라, 안티고형 전이 기능을 가지고 있다는 점에 유의한다.

기술된 로컬 프레임으로 볼 때, 거의 복합적인 $구조{\displaystyle }$ J ${\displaystyle J}$이(가) 다음과 같이 작용한다$$.

${\displaystyle J:{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\mapsto i{\frac {\partial }{\partial z^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}\mapsto -i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}},}$

또는 에 의해 실제 좌표로

${\displaystyle J}{\frac {\partial x^{j}}\mapsto {\partial y^{j}}}\partial y^{j}}},\pad {\partial y^{\partial y^}}\partecto -{\partial x^{j}}}}}}.}$

홀로모르프 벡터장 및 미분형

홀로모픽 탄젠트 및 코탄젠트 번들은 홀로모픽 벡터 번들의 구조를 가지기 때문에, 구별되는 홀로모픽 섹션이 있다.A holomorphic vector field is a holomorphic section of ${\displaystyle T^{1,0}M}$. A holomorphic one-form is a holomorphic section of ${\displaystyle T_{1,0}^{*}M}$. By taking exterior powers of ${\displaystyle T_{1,0}^{*}}$, one can define holomorphic ${\displaystyle p}$-fo$정수{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$에 대한 rms$.$$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 Cauchy-Remann 운영자는 함수에서 복합 값 차등형식으로 확장할$$ 수 있으며, 홀로모르픽 코탄젠트 번들의 홀오모르픽 섹션은 $\partial {\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$의${\$$)$에 의해 전멸되는 복합 값 차등$($ ,$$)과 일치한다.$ⅰal$ $\}\}.$ 자세한 내용은 복잡한 미분양식을 참조하십시오.

참고 항목

• 거의 복잡한 다지관
• 에르미트 다지관

참조

• Huybrechts, Daniel (2005). Complex Geometry: An Introduction. Springer. ISBN 3-540-21290-6.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523