다원감소

계산 능력 이론과 계산 복잡도 이론에서 L1{\displaystyle L_{1}}나는 2{\displaystyle L_{2}두번째 결정 문제의 이 인스턴스가 언어에 있는 인스턴스}에 한가지 결정 문제의 인스턴스로 변환합니다,many-one 감소(또한 지도라고 불리는 reduction[1])감소가 일어날 것입니다.${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$1} 초기 인스턴스가 해당 $언어{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$$${\$displaystyle L_{1$}에 속하지 않은$$$$ 경우$$ L ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}:{2$}}:$ 해당 언어 $L{\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\$따라서 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개$$ 인스턴스가 ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$$displaystyle$ $L_$${2$}}개 언어에 있는지 여부를 결정할 수 $있다면{\displaystyle {}_{}}$$,$ 감소를 $적용$하고 ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ 2${\$개를$$ 풀어서 R을 측정하는 데 사용할 수 있다$.$두 가지 문제의 탄력적인 계산 난이 있다.$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}는 L ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}${\displaystyle $L_{1$}보다 L ${\$}}을 해결하기 어려운 경우$$$$ L ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$${\$로 감소한다고$$ 한다$.$즉, $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}를 해결하는 알고리즘은 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}를 해결하는 (다른 방법으로는 비교적 간단한) 프로그램의 일부로도 사용할$$ 수 있다$.$

많은 수의 감소는 특별한 경우고 튜링 감소의 더 강력한 형태다.^[1]다수 1을 줄이면 오라클(즉, B를 위한 우리의 솔루션)은 마지막에 한 번만 호출할 수 있고, 답은 수정할 수 없다.이는 A 문제가 B 문제로 축소될 수 있다는 것을 보여주고 싶다면 A를 해결하면서 B를 위해 필요한 횟수만큼 솔루션을 사용할 수 있는 튜링 감소와 달리 A를 위한 솔루션에서 단 한 번만 사용할 수 있다는 것을 의미한다.

즉, 한 문제의 많은 1개 축소 맵 인스턴스를 다른 문제의 인스턴스에 매핑하는 반면, 튜링 감소는 다른 문제를 해결하기 쉽다고 가정하여 하나의 문제에 대한 솔루션을 계산한다.많은 수의 감소는 문제를 구별되는 복잡성 등급으로 분리하는데 더 효과적이다.그러나 다수 1개 축소에 대한 규제가 늘어나면서 이를 찾기가 더욱 어려워지고 있다.

많은 1개의 감축은 1944년에 발표된 논문에서 에밀 포스트에 의해 처음 사용되었다.^[2]후에 노먼 샤피로는 1956년에 강한 환원성이라는 이름으로 같은 개념을 사용했다.^[3]

정의들

격식어

${\displaystyle A}$ 및 $B$ ${\displaystyle B}$이(가$)$ 각각 $respectively{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle \Sigma$ } 및 $}$ {\$displaystyle \Gamma }$ 알파벳을 통한 정식 언어라고 가정해 보십시오$.$$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에서 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}($으)로$$ 일대일 축소한 것은$$ 총 계산 가능한 함수 $f{\displaystyle }$ :${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$→ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ∗ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$$\Sigma ^{*}\오른쪽$ 화살표 $\Gamma ^{*}}}:$ f$$(w )$$${\displaystyle$$$f$(w)}$가 B {\$displaystyle B$인 경우에만$$ 각 $단어$가$$A {\displaystystyle A$}$에 있는$$ 속성을 가진 \Sigma $^}$

만일 그러한 $함수{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f$}이(가) 존재한다면,$$우리는 A {\$displaystyle$ $A{\displaystyle }$}이$($가)$$B {\$displaystyle$ B$}$로 많은 원 축소 또는 m-축소가 가능하다고$$ 말하고 쓰기도 한다.

${\displaystyle A\leq _{\matrm {m} }B.}$

주입식 다원 축소 함수가 있으면 A가 $1{\displaystyle }$ 축소 가능 또는 1 축소 가능으로 B ${\displaystyle B}$라고 말하고$$ 쓴다.

${\displaystyle A\leq _{1}B.}$

자연수 하위 집합

두${\displaystyle }세트{\displaystyle }$ A , ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$ A$,B\subseteq \mathb$ {$N}$을$($를) 지정하면 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$}$은(는) $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}($으)로 여러 개 축소할 수 있다고$$ 말하고$$ 쓰십시오.

${\displaystyle A\leq _{\matrm {m} }B}$

$A{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle A=f^{-1}(B$)로$$ 총 계산 가능한 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 있는 경우$.$$}$ 추가 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 주입식인 경우$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$이(가) $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$에 1 축소 가능하다고 말하고$$ 쓰십시오$$.

${\displaystyle A\leq _{1}B.}$

다대일등가 및 1등가

If ${\displaystyle A\leq _{\mathrm {m} }B\,\mathrm {and} \,B\leq _{\mathrm {m} }A}$ we say ${\displaystyle A}$ is many-one equivalent or m-equivalent to ${\displaystyle B}$ and write

${\displaystyle A\equiv _{\mathrm {m}B.}$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a\mathrm{}}$ n ${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle A\leq _{1}B\,\mathrm {and}$\,$B\leq _{1}A}$이(가) $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$}$과($와{\displaystyle }$) 1과 동일하다고$$ 말하고$$$$ 쓰십시오.

$A\equiv _{1}B.}$

다대일 완성도(m-완전성)

세트 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) 다원 완료 또는 단순히 m-완료라고 불리며$$, $만약f{\displaystyle }$ B ${\displaystyle$ $B}$이(가) 재귀적으로 열거되고 모든 반복적으로 열거된 $세트{\displaystyle }$ A는 $B{\displaystyle }$ ${\displaystystyle B}$로 축소할 수 있다$$$.$

리소스 제한으로 일대일 절감

다수의 1개 감소가 종종 자원 제한에 따르게 되는데, 예를 들어 감량 함수가 다항 시간, 로그 공간, ${\displaystyle {}_{}}$ C ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle AC_{0}$ $또는$ ${\displaystyle {}_{}}$ C ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaysty NC_{0}}}$ 회로$$ 또는 각 후속 감량 개념이 prio보다 약한 다항 투영에 의해 계산될 수 있다.r; 자세한 내용은 다항식 시간 단축 및 로그 공간 축소를 참조하십시오.

의사결정 문제 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ $및$ B ${\displaystyle B}$과 B ${\displaystyle B}$의 인스턴스를 해결하는 알고리즘 N을 고려할 때$,$ A ${\$$displaystyle$$A$}에서 B ${\displaystyle B$$}($$으{\displaystyle }$)로$$ 일대일 축소를 사용하여$$ 다음에서$$ $A$의 인스턴스를 $해결$할 수 있다.

• N에 필요한 시간과 절감에 필요한 시간
• N에 필요한 공간과 축소에 필요한 공간의 최대값

우리는 언어의 클래스 C(또는 자연수의 파워 세트의 하위 집합)가 C의 언어에서 C 외부의 언어로의 축소가 존재하지 않는 경우 다원 축소 가능성 하에서 닫힌다고 말한다.한 클래스가 다수 1 축소 가능성 하에서 닫힌 경우, 다수 1 축소를 사용하여 C의 문제를 C에 축소함으로써 문제가 있음을 보여줄 수 1 축소는 C에서 문제를 감소시킴으로써 C에서 문제가 발생했음을 보여줄 수 있다.대부분의 잘 연구된 복잡성 클래스는 P, NP, L, NL, co-NP, PSPAC, EXP 및 기타 많은 기타를 포함한 다원 축소성 유형 하에서 마감되기 때문에 다원 감소는 가치가 있다.예를 들어, 처음 열거된 4개의 항목은 다의류 시간 예측의 매우 약한 감소 개념에 따라 닫힌다고 알려져 있다.그러나 이러한 계층은 임의적인 다원적 감축 하에서 폐쇄되지 않는다.

특성.

• 다대일 축소성과 1 축소성의 관계는 전이적이고 반사적이며 따라서 자연수의 파워셋에 대한 사전주문을 유도한다.
• ${\displaystyle A\leq _{\matrm {m} }B}$ 만약의 경우에 한해서만 ${\displaystyle \mathb {N} \setminus A\leq _{\mathrm {m}\mathb {N} \setminus B.}$
• 집합은 반복적으로 열거되는 경우에만 정지 문제를 상당 부분 줄일 수 있다.이것은 많은 1개의 축소 가능성과 관련하여, 중단 문제가 반복적으로 열거되는 모든 문제들 중에서 가장 복잡하다고 말한다.따라서 중단 문제는 완전하다.그것만이 완전한 문제는 아니라는 점에 유의한다.
• 개별 튜링 기계 T(즉, T가 결국 정지하는 입력 집합)의 특수 정지 문제는 범용 튜링 기계인 경우 다대다.Emil Post는 해독 가능하지도, m-완료되지도 않은 반복적으로 열거된 집합이 존재하며, 따라서 그럼에도 불구하고 개별적인 정지 문제가 해결되지 않은 비범용 튜링 기계가 존재한다는 것을 보여주었다.

카르프 감소

다항 시간 다항 시간 다항 시간 다항 시간 A에서 문제 B로 감소(둘 다 보통 의사결정 문제로 요구됨)는 다항 시간 알고리즘으로, 변환된 문제가 원래 문제와 동일한 출력을 가지도록 문제 A로 입력을 변환한다.문제 A의 인스턴스 x는 문제 B의 인스턴스 y를 생성하기 위해 이 변환을 적용하고, 문제 B의 알고리즘에 대한 입력으로 y를 제공하고, 그 출력을 반환함으로써 해결할 수 있다.다항식 시간 다항식 감소는 다항식 변환 또는 Richard Karp의 이름을 딴 Karp 감소라고도 알려져 있다.이러한 유형의 감소는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_m^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ B ${\displaystyle A\leq _{m}^{p}B}$ 또는$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ p ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A\leq _{p}B}$로 표시된다$.$^[4][5]

참조