호모토피 분석법

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호모토피 분석법(HAM)은 비선형 일반/부분 미분방정식을 해결하기 위한 반분석 기법이다.호모토피 분석법은 위상에서 호모토피 개념을 채택하여 비선형 시스템에 대한 수렴 시리즈 솔루션을 생성한다.이것은 호모토피-매클라우린 시리즈를 활용하여 시스템의 비선형성을 처리함으로써 가능하다.

HAM은 상하이 자오퉁 대학의 랴오 시쥔이 1992년 박사학위^[1] 논문에서 처음 고안한 것으로 1997년 융복합 제어 매개변수 c로₀ 불리는 비제로 보조 매개변수를 도입해 일반적인 형태의 차등 시스템에 호모토피를 구축하도록 추가 수정했다^[2].^[3]수렴-제어 매개변수는 솔루션 시리즈의 수렴을 검증하고 집행할 수 있는 간단한 방법을 제공하는 비물리적 변수다.직렬 용액의 수렴을 자연스럽게 보여주는 HAM의 능력은 비선형 부분 미분 방정식에 대한 해석적 접근법과 반분석적 접근법에서 이례적이다.

특성.

HAM은 4가지 중요한 측면에서 다양한 분석 방법과 구별된다.첫째, 작거나 큰 물리적 매개변수에 직접 의존하지 않는 직렬 확장 방식이다.따라서 표준 섭동 방법의 내재적 한계를 넘어 약할 뿐만 아니라 강하게 비선형적인 문제에도 적용할 수 있다.둘째, HAM은 랴푸노프 인공소형파라미터법, 델타확장법, 아도미안 분해법,^[4] 호모토피 섭동법 등의 통일된 방법이다.^[5][6]이 방법의 일반성이 커지면 더 큰 공간 영역과 매개변수 영역에 걸쳐 솔루션의 강력한 수렴이 가능하다.셋째, HAM은 솔루션 표현과 솔루션을 명시적으로 획득하는 방법에 탁월한 유연성을 제공한다.원하는 용액과 호모토피의 해당 보조 선형 연산자를 선택할 수 있는 큰 자유를 제공한다.마지막으로, 다른 분석 근사 기법과 달리 HAM은 솔루션 시리즈의 정합성을 보장하는 간단한 방법을 제공한다.

호모토피 분석법은 스펙트럼법, 파데[7] 근사치 등 비선형 미분방정식에 채택된 다른 기법과도 결합할 수 있다.또한 비선형 시스템을 해결하기 위한 선형 방법을 허용하는 경계 요소 방법과 같은 계산 방법과 결합될 수 있다.호모토피 연속성의 수치적 기법과는 달리, 호모토피 분석법은 이산 계산법에 반하는 분석적 근사법이다.또한 HAM은 이론적 수준의 호모토피 매개변수만을 사용하여 비선형 시스템이 분석적으로 해결되는 무한 선형 시스템 집합으로 분할될 수 있음을 입증하는 한편, 연속 방법은 비선형 시스템을 해결하기 위해 호모토피 매개변수가 변화함에 따라 이산 선형 시스템을 해결해야 한다.

적용들

지난 20년간 HAM은 과학, 금융, 공학에서 증가하는 비선형 일반/부분 미분방정식을 해결하기 위해 적용되었다.^[8][9]예를 들어, 깊고 유한한 수심에서^[10] 다수의 정상 상태 공진파가 임의의 수의 이동 중력 파장의 파동 공명 기준과 함께 발견되었다. 이는 작은 진폭을 가진 4개의 파동에 대한 필립스의 기준과 일치했다.또한 HAM을 적용한 통일파 모델은 전통적인 매끄러운 진행성 주기/태양파뿐만 아니라 유한수심에서의 최고 파고인 진행성 단독파도 인정한다.^[11]이 모델은 정점에 달한 단독 파동이 알려진 부드러운 파장과 함께 일관된 해결책임을 보여준다.또한, HAM은 비선형 열전달,^[12] 비선형 동적 시스템의 한계 주기,^[13] 아메리칸 풋 옵션,^[14] 정확한 Navier와 같은 많은 비선형 문제에 적용되었다.–스토크 방정식,^[15] 확률적 변동성 하의 옵션 가격 책정,^[16] 전기유체역학적 ^[17]흐름, 반도체 소자에 대한 포아송-볼츠만 방정식 ^[18]등.

간단한 수학적 설명

일반적인 비선형 미분방정식을 고려

${\displaystyle \mathrm{N}}$[${\displaystyle u}$ ( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle ]}$= 0 ${\displaystyle {\mathcal {N}[u(x)]=0$

여기서 $N{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은 비선형 연산자다.$L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 보조 선형 연산자, u₀(x)는 u(x)의 초기 추정치, c₀ 상수(일명 수렴-제어 파라미터)를$$ 각각 나타내도록 한다.호모토피 이론의 내장 매개변수 q ∈ [0,1]을 사용하여 방정식 패밀리를 구성할 수 있다.

${\displaystyle (1-q){\mathcal{L}[U(x;q)-u_{0}(x)]=c_{0}\,q\,{\mathcal{N}[U(x;q)],}}$

zerot-order 변형 방정식이라 불리며, 이 방정식의 용액은 내장 매개변수 q ∈ [0,1]에 따라 연속적으로 변화한다.이것이 선형 방정식이다.

${\displaystyle {\mathcal{L}[U(x;q)-u_{0}(x)]=0,}$

알려진 초기 추정 U(x; 0) = u₀(x) = q = 0일 때는${\displaystyle }$u(x${\displaystyle }$)이지만${\displaystyle ,}$q = 1, 즉 U(x; 1) = u$($x$)$ = u(x) = u(x) = 0일 때는 원래 비선형 방정식 $[$ ) = $]$과 동일하다.따라서 q가 0에서 1로 증가함에 따라 제로 순서 변형 방정식의 용액 U(x; q)는 선택된 초기 추측 u₀(x)에서 고려된 비선형 방정식의 용액 u(x)까지 변화(또는 변형)한다.

약 q = 0에 대한 테일러 시리즈에서 U(x; q)를 확장하여 호모토피-매클라우린 시리즈를 개발하였다.

${\displaystyle U(x;q)=u_{0}(x)+\sum _{m=1}^{m=1}{{m}(x)\,q^{m}.}$

위의 시리즈가 q = 1에서 수렴된다고 제로 순서 변형 방정식의 이른바 수렴-제어 매개변수 c를₀ 적절하게 선택했다고 가정하면, 우리는 호모토피 시리즈 솔루션을 가지고 있다.

${\displaystyle u(x)=u_{0}+\sum _{m=1}^{\infit }u_{m}(x).}$

제로 순서 변형 방정식에서 u_m(x)의 지배 방정식을 직접 도출할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {L}[u_{m}(x)-\chi _{m}-1}=c_{0}\,R_{m}[u_{0},u_{1},\ldots,u_{m-1},},},},},},}$

m-오더^th 변형 ${\displaystyle \mathrm{방정식}}$이라고 하는데 여기서 where 1${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystyle \chi _{1}=0}$ 및$$ > k${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \chi$ __{m − 1}{$k}=1}$는 k > 1에 대해$$ 알려진 결과에만₀ 의존하며, 우측₁ R은_m 컴퓨터 대수 소프트웨어를 사용하여 쉽게 얻을 수 있다.이러한 방식으로 원래의 비선형 방정식은 무한히 많은 선형 방정식으로 전달되지만, 작은/큰 물리적 매개변수의 가정은 하지 않는다.

HAM은 호모토피를 기반으로 하기 때문에 초기 추측 u₀(x), 보조 선형 $연산자{\displaystyle \mathcal{}}$ L ${\$ 그리고 제로-오더 변형 방정식에서 수렴-제어 파라미터 c를₀ 선택할 수 있는 자유가 크다.따라서 HAM은 수학자가 고차 변형 방정식의 방정식 유형과 그 용액의 기본 기능을 선택할 수 있는 자유를 제공한다.수렴-제어 매개변수 c의₀ 최적 값은 선택한 초기 추측과 선형 연산자에 대해 일반 형태가 해결된 후 지배 방정식 및/또는 경계 조건의 제곱 잔차 오차의 최소값으로 결정된다.따라서 수렴-제어 매개변수 c는₀ 호모토피 시리즈 용액의 수렴을 보장하고 다른 분석 근사법과 HAM을 구별하는 간단한 방법이다.그 방법은 전체적으로 호모토피 개념의 유용한 일반화를 제공한다.

HAM과 컴퓨터 대수

HAM은 컴퓨터 시대에 맞게 설계된 분석 근사법으로 '숫자 대신 기능으로 연산한다'는 목표를 가지고 있다.매스매티카나 메이플과 같은 컴퓨터 대수 체계와 연계해, 불과 몇 초 만에 HAM을 통해 임의적으로 높은 순서에 이르는 비선형 문제의 분석적 근사치를 얻을 수 있다.다양한 분야에서 HAM의 최근 성공적인 적용에 영감을 받아, BVPh라고 불리는 HAM을 기반으로 한 Mathematica 패키지가 비선형 경계-값 문제를 해결하기 위해 온라인으로 제공되었다[4].BVPh는 유한 또는 무한 구간에서 특이점, 다중 솔루션 및 다점 경계 조건을 갖는 비선형 ODE를 위한 해결사 패키지로서, 특정 유형의 비선형 PDE에 대한 지원을 포함한다.^[8]또 다른 HAM 기반 매스매티카 코드인 APOh는 미국 풋옵션의 최적 연습 경계에 대한 명시적 분석 근사치를 해결하기 위해 제작되었으며, 온라인으로도 이용할 수 있다[5].

비선형 오실레이터의 주파수 응답 해석

HAM은 최근 비선형 주파수 응답 방정식에 대한 분석 솔루션을 얻는 데 유용한 것으로 보고되었다.이러한 솔루션은 경화형, 연화형 또는 오실레이터의 혼합형 동작과 같은 다양한 비선형 동작을 포착할 수 있다.^[19][20]이러한 해석 방정식은 비선형 시스템의 혼돈 예측에도 유용하다.^[21]

참조

외부 링크

• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/BVPh.htm
• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/APO.htm