코탄젠트 번들

수학, 특히 미분 기하학에서 매끄러운 다지관의 코탄젠트 다발은 다지관의 모든 점에 있는 모든 코탄젠트 공간의 벡터 다발이다.접선 번들에 대한 이중 번들로도 설명될 수 있다.이는 복잡한 다지관과 같이 부드러운 다지관보다 더 많은 구조를 가진 범주 또는 (코탄젠트 셰프의 형태로) 대수적 품종 또는 체계로 일반화될 수 있다.매끄러운 경우라면 어떤 리만 메트릭스나 동정형 형태라도 등각형 번들과 접선형 번들 사이에 이등형성을 주지만, 다른 범주에서는 일반적으로 이등형이 아니다.null

형식 정의

M을 매끄러운 다지관이 되게 하고 M×M을 그 자체로 M의 데카르트 제품이 되게 하라.대각선 매핑 Δ는 M에서 포인트 p를 M×M의 포인트(p,p)로 전송한다.Δ의 영상을 대각선이라고 한다. ${\mathcal {I}}$ ${\$ 을(를) 대각선 위에서 사라지는 M×M에서 매끄러운 기능의 세균 덩어리가 되게 ${\mathcal {I}}$ 하라.그 다음, 인용된 ${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$ / ${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$ 2 {\ $displaystyle$ {\ $mathcal{$ I}/{\ $mathcal{I}^{2$ }}는 대각선 모듈로 고차 항에서 소멸되는 함수의 동등성 등급으로 구성된다 ${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$ .Cotangent sheaf는 이 sheaf에서 M:로 풀백으로 정의된다.

\Gamma T^{*}M=\Delta ^{*}\왼쪽({\mathcal {I}/{\mathcal{I}^{2}\오른쪽)

테일러의 정리로는, 이것은 M의 매끄러운 기능을 가진 세균의 껍질과 관련하여 국소적으로 자유로운 모듈 조각이다.따라서 그것은 M: 코탄젠트 번들에 벡터 번들을 정의한다.null

등골재 번들의 매끄러운 부분을 (차등) 원폼이라고 한다.null

상쇄 특성

부드러운 형태론 $\phi \colon M\to N$ : $\phi \colon M\to N$ → $\phi \colon M\to N$ ${\displaystyle \colon M\to$ N $}$ 다지관의 $\phi \colon M\to N$ 풀백 she $\phi ^{*}T^{*}N$ $\phi ^{*}T^{*}N$ $\pi^{*T^{*}N$ 을 $\phi ^{*}T^{*}N$ 유도한다.벡터 번들 $\phi ^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M$ $\phi ^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M$ $\phi ^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M$ ) $\phi ^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M$ → $\phi ^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M$ $\phi ^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M$ $\phi ^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M$ $\pi ^{*}(T^{*}N)\t^{*}M$ 의 유도 지도가 있다 $\phi ^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M$

예

The tangent bundle of the vector space $\mathbb {R} ^{n}$ is $T\,\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ , and the cotangent bundle is $T^{*}\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R$ $^{n}\times (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$ , where $(\mathbb {R} ^{n})^{*}$ denotes the dual space of covectors, linear functions $v^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ .

Given a smooth manifold $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ embedded as a hypersurface represented by the vanishing locus of a function $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),$ with the condition that $\nabla f\neq 0,$ the tangent bundle is

{\dplaystyle TM=\{(x,v)\in T\,\mathb {R}^{n}\ :\ f(x)=0,\,df_{x}(v)=0\},}

where $df_{x}\in T_{x}^{*}M$ is the directional derivative $df_{x}(v)=\nabla \!f(x)\cdot v$ . By definition, the cotangent bundle in this case is

T^{*}M={}{}(x,v^{*})\in T^{*}\mathb {R}^{n}\\f(x)=0,\ v^{*}\in T_{x}^{*}}}M{\bigr \},},

where $T_{x}^{*}M=\{v\in T_{x}\mathbb {R} ^{n}\ :\ df_{x}(v)=0\}^{*}.$ Since every covector $v^{*}\in T_{x}^{*}M$ corresponds to a unique vector $v\in T_{x}M$ for which $v^{*}(u)=v\cdot u,$ $v^{*}(u)=v\cdot u,$ $v^{*}(u)=v\cdot u,$ ( $v^{*}(u)=v\cdot u,$ ) $v^{*}(u)=v\cdot u,$ = $v^{*}(u)=v\cdot u,$ $v^{*}(u)=v\cdot u,$ $v^{*}(u)=v\cdot u,$ , ${\displaystyle$ v $^{*}(u)=v\cdot u,}$ 임의 $v^{*}(u)=v\cdot u,$ $u\in T_{x}M,$ $u\in T_{x}M,$ $u\in T_{x}M,$ x $u\in T_{x}M,$ , $u\in T_{x}M,}$

T^{*}M={}}{}(x,v^{*})\in T^{R}\mathb {R}\{n}\ :\f(x)=0,\in T_{x}\mathb {R}=0},\f_{x}={bigr \}.

위상 공간으로서의 코탄젠트 번들

코탄젠트 번들 X = T*M은 벡터 번들이기 때문에 그 자체로 다지관으로 볼 수 있다.각 지점에서 M의 접선 방향은 섬유 속의 그들의 이중 탐촉자와 짝을 이룰 수 있기 때문에, X는 아래에서 논의한 tautological one-form이라고 하는 표준적인 단일 형태 θ을 가지고 있다.θ의 외부 파생상품은 복합형 2형식으로, 이 중 X를 위해 비감속형 볼륨폼을 구축할 수 있다.예를 들어 결과적으로 X는 항상 방향성 다지관(접선다발 TX는 방향성 벡터다발)이다.특수 좌표 세트는 등거리 번들에 정의될 수 있다. 이를 표준 좌표라고 한다.코탄젠트 번들은 공통의 다지관으로 생각할 수 있기 때문에, 코탄젠트 번들의 어떤 실제 기능도 해밀턴어로 해석될 수 있다. 따라서 코탄젠트 번들은 해밀턴식 역학이 작용하는 위상 공간이라고 이해할 수 있다.null

tautological one-form

등각 묶음에는 합성전위, 푸앵카레 1형식 또는 리우빌 1형식이라고도 알려진 표준적인 1형식 θ이 실려 있다.이는 우리가 T*M을 그 자체로 다지관으로 본다면 T*M을 넘어 벡터 번들 T*(T*M)의 표준적인 부분이 있다는 것을 의미한다.null

이 구간은 여러 가지 방법으로 건설할 수 있다.가장 기본적인 방법은 지역 좌표를 사용한다.x가ⁱ 베이스 매니폴드 M의 로컬 좌표라고 가정한다.이러한 기본 좌표에는 섬유 좌표 p가_i 있다: T*M의 특정 지점에 있는 하나의 형태는 p_i dxⁱ(아인슈타인 합계 규약을 암시함)를 가지고 있다.그래서 다지관 T*M 자체는 x가 베이스의 좌표이고 p가 파이버의 좌표인 국부좌표(xⁱ, p_i)를 운반한다.표준 원형은 이 좌표에 다음과 같이 주어진다.

\theta _{(x,p)}=\sum _{\mathfrac {i}=1}^{n}p_{i}\,dx^{i}.

본질적으로 T*M의 각 고정점에서의 표준적인 원폼의 값은 풀백으로 주어진다.구체적으로 bundle : T*M → M이 번들의 투영이라고 가정한다.T_x*M에서 점을 찍는 것은 M에서 점 x를 선택하고 x에서 단폼 Ω을 선택하는 것과 같으며, tautological one-form form은 점(x, Ω)에 값을 할당한다.

\theta _{(x,\omega )}=\pi ^{*}\omega .

즉, 코탄젠트 번들의 접선 번들에 있는 벡터 v의 경우, (x, Ω)에서 v에 대한 tautological one-form θ의 적용은 dπ : T(T*M) → TM을 사용하여 x의 접선 번들에 v를 투영하고 이 투영에 Ω을 적용하여 계산한다.tautological one-form은 base M에 있는 one-form의 풀백이 아니라는 점에 유의한다.

심플렉틱 형태

등골재 묶음은 tautological one-form, componentic probled의 외부 파생형으로서 표준적인 공통적 2-form을 가지고 있다.이 양식이 사실, 동시선택적이라는 것을 증명하는 것은 지역적 속성임을 유의함으로써 이루어질 수 있다: 동축적 번들은 국소적으로 사소한 것이기 때문에 이 정의는 $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ × $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ n ${\$ ^{ $n}}}}}$ 에 대해서만 확인하면 된다 $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ 그러나 정의되는 한 가지 양식은 $y_{i}\,dx_{i}$ $y_{i}\,dx_{i}$ x x x x의 합이다. $y_{i}\,dx_{i}$ ${\$ 미분류는 d $dy_{i}\land dx_{i}$ $dy_{i}\land dx_{i}$ $dy_{i}\land dx_{i}$ $dy_{i}\land dx_{i}$ x $dy_{i}\land dx_{i}$ ${\$ 의 합인 표준적인 공통적 형식이다 $dy_{i}\land dx_{i}$

위상공간

매니폴드 $M$ $M$ 이(가) 동적 시스템에서 가능한 위치 집합을 나타내는 경우 $M$ , $\!\,T^{*}\!M$ 번들 $\!\,T^{*}\!M$ { M ${\displaystyle \!\,$ $T^{*}\!M}$ 은(는) 가능한 위치와 순간의 집합으로 생각할 수 있다 $\!\,T^{*}\!M$ .예를 들어, 이것은 진자의 위상 공간을 설명하는 방법이다.진자의 상태는 그 위치(각도)와 운동량(또는 질량이 일정하기 때문에 등가속도)에 의해 결정된다.주 공간 전체가 원통처럼 생겼는데, 원형의 등각 묶음이다.위의 공감구성은 적절한 에너지 기능과 함께 시스템의 물리학에 대한 완전한 결정을 제공한다.해밀턴식 운동 방정식의 명시적 구성은 해밀턴식 역학과 지질학적 흐름에 관한 기사를 참조하라.null

참고 항목

레전드르 변환

참조

Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
Jost, Jürgen (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-63654-4.
Singer, Stephanie Frank (2001). Symmetry in Mechanics: A Gentle Modern Introduction. Boston: Birkhäuser.

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