- 홉킨스-레비츠키 정리

링 이론이라 불리는 추상 대수학에서 아키즈키-- 홉킨스-레비츠키 정리는 반림 링에 걸쳐 모듈의 내림 체인 조건과 상승 체인 조건을 연결한다.R/J(R)가 반이행되고 J(R)가 영일포텐트 이상이라면 R(1과 함께)을 반임포라 하는데, 여기서 J(R)는 제이콥슨 급진파를 나타낸다.정리는 R이 반반고리, M이 R모듈이면 3개의 모듈 조건이 노메테리아, 아르티니아어, "구성 시리즈를 가지고 있다"는 것과 동등하다고 되어 있다.반주기적 조건이 없다면, M이 구성 시리즈를 가지고 있다면 M은 노메테리아인과 아르티니아인 둘 다라는 것이 유일한 참다운 함축이다.

이 정리는 1939년 찰스 홉킨스의 논문과 제이콥 레비츠키의 논문에서 현재의 형태를 취하고 있다.이 때문에 홉킨스-로 언급되는 경우가 많다.레비츠키 정리.그러나 아키즈키 야스오가 몇 년 전인 1935년에 교감반지에 대한 결과를^[1] 증명했기 때문에 가끔 포함되기도 한다.

오른쪽 아르티니아 고리는 반임계라고 알려져 있기 때문에, 정리의 직접적인 상관은 다음과 같다: 오른쪽 아르티니아 고리는 또한 오른쪽 노메테리아도 맞다.왼쪽 아르티니아 반지에 대한 유사한 진술도 또한 유효하다.이것은 일반적으로 아르티니아 모듈에는 사실이 아니다. 왜냐하면 노메테리아 모듈들이 아닌 아르티니아 모듈들의 예가 있기 때문이다.

또 다른 직접적 관점은 R이 오른쪽 아르티니아인이라면 R은 노메테리아인일 경우에만 아르티니아인일 수밖에 없다는 것이다.

증거 스케치

다음은 다음과 같은 증거다.R을 반반으로 하고 M을 왼쪽 R-모듈로 한다.만약 M이 Artinian 또는 Noetherian이라면, M은 구성 시리즈를 가지고 있다.^[2](이것의 반전은 어떤 고리에서도 사실이다.)

J를 R의 급진주의자가 되게 하라.Set ${\displaystyle F_{i}=J^{i-1}M/J^{i}M}$. The R module ${\displaystyle F_{i}}$ may then be viewed as an ${\displaystyle R/J}$-module because J is contained in the annihilator of ${\displaystyle F_{i}}$. Each ${\displaystyle F_{i}}$ is a semisimple $R{\displaystyle }$/ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R/J}$ -module$$, $왜냐하면{\displaystyle }$R$$/ ${\displaystyle J}$ {\$displaystyle$ R$/J}$은(는) 세미 구현 링이기 때문이다.더욱이 J는 영점이기 때문에 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 많은 부분만이 0이$$ 아니다.M이 아르티니아어(또는 노메테리아어)라면, ${\displaystyle F_{}}$ i$${\$displaystyle$F_${i$}}}는 유한 구성 계열이다$$.F ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 합성 시리즈를 엔드 투 엔드로 쌓으면 M용 합성 시리즈를 얻는다.

그로텐디크 범주에서

정리의 몇 가지 일반화와 연장이 존재한다.하나는 G가 Artinian 발전기가 있는 Grotendieck 범주라면 G에 있는 모든 Artinian 물체는 Noetherian이다.^[3]

참고 항목

• 아티니아 모듈
• 노메테리아 모듈
• 컴포지션

참조

• Cohn, P.M. (2003), Basic Algebra: Groups, Rings and Fields
• 찰스 홉킨스(1939) 좌뇌 이상에 대한 최소한의 조건을 갖춘 반지, 수학의 앤(2) 40쪽 712-730쪽.
• T. Y. 람(2001) 비커뮤티브 링의 첫 코스, 스프링거-버락. 55페이지 ISBN 0-387-95183-0
• Jakob Levitzki (1939년) 오른손 이상에 대한 최소 조건을 만족하는 온 링, Compositio Mathematica, v. 7, 페이지 214–222.