쌍곡선

1장의 쌍곡선	사이의 원추면	2장의 쌍곡선

기하학에서, 회전의 쌍곡선은 때때로 원형 쌍곡선이라고 불리며, 그 주축들 중 하나를 중심으로 쌍곡선을 회전시킴으로써 생기는 표면이다.쌍곡면이란 회전의 쌍곡면으로부터 아핀 변환의 방향 비늘 또는 보다 일반적으로 변형함으로써 얻은 표면이다.

쌍곡선은 3개의 변수에서 2차 다항식의 0집합으로 정의된 4차원 표면이다.4원면 중 쌍곡선은 원추체 또는 원통이 아닌 대칭의 중심을 가지며 다수의 평면을 쌍곡선으로 교차하는 것이 특징이다.쌍곡선은 대칭의 세 쌍의 수직축과 대칭의 세 쌍의 수직면을 가진다.

쌍곡선이 주어졌을 때, 축이 쌍곡선의 대칭 축이고 원점이 쌍곡선의 대칭 중심인 데카르트 좌표계를 선택한다면, 쌍곡선은 다음 두 방정식 중 하나에 의해 정의될 수 있다.

{x^2} \over a^{2}+{y^{2} \over b^{2}-{z^{2} \over c^{2}=1,

또는

{x^2} \over a^{2}+{y^{2} \over b^{2}-{z^{2} \over c^{2}=-1.

두 표면 모두 방정식의 원추에 점근이다.

{x^2} \over a^{2}+{y^{2} \over b^{2}-{z^{2} \over c^{2}=0.

표면은 a $a^{2}=b^{2}.$ $a^{2}=b^{2}.$ $a^{2}=b^{2}.$ 2 $a^{2}=b^{2}.$ . { $displaystyle$ a $^{2$ } = $b^{2}$ 인 $a^{2}=b^{2}.$ 경우에만 회전하는 쌍곡선입니다. 그렇지 않으면 x축과 y축의 교환까지 축이 고유하게 정의됩니다.

두 종류의 하이퍼볼로이드가 있습니다.첫 번째 경우(+ $1$ ) : 쌍곡선 쌍곡선 쌍곡선이라고도 불리는 1장의 쌍곡선 쌍곡선.연결된 표면으로, 모든 점에서 음의 가우스 곡률을 가집니다.이것은 모든 점 근처에서 쌍곡선과 그 점에서의 접선 평면의 교차점은 그 점에 뚜렷한 접선을 갖는 두 가지 곡선의 분기로 구성되어 있음을 의미합니다.원시트 쌍곡선의 경우, 이러한 곡선의 가지는 선이며, 따라서 원시트 쌍곡선은 이중으로 괘선된 표면이다.

두 번째 경우(방정식의 $오른쪽에서-1$ ): 타원형 쌍곡선이라고도 하는 2장의 쌍곡선.표면에는 두 개의 연결된 구성요소와 모든 지점에 양의 가우스 곡률이 있습니다.따라서 표면은 모든 점의 접선이 이 점에서만 표면과 교차한다는 점에서 볼록하다.

파라메트릭 표현

회전의 쌍곡선 애니메이션

방위각 $θ$ θ [ $0, 2µ]$ 를 유지하되 $기울기$ v를 쌍곡선 삼각 함수로 변경하도록 구면 좌표와 유사하게 하이퍼볼로이드에 대한 데카르트 좌표를 정의할 수 있습니다.

1면 쌍곡선: $v$ µ $(-$ µ,µ)

(\displaystyle\cosh v\cosh v\ta\y&=b\cosh v\sin \z&=c\sin v\end {aligned})

2면 쌍곡선: $v$ µ [ $0,$ µ]

(\displaystyle {displaystyle}x&=a\sinh v\cos \theta \\y&=b\sin v\sin \sin \z&=\pm c\cosh v\end {aligned})

한 장의 쌍곡선: 회전하는 쌍곡선(위)과 선(아래: 빨강 또는 파랑)에 의해 생성된다.

1장의 쌍곡선: 평면 단면

다음 파라메트릭 표현에는 각각 $z$ {\ $display$ z $}$ 축을 $z$ 대칭 축으로 하는 시트 1장, 시트 2장 및 공통 경계 원뿔의 쌍곡선이 포함됩니다.

${x}(s,t)=\leftscript {array}{ll}a440rt {s^{2}+d}}\cos t\cs\end {array}\right$

d $d>0$ > $d>0$ { $displaystyle$ d > $0$ }의 $d>0$ 경우 1장의 하이퍼볼로이드를 얻을 수 있습니다.
d $d<0$ < $d<0$ { $displaystyle$ d < $0$ }의 $d<0$ 경우, 2장의 쌍곡선,
d $d=0$ { $displaystyle$ d $=0}$ 의 경우 $d=0$ $d=0$ 원뿔입니다.

${style$ cs $}$ 위치를 상기 방정식의 적절한 성분과 섞으면 좌표축이 다른 쌍곡선의 파라메트릭 표현을 대칭축으로 얻을 수 있다.

일반화 방정식

보다 일반적으로, v를 $중심$ 으로 하는 임의의 방향의 쌍곡선은 다음 방정식으로 정의된다.

{\displaystyle(\mathbf {x-v})^{\mathrm {T}}A(\mathbf {x-v})=1,}

$여기$ 서 A는 $행렬$ 이고 x, $v$ 는 벡터입니다.

A의 $고유$ 벡터는 쌍곡선의 주요 방향을 정의하고 A의 고유값은 반축의 제곱의 역수입니다 ${1/a^{2}}$ ${1/a^{2}}$ / ${1/a^{2}}$ { $style$ { $1$ ${1/a^{2}}$ / a ^ { $2}$ } ${1/b^{2}}$ ${1/b^{2}}$ / ${1/b^{2}}$ b ${1/b^{2}}$ { $display$ {1 / b ^ {2} ${1/b^{2}}$ 、 ${1/c^{2}}$ / ${1/c^{2}}$ { $1$ / b ^ { 2 $}$ ）。한 장의 쌍곡선에는 두 개의 양의 고유값과 하나의 음의 고유값이 있습니다.두 장의 쌍곡선에는 하나의 양의 고유값과 두 개의 음의 고유값이 있습니다.

특성.

1장의 쌍곡선

표면상의 선

한 장의 쌍곡선은 두 개의 선으로 이루어진 연필을 포함한다.그것은 이중으로 된 표면이다.

쌍곡선이 ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ 2 + ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ 2 ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ - z ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ c ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ $=$ ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ ${\displaystyle {x^2$ } \ $over$ a $^{2}$ + { $y^{2} \over$ b $^{2}$ $-$ ${z^{2}$ $\over$ c $^{2$ }=1}인 ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ 경우, 선들은

\displaystyle g_{\alpha }^{\pm }:{\vec {x}(t)=cos \alpha \b\sin \alpha \0\end{pmatrix}+cdot \b\cos \alpha \\pmatrix}-a\cos \\pmatrix \pmathbb {\cos\p},\csin

표면에 포함되어 있습니다.

a $a=b$ {\ $displaystyle$ a $=b}$ 인 $a=b$ 경우, 쌍곡선은 회전 표면이며 회전 축에 대해 기울어진 $g_{0}^{+}$ 0 $g_{0}^{+}$ + {\ $displaystyle g_{0}^+}$ $g_{0}^{-}$ g $g_{0}^{-}$ - $g_{0}^{-}$ {\ $displaystyle g_{0$ 중 하나를 회전시켜 생성할 수 있습니다(그림 참조).이 성질은 렌의 ^[1]정리라고 불린다.회전하는 한 장의 쌍곡선의 보다 일반적인 생성은 쌍곡선을 반소축 중심으로 회전하는 것입니다(그림 참조: 쌍곡선을 다른 축 중심으로 회전하면 두 장의 회전 쌍곡선이 생성됩니다).

1장의 쌍곡선은 투영적으로 쌍곡선 포물선에 상당한다.

평면 단면

단순화를 위해 $\ H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ $\ H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ : $\ H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ 2 + $\ H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ - $\ H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ 2 $=$ {\ $displaystyle$ \ $H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2$ }= $1}$ 인 $\ H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ 단위 쌍곡선의 평면 단면을 고려한다.일반 위치의 쌍곡선은 단위 쌍곡선의 아핀 화상이기 때문에 결과는 일반 케이스에도 적용된다.

기울기가 1 미만인 평면(1은 쌍곡면상의 선의 기울기)은 타원에서 $($ H_ ${1})$ 과 $H_{1}$ $H_{1}$ 한다.
원점을 포함하는 기울기가 1과 동일한 평면은 H 1 $(\$ 과 $H_{1}$ 한 쌍의 평행선으로 $H_{1}$ 한다.
원점을 포함하지 않는 기울기가 1인 평면은 포물선에서 $({$ 과 $H_{1}$ $H_{1}$ 한다.
접선면은 교차하는 한 쌍의 선으로 $(\$ 과 $H_{1}$ $H_{1}$ 한다.
기울기가 1보다 큰 접선 평면이 H 1 $(\$ 과 $H_{1}$ 쌍곡선으로 ^[2] $H_{1}$ 합니다.

분명히, 한 장의 회전 쌍곡선은 원을 포함합니다.이는 일반적인 경우에도 해당되지만 덜 명확하다(원형 섹션 참조).

2장의 쌍곡선

두 장의 쌍곡선: 쌍곡선을 회전시켜 생성하는 것

2장의 쌍곡선: 평면 단면

2매의 용지의 쌍곡선에 선이 포함되어 있지 않다.평면 단면의 논의는 방정식과 함께 두 시트의 단위 쌍곡선에 대해 수행될 수 있다.

H_{2}:\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1

:

H_{2}:\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1

2 +

H_{2}:\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1

2 -

H_{2}:\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1

2

=

-

H_{2}:\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1

(\

displaystyle H_{2}

+

y^{2

} -

z^{2

} =-

1

축(쌍곡선을 자르는 것) 중 하나를 중심으로 회전하는 쌍곡선에 의해 생성될 수 있다.

기울기가 1 미만인 평면(1은 쌍곡선을 생성하는 점근의 기울기)은 타원 또는 점 또는 전혀 없이 H2 $($ $스타일 H_{2})$ 와 $H_{2}$ $H_{2}$ 한다.
원점(하이포로이드의 중간점)을 포함하는 기울기가 1인 평면은 $H_{2}$ 2 $({$ H_ ${2}})$ 와 $H_{2}$ 하지 않습니다.
원점을 포함하지 않는 기울기가 1인 평면은 포물선에서 $({$ 와 $H_{2}$ $H_{2}$ 한다.
기울기가 1보다 큰 평면은 H ^[3]2 $(\$ 와 $H_{2}$ 쌍곡선을 $H_{2}$ 합니다.

분명히, 회전하는 두 장의 쌍곡선은 원을 포함합니다.이는 일반적인 경우에도 해당되지만 덜 명확하다(원형 섹션 참조).

비고: 2장의 쌍곡선은 투영적으로 구와 같다.

기타 속성

대칭

방정식 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ + ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ $=$ 1, ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ + ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ - ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ - ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ ({ $displaystyle {x^{2}}{a^{2}}+{\frac {y^{2}}-{\fracz^{$ 2}}={c $})$ 의 쌍곡면체이다

원점과 대칭인 점,
좌표 평면에 대칭이고
a $a=b$ \ $style$ a $=b($ 하는 쌍곡선)의 $a=b$ z축과 대칭이고 z축을 포함하는 모든 평면에 대칭입니다.

곡률

한 장의 쌍곡선의 가우스 곡률은 음이지만, 두 장의 쌍곡선의 곡률은 양입니다.양의 곡률에도 불구하고, 적절히 선택된 또 다른 메트릭을 가진 두 시트의 쌍곡선은 쌍곡선 기하학의 모델로 사용될 수 있다.

3차원 이상

상상의 쌍곡선은 고차원의 수학에서 자주 발견된다.예를 들어, 유사 유클리드 공간에서는 2차 형식을 사용한다.

\displaystyle q(x)=\left(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^2}\right),\cdots k<n}

c가 상수일 $때$ , 다음 값이 주어진 공간의 부분

\displaystyle \lbrace x\:\q(x)=c\rbrace}

를 쌍곡선이라고 합니다.퇴화 대소문자는 c = $0$ 에 $해당$ 합니다.

예를 들어 다음 ^[4]구절을 생각해 보겠습니다.

속도 벡터는 항상 민코프스키가 4차원 쌍곡선이라고 부르는 표면에 놓여있다. 왜냐하면, 순수하게 실좌표

(

y 4 23

, ...,

y)로₁ 표현하면, 그

방정식

은²
₁

y 22 + y 24

- y =

-1

로, 3차원 ^[6]공간의

쌍곡선 21

y +

y 22

-

y 23

=

-1

과 유사하기 때문이다.

그러나 구와 쌍곡선은 공통성이 있기 때문에 이 문맥에서도 준구라는 용어가 사용된다(아래 구와의 관계 참조).

쌍곡선 구조

원시트 하이퍼볼로이드는 하이퍼볼로이드 구조라고 불리는 구조와 함께 건설에 사용됩니다.쌍곡선은 이중으로 된 표면이기 때문에 직선의 강철 빔으로 건설할 수 있어 다른 방법보다 저렴한 비용으로 견고한 구조를 만들 수 있습니다.예를 들어 냉각탑, 특히 발전소 및 기타 많은 구조물이 포함된다.

1장의 쌍곡선 구조의 갤러리
1911년 우크라이나 아드조골 등대
1963년 일본 고베 포트 타워
1963년 미주리주 세인트루이스 세인트루이스에 있는 세인트루이스 과학 센터의 제임스 S. 맥도넬 플라네타리움.
뉴캐슬 국제공항 관제탑, 뉴캐슬어폰타인, 1967년 영국.
1968년 체코의 Jeshtdd 송신탑.
브라질, 브라질리아 대성당, 1970년.
1972년 폴란드 치차누프, 트로이덜 탱크가 있는 하이퍼볼로이드 워터타워.
1982년 캐나다 토론토 로이 톰슨 홀
1983년 독일 함미엔트로프에 있는 현재 해체된 토륨 원자로를 위한 THTR-300 냉각탑.
1999년 영국 맨체스터의 코퍼레이션 스트리트 브릿지
2001년 독일 슈투트가르트 킬레스베르크 전망대.
BMW Welt, (BMW World), 박물관 및 이벤트 장소, 독일 뮌헨, 2007.
중국, 캔튼 타워, 2010.
프랑스의 에사르 르 루아 워터타워.

구와의 관계

1853년 윌리엄 로완 해밀턴은 사분위기의 발표를 포함한 사분위기에 대한 강의를 출판했다.673페이지의 다음 구절은 해밀턴이 구체의 방정식으로부터 어떻게 쌍곡선을 생성하기 위해 4분의 1의 벡터와 비쿼터니언 대수를 사용하는지 보여준다.

...단위 구면θ

2

+

1

=

0

의 방정식을

사용

하여 벡터θ를 2벡터 형태로 변경합니다(예:

θ

+

θ θ-1

).구체의 방정식은 다음 두 개의 계로 나누어진다.

-

- + +

1

=

02

,

S 2

.

στ

=

0

;

그리고

우리가 θ와

θ

를 두 개의 실수와 직사각형 벡터로 고려하는 것을 제안합니다.

T

's

= (T 2' 1/2 s

- 1)

따라서

\displaystyle \parallel

를

\parallel

가정하면 (여기서

δ

는 주어진 위치의 벡터) 새로운 실벡터

δ

+

δ

는 이중 시트 및 등변 쌍곡선의 표면에서 끝납니다.또한,

\displaystyle \parallel

의

\parallel

극점 궤적을 가정하면,실수 벡터

θ

+

θ

는 등변이지만 단일 시트 쌍곡선이 됩니다.따라서 이 두 개의 쌍곡선의 연구는 매우 간단하게 비쿼터니온을 통해 구의 연구와 연결되어 있습니다.

이 $절$ 에서 S는 4분의 1의 스칼라 부분을 주는 $연산자$ 이고, T는 4분의 1의 노름이라고 불리는 "텐서"이다.

구와 쌍곡선의 통일에 대한 현대적 견해는 원뿔 단면의 개념을 2차 형태의 조각으로 사용한다.원추면 대신, 2차 형식으로 결정되는 p = ( $w,$ $x,$ $y,$ $z) r 4$ R의 $점$ 을 가진 4차원 공간에 원추면 하이퍼서페이스를 필요로 한다.먼저 원추형 하이퍼서페이스에 대해 생각해 보겠습니다.

P=\lbrace p\ :\ w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\rbrace

P=\lbrace p\ :\ w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\rbrace

{

P=\lbrace p\ :\ w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\rbrace

:

P=\lbrace p\ :\ w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\rbrace

2

P=\lbrace p\ :\ w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\rbrace

P=\lbrace p\ :\ w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\rbrace

+

P=\lbrace p\ :\ w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\rbrace

+

P=\lbrace p\ :\ w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\rbrace

2

P=\lbrace p\ :\ w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\rbrace

{

displaystyle

P = \

lbrace

p \ : \

w^

{2

} = x^

{

2}

+

y^

{2} +

z

^ {2} \

rbrace

}

。

H_{r}=\lbrace p\ :\ w=r\rbrace ,

r

H_{r}=\lbrace p\ :\ w=r\rbrace ,

{

H_{r}=\lbrace p\ :\ w=r\rbrace ,

:

H_{r}=\lbrace p\ :\ w=r\rbrace ,

=

H_{r}=\lbrace p\ :\ w=r\rbrace ,

H_{r}=\lbrace p\ :\ w=r\rbrace ,

,\displaystyle H_{r

}=\

lbrace

p\ :\

w=r\rbrace

(하이퍼플레인).

$P\cap H_{r}$ 으로 P $P\cap H_{r}$ Hr $P\cap H_{r}$ { $style$ P\ $cap H_{$ r $P\cap H_{r}$ }는 반지름이 r인 구입니다.반면에 원추형 초서면은

Q=\lbrace p\ :\ w^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}\rbrace

}=x^{2}+y^{

2}\

rbrace}

는

Q=\lbrace p\ :\ w^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}\rbrace

Q

Q\cap H_{r}

H

r

{\

display

style

Q\

cap

H_{

r

Q\cap H_{r}

}가 쌍곡선임을

Q\cap H_{r}

.

2차 형식 이론에서 단위 준구체는 x의 $2차$ 노름이 ^[7]1이 되도록 $x δ$ X로 이루어진 2차 $공간$ X의 부분 집합이다.

「」를 참조해 주세요.

러시아 Vyksa에 있는 Shukhov 하이퍼볼로이드 탑(1898년)

레퍼런스

^ K. 스트루베커: 볼레숭겐 데 다르스텔렌덴 지오메트리.반덴호크 & 루프레흐트, 괴팅겐 1967, 페이지 218
^ CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstructive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 116
^ CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstructive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S.12
^ 토마스 호킨스(2000) 거짓말 군 이론의 출현: 수학사의 에세이, 1869-1926, § 9.3 "괴팅겐에서의 물리학의 수학화" (340페이지, 스프링거 참조 ISBN 0-387-98963-3
^ Walter, Scott A. (1999), "The non-Euclidean style of Minkowskian relativity", in J. Gray (ed.), The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930, Oxford University Press, pp. 91–127
^ 민코프스키는 사후에 출판된 타이프스크립트에서 "4차원 쌍곡선"이라는 용어를 단 한 번만 사용했는데, 민코프스키의 쌍곡선은 4차원 민코프스키 $공간$ 3차원 서브매니폴드이기 때문에 이는 비표준적인 사용법이었다 $.$ $}$ ^[5]
^ Ian R. Porteace (1995) Clifford Algebras and the Classical Groups, 22, 24, 106페이지, 케임브리지 대학 출판부 ISBN 0-521-55177-3

빌헬름 블라슈케(1948) Analytische Geometrie, Capital V: Quadriken, 볼펜부텔러 Verlagsanstalt.
데이비드 A.Brannan, M. F. Esplen, & Jeremy J Gray(1999) 기하학, 39-41페이지 Cambridge University Press.
H. S. M. Coxeter(1961) 기하학 입문, 130페이지, John Wiley & Sons.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Hyperboloid". MathWorld.

[1] K. 스트루베커: 볼레숭겐 데 다르스텔렌덴 지오메트리.반덴호크 & 루프레흐트, 괴팅겐 1967, 페이지 218

[2] CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstructive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 116

[3] CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstructive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S.12

[4] 토마스 호킨스(2000) 거짓말 군 이론의 출현: 수학사의 에세이, 1869-1926, § 9.3 "괴팅겐에서의 물리학의 수학화" (340페이지, 스프링거 참조 ISBN 0-387-98963-3

[5] Walter, Scott A. (1999), "The non-Euclidean style of Minkowskian relativity", in J. Gray (ed.), The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930, Oxford University Press, pp. 91–127

[6] 민코프스키는 사후에 출판된 타이프스크립트에서 "4차원 쌍곡선"이라는 용어를 단 한 번만 사용했는데, 민코프스키의 쌍곡선은 4차원 민코프스키 $공간$ 3차원 서브매니폴드이기 때문에 이는 비표준적인 사용법이었다 $.$ $}$ ^[5]

[7] Ian R. Porteace (1995) Clifford Algebras and the Classical Groups, 22, 24, 106페이지, 케임브리지 대학 출판부 ISBN 0-521-55177-3

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쌍곡선

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목차

파라메트릭 표현

일반화 방정식

특성.

1장의 쌍곡선

표면상의 선

평면 단면

2장의 쌍곡선

기타 속성

대칭

곡률

3차원 이상

쌍곡선 구조

구와의 관계

「」를 참조해 주세요.

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