하이퍼 순환 연산자

수학, 특히 기능적 분석에서 바나흐 공간 X의 하이퍼순환 연산자는 경계 선형 연산자 T: X → X로서, 벡터 x x X가 존재하여 시퀀스 {Tⁿ x: n = 0, 1, 2, …}이(가) 전체 공간 X에 밀도 있게 된다.즉, x를 포함하는 가장 작은 닫힌 불변성 부분집합은 전체 공간이다.그런 x를 하이퍼순환 벡터라고 한다.유한차원 공간에는 하이퍼사이클릭 연산자가 없지만 무한차원 공간에서의 하이퍼사이클릭의 특성은 드물지 않은 현상이어서 많은 연산자가 하이퍼사이클릭이다.

초순환성은 위상학적 전이성(위상학적 혼합성 참조)과 보편성의 광범위한 개념의 특별한 경우다.보편성은 일반적으로 한 위상학적 공간에서 다른 위상학적 공간으로의 일련의 매핑을 포함하지만(X에서 X로 매핑되는 단일 연산자의 시퀀스 대신), 초순환성과 유사한 의미를 갖는다.보편적인 물체의 예는 이미 1914년에 율리우스 팔, 1935년에 요제프 마르킨키에비치, 또는 1952년에 맥레인(MacLane)에 의해 발견되었다.그러나, 1980년대에 이르러서야 비로소 하이퍼사이클 운영자들이 더욱 집중적으로 연구되기 시작했다.

예

하이퍼순환 연산자의 예로는 ℓ² 시퀀스 공간에서 역시프트 연산자의 2배, 즉 연산자가 시퀀스를 취한다.

(a₁, a₂, a₃, a, …) ∈ ℓ²

순차적으로

(2a₂, 2a₃, 2a, 2a₄², …) ∈.

이것은 Rolewicz에 의해 1969년에 증명되었다.

알려진 결과

• 모든 무한 차원 분리 가능한 바나흐 공간에는 하이퍼 순환 연산자가 있다.반면에 유한한 차원 공간에도, 분리할 수 없는 바나흐 공간에도 하이퍼 순환 연산자가 없다.
• x가 하이퍼순환 벡터라면 Tx도ⁿ 하이퍼순환이기 때문에 항상 고밀도 하이퍼순환 벡터 세트가 있다.
• 더욱이 하이퍼순환 벡터 세트는 연결된 G_δ 세트로서 항상 {0}까지의 밀도 벡터 공간을 포함하고 있다.
• 찰스 리드(1988)는 바나흐 공간의 클래스에서 불변적인 아공간 문제(그리고 불변적인 부분집합 문제)에 대한 counterrexample을 제공하면서 모든 0이 아닌 벡터가 초순환이 되도록 ℓ에¹ 연산자를 구성했다.그러한 운영자(과대변환 또는 궤도변환이라고도 함)가 분리 가능한 힐버트 공간에 존재하는지 여부에 대한 문제는 여전히 열려 있다(2014년 기준).

참조

• Bayart, Fréderic; Matheron, Étienne (2009), Dynamics of linear operators, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 179, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-51496-5, MR 2533318
• Beauzamy, Bernard (1988), Introduction to operator theory and invariant subspaces, North-Holland Mathematical Library, vol. 42, Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-70521-1, MR 0967989
• Read, C. J. (1988), "The invariant subspace problem for a class of Banach spaces, 2: hypercyclic operators", Israel Journal of Mathematics, 63 (1): 1–40, doi:10.1007/BF02765019, ISSN 0021-2172, MR 0959046, S2CID 123651876
• Grosse-Erdmann, Karl-Goswin (1999), "Universal families and hypercyclic operators", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 36 (3): 345–381, doi:10.1090/S0273-0979-99-00788-0, ISSN 1088-9485, MR 1685272

참고 항목

• 위상혼합