심플 세트

계산가능성 이론에서 자연수의 부분집합은 계산적으로 열거할 수 있는(즉, 그 보완이 무한하면)과 공무한(즉, 그 보완이 무한하면)을 단순이라고 부르지만, 그 보완의 모든 무한 부분집합은 즉, 단순하지 않다.단순 집합은 계산이 불가능한 집합의 예다.

포스트 문제와의 관계

단순한 세트들은 에밀 레온 포스트가 비 튜링-완전한 c. 즉, 세트를 찾기 위해 고안한 것이다.그러한 집합이 존재하는지 여부는 포스트의 문제로 알려져 있다.Post는 그의 결과를 얻기 위해 두 가지를 증명해야 했다: 단순 집합 A는 계산이 불가능하며, 중지 문제인 K는 A로 튜링-리듀스를 하지 않는다는 것이다.1부(정의상으로는 명백하다)에서는 성공했지만, 다른 부분에서는 간신히 다원 축소를 증명할 뿐이었다.

포스트의 아이디어는 1950년대 프라이드버그와 무크니크에 의해 우선법이라는 새로운 기법을 사용하여 검증되었다.그들은 단순한 (따라서 컴퓨팅이 불가능한) 세트에 대한 구조를 제공하지만 중단 문제를 계산하지 못한다.^[1]

형식 정의 및 일부 속성

다음에 나오는 내용에서 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$는 모든 c. 집합의 표준 목록을 균일하게 나타낸다$$.

• A set ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {N} }$ is called immune if ${\displaystyle I}$ is infinite, but for every index ${\displaystyle e}$, we have ${\displaystyle W_{e}{\text{ infinite}}\implies W_{e}\not \subseteq I}$. Or equivalently: there is no infinite subset of ${\displaystyle I}$$즉$, c$.$
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$집합은 c. 즉, 그 보완물이 면역성이 있는 경우 단순하다고 한다$$.
• 내가{\displaystyle 1세}무한하다 나는 N{\displaystyle I\subseteq \mathbb{N}⊆ 집합}효과적으로 면역한 귀납적 함수 f{\displaystyle f}존재하라고 불린다 모든 지수 e{\displaystyle e}로, 우리는 그 We ⊆ 나는 ⟹#(We)<>이름(e){\displaystyle W_{e}\subseteq I\할 수 있다.악동$거짓말 \#(W_{e})<f(e$
• 세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$은(는) c. 즉, 보어가 효과적으로 면역되어 있는 경우 효과적으로 단순하다고 불린다$$.모든 효과적으로 간단한 세트는 간단하고 튜링-완전하다.
• $I{\displaystyle }$ ⊆${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystyle$I$\subseteq \mathb$ {N}$집합은$${\displaystyle I}$이(가) 무한하지만 p ${\displaystyle I_{}}$ ${\$이(가) 무한이면$$ 하이퍼임문이라고 한다.$I}}$은(는) 계산적으로 우세하지 않으며$$, $여기$서 ${\displaystyle p_{}}$ I ${\$$I$$$$}$은(는) 순서대로 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ I$}$의 멤버 목록이다$$.^[2]
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$ 집합은 단순하고 그 보완이 초임문인 경우 하이퍼이벤트라고 한다$$.^[3]

메모들

참조

• Soare, Robert I. (1987). Recursively enumerable sets and degrees. A study of computable functions and computably generated sets. Perspectives in Mathematical Logic. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-15299-7. Zbl 0667.03030.
• Odifreddi, Piergiorgio (1988). Classical recursion theory. The theory of functions and sets of natural numbers. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 125. Amsterdam: North Holland. ISBN 0-444-87295-7. Zbl 0661.03029.
• Nies, André (2009). Computability and randomness. Oxford Logic Guides. Vol. 51. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923076-1. Zbl 1169.03034.