홈토피

수학의 한 영역인 대수적 위상학에서 위상학 공간의 홈토피 그룹은 그 공간의 자기 동형화 그룹의 호모토피 그룹이다.

정의

호모토피 그룹 functors ${\displaystyle {\pi }_{}}$ k ${\$ $_$${k}}$는 연속 $지도{\displaystyle {}^{}}$ S${\displaystyle {}^{}{k}^{}}$ →${\displaystyle X}$ .$$${\displaystyle \pi _{k}(X)$의 호모토피 클래스의 $그룹{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\pi k}_{}}$(${\displaystyle X)}$ X {\$displaystystyle S^{k}\to.$

공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에 대한 또 다른 구조는 모든 자기 동형체 $X{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ X$\to$ X$}$의 그룹이며$,$ $H{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ m ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\rm {Homeo}(X$)로 표시된다$.$$}$ X가 국소적으로 콤팩트하고 국소적으로 연결된 하우스도르프 공간이라면$$ R의 근본적인 결과물이다. 아렌스는 $H{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ m ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {\rm {Homeo}(X)}$이(가) 사실상 콤팩트 오픈 토폴로지의 토폴로지 그룹이 될 것이라고$$ 말한다.

위의 가정 하에서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 홈토피 그룹은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle HME_{k}(X)=\pi _{k}({\rm {Homeo})(X)).}$

따라서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ E ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle H\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ m ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle o}$ (${\displaystyle }$X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle M}$ C ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle HME_{0}(X)=\pi _{0}({\rm {Homeo})}(X))$ = M C G${\displaystyle {}^{}}$∗ (X )$=MCG^{*}(X)}$은(는) $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ ${\displaystyle \mathrm{X}.\}}$에 대한 매핑 클래스 그룹이며$,$ 즉$$ 매핑 클래스 그룹은 펑터 0 .${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle {\rm {Homeo}(X)$의 $연결$된 구성 요소 집합이며, ${\displaystyle {펑터}_{}}$${\displaystyle }$0. ${\displaystystypi _{0}.$$}$

예

According to the Dehn-Nielsen theorem, if ${\displaystyle X}$ is a closed surface then ${\displaystyle HME_{0}(X)={\rm {Out}}(\pi _{1}(X)),}$ i.e., the zeroth homotopy group of the automorphisms of a space is the same as the outer automorphism group of its fundamental group.

참조

• 지에스 매카티홈토피 그룹.Trans. AM.S. 106 (1963년)293-304.
• R. 아렌스, 아메르, 동형동성 집단을 위한 토폴로지.J. 수학 68 (1946), 593–610.