기능분석

함수 분석은 수학적 분석의 한 분야로, 그 핵심은 일종의 한계 관련 구조(예: 내적, 규범 또는 토폴로지)를 부여받은 벡터 공간과 이러한 공간에 정의되고 이러한 구조를 적절하게 존중하는 선형 함수에 대한 연구에 의해 형성됩니다. 함수 분석의 역사적 뿌리는 함수 공간에 대한 연구와 푸리에 변환과 같은 함수 변환의 속성을 함수 공간 사이의 연속 연산자 또는 단일 연산자를 정의하는 변환으로 공식화하는 데 있습니다. 이 관점은 미분 방정식과 적분 방정식 연구에 특히 유용한 것으로 밝혀졌습니다.

함수라는 단어를 명사로 사용하는 것은 변형의 미적분학으로 거슬러 올라가며, 그 논증이 함수인 함수를 의미합니다. 이 용어는 Hadamard의 1910년 책에서 처음 사용되었습니다. 그러나 함수의 일반적인 개념은 이전에 이탈리아의 수학자이자 물리학자인 비토 볼테라에 의해 1887년에 소개되었습니다.^[1]^[2] 비선형 함수 이론은 하다마드의 학생들, 특히 프레셰와 레비에 의해 계속되었습니다. 하다마드는 또한 슈테판 바나흐를 중심으로 리에즈와 폴란드 수학자 그룹에 의해 더욱 발전된 현대 선형 함수 분석 학파를 설립했습니다.

함수 분석에 대한 현대 입문 텍스트에서 주제는 토폴로지를 부여받은 벡터 공간, 특히 무한 차원 공간에 대한 연구로 간주됩니다.^[3]^[4] 이와 대조적으로 선형 대수학은 대부분 유한 차원 공간을 다루며 토폴로지를 사용하지 않습니다. 함수 분석의 중요한 부분은 측정, 적분 및 확률 이론을 무한 차원 분석이라고도 하는 무한 차원 공간으로 확장하는 것입니다.

노름 벡터 공간

함수 분석에서 연구된 기본적이고 역사적으로 첫 번째 등급의 공간은 실수 또는 복소수 위의 완전 정규 벡터 공간입니다. 이러한 공간을 바나흐 공간이라고 합니다. 중요한 예는 내부 곱에서 표준이 발생하는 힐베르트 공간입니다. 이러한 공간은 양자역학의 수학적 공식화, 기계 학습, 편미분 방정식 및 푸리에 분석을 포함한 많은 영역에서 근본적으로 중요합니다.

더 일반적으로, 함수 분석에는 규범이 부여되지 않은 프레셰 공간 및 기타 위상 벡터 공간에 대한 연구가 포함됩니다.

함수 분석에서 중요한 연구 대상은 바나흐와 힐베르트 공간에 정의된 연속 선형 연산자입니다. 이는 자연스럽게 C*-대수 및 기타 연산자 대수의 정의로 이어집니다.

힐베르트 공간

힐베르트 공간은 완전히 분류될 수 있습니다. 직교 기저의 모든 카디널리티에 대해 동형까지 고유한 힐베르트 공간이 있습니다.^[5] 유한 차원 힐베르트 공간은 선형 대수학에서 완전히 이해되며, 무한 차원 분리 가능한 힐베르트 공간은 $\ell ^{\,2}(\aleph _{0})\,$ ℓ $\ell ^{\,2}(\aleph _{0})\,$ 2 $($ ℵ 0) ${\displaystyle \ell ^{\,$ 2 $\ell ^{\,2}(\aleph _{0})\,$ aleph _{0})\,}와 동형입니다. 분리 가능성은 응용 분야에서 중요하기 때문에 힐베르트 공간의 함수 분석은 대부분 이 공간을 다룹니다. 함수 분석의 미해결 문제 중 하나는 힐베르트 공간의 모든 유계 선형 연산자가 고유한 불변 부분 공간을 가짐을 증명하는 것입니다. 이 불변의 부분 공간 문제에 대한 많은 특별한 경우는 이미 입증되었습니다.

바나흐 공간

일반적인 바나흐 공간은 힐베르트 공간보다 더 복잡하며, 그것들처럼 단순하게 분류할 수 없습니다. 특히 많은 바나흐 공간에는 정규 기저와 유사한 개념이 없습니다.

Examples of Banach spaces are $L^{p}$ -spaces for any real number $p\geq 1$ . Given also a measure $\mu$ on set $X$ , then $L^{p}(X)$ , sometimes also denoted ${\displaystyle L^{p}(X,$ $\mu )}$ or $L^{p}(\mu )$ , has as its vectors equivalence classes $[\,f\,]$ of measurable functions whose absolute value's $p$ -th power has finite integral; that is, functions $f$ for which one has

\int _{X}\left f(x)\right ^{p}\,d\mu(x)<\infty .

$\mu$ $\mu$ 가 $\mu$ 계수 측도인 경우 적분은 합으로 대체될 수 있습니다. 즉, 우리는 필요합니다.

\sum _{x\in X}\left f(x)\right ^{p}<\infty .

그런 다음 동등성 클래스를 처리할 필요가 없으며 공간은 $\ell ^{p}(X)$ ℓ $\ell ^{p}(X)$ p ( X) ${\displaystyle \ell$ p}(X)}(X)}로 표시되며, $X$ {\displaystyle \ell ^{p}}이 $($ 가) 음수가 아닌 정수의 집합인 $X$ 에는 $\ell ^{p}$ 더 $\ell ^{p}$ ℓ p ${\displaystyle$ \ell ^{p}}로 표시됩니다.

바나흐 공간에서 연구의 상당 부분은 이중 공간, 즉 공간에서 기본 필드, 소위 함수로 이어지는 모든 연속 선형 지도의 공간을 포함합니다. 바나흐 공간은 이중 공간의 이중인 이중의 부분 공간과 표준적으로 식별할 수 있습니다. 해당 지도는 등각도이지만 일반적으로 등각도가 아닙니다. 일반적인 바나흐 공간과 그 이중 공간은 유한 차원 상황과 달리 어떤 식으로든 등각 동형일 필요가 없습니다. 이는 이중 공간 기사에 설명되어 있습니다.

또한 도함수의 개념은 바나흐 공간 사이의 임의의 함수로 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 프레셰 도함수 기사를 참조하십시오.

선형함수분석

^[6]

주요·기초 실적

함수 분석의 4개의 기둥이라고 불리는 4개의 주요 정리가 있습니다.

기능 분석의 중요한 결과는 다음과 같습니다.

균등 경계성 원리

균일 경계성 원리 또는 바나흐-스테인하우스 정리는 함수 분석에서 기본적인 결과 중 하나입니다. 한-바나흐 정리, 오픈 맵핑 정리와 함께 이 분야의 초석 중 하나로 여겨집니다. 기본 형태에서 영역이 바나흐 공간인 연속 선형 연산자 계열(따라서 경계 연산자)의 경우 점별 경계성은 연산자 규범의 균일 경계성과 동일하다고 주장합니다.

이 정리는 1927년 스테판 바나흐와 휴고 슈타인하우스에 의해 처음 발표되었지만 한스 한에 의해 독립적으로 증명되기도 했습니다.

정리(균일 유계성 원리) — $X$ $X$ 를 $X$ 바나흐 공간, $Y$ $Y$ 를 $Y$ 정규 벡터 공간이라고 합니다. $F$ ${\displaystyle$ $F$ $}$ 가 $F$ X ${\displaystyle$ $X$ $}$ 부터 $X$ $Y$ ${\displaystyle$ $Y$ $}$ 까지의 연속 선형 연산자의 집합이라고 가정합니다 $Y$ X ${\displaystyle$ X $}$ 의 $x$ 모든 $x$ 에 대해 다음과 $X$ 같은 값이 있을 경우

\sup \nolimits _{T\in F}\ T(x)\ _{Y}<\infty ,

그리고나서

\sup \nolimits _{T\in F}\ T\ _{B(X,Y)}<\infty .

스펙트럼 정리

스펙트럼 정리로 알려진 많은 정리들이 있지만, 특히 하나는 함수 분석에서 많은 응용을 가지고 있습니다.

스펙트럼 정리 — $A$ $A$ 를 힐베르트 공간 $H$ $H$ 위의 유계 자기 인접 연산자라고 하자 $H$ 그러면 측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$ ( $(X,\Sigma ,\mu )$ σ, μ) ${\displaystyle (X,\$ Sigma, $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 및 단일 $U:H\to L_{\mu }^{2}(X)$ U $U:H\to L_{\mu }^{2}(X)$ $U:H\to L_{\mu }^{2}(X)$ $→$ $U:H\to L_{\mu }^{2}(X)$ μ $U:H\to L_{\mu }^{2}(X)$ ${\displaystyle$ F $}$ 에서 $(X,\Sigma ,\mu )$ 실수 값 기본 경계 측정 가능 $f$ F ${\displaystyle$ $F$ $}$ $(X,\Sigma ,\mu )$ 및 $H\to L_{\mu }^{2}(X)}$ such that

U^{*}TU=A

여기서 T는 곱셈 연산자입니다.

[T\varphi ](x)=f(x)\varphi(x)

\|T\|=\|f\|_{\infty }

‖

T

‖ = ‖ f ‖ ∞

{\displaystyle

\

\|T\|=\|f\|_{\infty }

T =\ f\ _{\infty}}.

이것은 연산자 이론이라는 방대한 기능 분석 연구 영역의 시작입니다. 스펙트럼 측정도 참조하십시오.

힐베르트 공간의 경계 정규 연산자에 대한 유사한 스펙트럼 정리도 있습니다. 결론의 유일한 차이점은 $이제$ f $f$ 가 복합값일 수 $f$ 있다는 것입니다.

한-바나흐 정리

한-바나흐 정리는 함수 분석의 중심 도구입니다. 이를 통해 일부 벡터 공간의 부분 공간에 정의된 유계 선형 함수를 전체 공간으로 확장할 수 있으며, 또한 모든 정규 벡터 공간에 정의된 "충분한" 연속 선형 함수가 이중 공간에 대한 연구를 "흥미롭게" 만들 수 있음을 보여줍니다.

Han-Banach 정리: — $p:V\to \mathbb {R}$ : $p:V\to \mathbb {R}$ → R ${\style$ p $p:V\to \mathbb {R}$ : $V\to \mathbb {R} }$ 는 하위 선형 함수이며, $\varphi :U\to \mathbb {R}$ $φ$ : U $→$ R ${\displaystyle$ \varphi : $U\to \mathbb {R} }$ 은(는) U ${\displaystyle$ U}의 p ${\$ $U$ $p$ $}$ 에 $의해$ 지배되는 선형 $U\subseteq V$ 공간 $U$ $⊆$ V ${\subseteq$ V} 상의 선형 함수입니다. 즉,

\varphi (x)\leq p(x)\qquad \for all x\in U

그러면 선형 확장

\psi :V\to \mathbb {R}

ψ V → R

{\displaystyle

\psi:

V\to \mathbb {R} }

of

\varphi

to the whole space

V

which is dominated by

p

on

V

; that is, there exists a linear functional

\psi

such that

{\begin{aligned}\psi(x)&=\varphi(x)&\in U,\psi(x)&\leq p(x)&\in V.\end{align}

열린 지도 정리

개방형 지도 정리(Stefan Banach and Juliusz Schauder의 이름을 따서 명명됨)는 바나흐 공간 사이의 연속 선형 연산자가 사영적이면 개방형 지도라는 기본적인 결과입니다. 좀 더 정확하게는.^[8]

Open mapping theorem — If $X$ and $Y$ are Banach spaces and $A:X\to Y$ is a surjective continuous linear operator, then $A$ is an open map (that is, if $U$ is an open set in $X$ , $그러면$ Y $Y$ 에서 $A(U)$ $A(U)$ 가 $A(U)$ 열립니다. $Y$

증명은 Baire 범주 정리를 사용하며, $X$ ${\displaystyle$ $X$ $}$ 와 $X$ $Y$ ${\displaystyle$ Y $}$ 의 완전성은 이 정리에 필수적입니다 $Y$ . 어느 하나의 공간을 정규 공간으로 가정하면 정리의 문장은 더 이상 참이 아니지만, $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 와 $X$ Y $Y$ 가 $Y$ 프레셰 공간으로 간주되면 참이 됩니다.

폐 그래프 정리

닫힌 그래프 정리는 다음과 같습니다. If $X$ is a topological space and $Y$ is a compact Hausdorff space, then the graph of a linear map $T$ from $X$ to $Y$ is closed if and only if $T$ is continuous.^[9]

기타 토픽

수학적 고찰의 기초

함수 분석에서 고려되는 대부분의 공간은 무한 차원을 갖습니다. 이러한 공간에 대한 벡터 공간 기반의 존재를 보여주기 위해서는 존의 보조정리가 필요할 수 있습니다. 그러나 다소 다른 개념인 Schauder basis는 일반적으로 함수 분석에 더 관련이 있습니다. 많은 정리들은 한-바나흐 정리를 필요로 하는데, 보통 선택의 공리를 사용하여 증명되지만, 극도로 약한 부울 소수 아이디얼 정리만 있으면 충분합니다. 많은 중요한 정리를 증명하는 데 필요한 바이어 범주 정리도 선택 공리의 한 형태를 요구합니다.

시점

현재 형태의^[update] 기능 분석에는 다음과 같은 경향이 포함됩니다.

추상 분석. 위상군, 위상고리, 위상벡터공간을 기반으로 한 분석방법
바나흐 공간의 기하학은 많은 주제를 포함합니다. 하나는 Jean Bourgain과 연결된 조합론적 접근법이고, 다른 하나는 다양한 형태의 대수 법칙이 성립하는 바나흐 공간의 특성화입니다.
비가환 기하학. Alain Connes에 의해 개발되었으며, 조지 매키(George Mackey)의 에르고딕 이론 접근법과 같은 초기 개념을 부분적으로 기반으로 합니다.
양자역학과의 연관성. 수학 물리학에서와 같이 좁게 정의되거나, 예를 들어 이스라엘 겔판드에 의해 대부분의 유형의 표현 이론을 포함하도록 폭넓게 해석됩니다.

참고 항목

참고문헌

^ Lawvere, F. William. "Volterra's functionals and covariant cohesion of space" (PDF). acsu.buffalo.edu. Proceedings of the May 1997 Meeting in Perugia. Archived (PDF) from the original on 2003-04-07.
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추가읽기

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외부 링크

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뉴욕대학교 예브게니 빌렌스키의 기능분석 강의 노트
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[2] Saraiva, Luís (October 2004). History of Mathematical Sciences. WORLD SCIENTIFIC. p. 195. doi:10.1142/5685. ISBN 978-93-86279-16-3.

[3] Bowers, Adam; Kalton, Nigel J. (2014). An introductory course in functional analysis. Springer Science & Business Media. p. 1.

[4] Kadets, Vladimir (2018). A Course in Functional Analysis and Measure Theory [КУРС ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА]. Springer. pp. xvi.

[5] Riesz, Frigyes (1990). Functional analysis. Béla Szőkefalvi-Nagy, Leo F. Boron (Dover ed.). New York: Dover Publications. pp. 195–199. ISBN 0-486-66289-6. OCLC 21228994.

[6] Rynne, Bryan; Youngson, Martin A. Linear Functional Analysis. Retrieved December 30, 2023.

[7] Hall, Brian C. (2013-06-19). Quantum Theory for Mathematicians. Springer Science & Business Media. p. 147. ISBN 978-1-4614-7116-5.

[rudin-8] Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5.

[9] Munkres, James R. (2000). Topology. Prentice Hall, Incorporated. p. 171. ISBN 978-0-13-181629-9.

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v t 수학 분석의 주요 주제
미적분학: 통합 차별화 미분방정식 보통의 부분적인 확률적인 미적분학의 기본 정리 변분법 벡터 미적분학 텐서 미적분학 행렬 미적분학 적분 목록 파생상품표
실분석 복합분석 초복잡해석(quarteronic analysis) 기능분석 푸리에 분석 최소자승분광분석 고조파 분석 P-adic 분석(P-adic number) 측도론 표현론 기능들 연속함수 특수기능 제한. 시리즈 Infinity
수학포털

v t 주요 수학 영역
역사 타임라인 미래. 개요 목록 용어집
기초	범주론 정보이론 수학논리학 수학철학 집합론 유형론
대수	추상적인 교환적 초등 군론 선형 다중선형 유니버설 호몰로지컬
분석.	미적분학. 실분석 복합분석 초복잡해석 미분방정식 기능분석 고조파 분석 측도론
이산형	조합론 그래프 이론 순서이론
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수론	산술 대수수론 해석수론 디오판토스 기하학
토폴로지	일반 대수적 차분 기하학적 호모토피 이론
응용의	공학수학 수학생물학 수학화학 수학경제학 수학금융 수학물리학 수학심리학 수학사회학 수학통계학 확률 통계 시스템 과학 통제이론 게임이론 운영연구
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