idempotent (링 이론)

링 이론(추상 대수학의 일부)에서, idempotent 원소 또는 단순히 idempotent가 a = a와 같은² 원소다.^[1]즉, 원소는 반지의 곱셈 밑에 있는 idempotent이다.그러면 귀납적으로 a = a² = a³ = a = a⁴ = a = ...라고 결론을 내릴 수도 있다. = 모든 양의 정수 n에 대한 aⁿ.예를 들어, 매트릭스 링의 idempotent 요소는 정확히 idempotent matrix이다.

일반 링의 경우, 곱하기 아래의 원소 IDempotent는 모듈의 분해에 관여하고 링의 동질적 특성에 연결된다.부울대수학에서 연구의 주요 대상은 덧셈과 곱셈 둘 다에서 모든 원소가 공전되는 고리들이다.

예

Z의 인용구

n이 사각형이 없는 경우 정수 mod n의 링을 고려할 수 있다.중국의 나머지 정리에 의해, 이 링 인자는 정수 링의 직접적인 생산물인 p에 들어간다.이제 이들 요인은 각각 한 분야이므로, 요인의 유일한 특이점은 0과 1이 될 것이 분명하다.즉, 각 요소에는 두 개의 특이점이 있다.그래서 만약 m 요인이 있다면, 2개의^m idempotent가 있을 것이다.

정수 mod 6, R = Z/6Z에 대해 확인할 수 있다.6은 두 가지 요소(2와 3)를 가지므로 2개의² 특이점이 있어야 한다.

0² ≡ 0 ≡ 0 (모드 6)

1² ≡ 1 ≡ 1 (mod 6)

2² ≡ 4 ≡ 4 (모드 6)

3² ≡ 9 ≡ 3 (모드 6)

4² ≡ 16 ≡ 4 (모드 6)

5² ≡ 25 ≡ 1 (모드 6)

이러한 계산에서 0, 1, 3, 4는 이 반지의 특질 증분인 반면 2와 5는 그렇지 않다.이는 아래에 설명된 분해 특성도 보여준다: 3 + 4 = 1 (mod 6) 때문에 링 분해 3Z/6Z z 4Z/6Z가 있기 때문이다.3Z/6Z에서는 아이덴티티가 3+6Z이고 4Z/6Z에서는 아이덴티티가 4+6Z이다.

다항 링의 지수

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$과(와) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ R ${\displaystyle f\in R}($${\displaystyle f^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ 0 ${\displaystyle f^{2}\neq$ 0$\})$과 같은 요소 f ∈ ${\displaystyle R}$ {\displaystystyf\in r}이 주어진 다음, 몫의 링

${\displaystyle {\frac {R}{(f^{2}-f)}}}}$

예를 들어, idempotent f ${\displaystyle f}$을(를) 가지고 있다$.$ 예를 들어, 이것은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}[x}$ [\$displaystyle x\in {Z}$ [${\displaystyle x_{}]}$ 또는$$모든 다항식 $f$ k${\displaystyle }$[$x_{1},\dots,x_{n}}}}$에 적용될 수 있다$.$

분할 쿼터니온 링의 IDempotents

스플릿쿼터니온 링에는 idempotents의 카티노이드가 있다.

링 idempotent의 종류

중요한 유형의 idempotents의 일부 목록은 다음을 포함한다.

• ab = ba = 0이면 a와 b 두 개의 특이점을 직교라고 한다. a가 링 R(단일성)에 있는 경우 b = 1 - a; 게다가 a와 b는 직교한다.
• indempotent a in R은 도끼 = 모든 x에 대해 xa이면 central idempotent라고 불린다.
• 사소한 공증(公 id)은 항상 공증인 원소 0과 1 중 하나를 가리킨다.
• 링 R의 원시 idempotent는 nonzero idempotent로서 aR이 우측 R-module로서 외설적일 수 있는, 즉, aR이 두 개의 nonzero submodule의 직접적인 합이 아니라는 것이다.동등하게, a는 a = e + f로 쓸 수 없는 원시적 단수(diempotent)이며, 여기서 e와 f는 R에서 비직교 단수(nonzero) 단수(nonzero) 단수(non-zero) 단수(non-zero) 단
• 국부 idempotent는 aRa가 국부적인 반지인 idempotent이다.이것은 aR이 직접적으로 외설적이기 때문에 지역 특산품 또한 원시적이라는 것을 암시한다.
• 우측 불분명한 idempotent는 aR이 단순한 모듈인 idempotent a이다.슈르의 보조정리로는 End_R(aR) = aRa가 디비전링이고, 따라서 국부적인 링이기 때문에 오른쪽(및 왼쪽) 무reducible idempententents가 국부적이다.
• 중심 원시적 공분포트는 두 개의 직교 중심 공분포트의 합으로 쓸 수 없는 중심 공분포트 a이다.
• 지수 링 R/I에 있는 공증분 a + I는 b + I = a + I와 같은 공증분 b가 R에 있으면 modulo I을 들어올린다고 한다.
• R의 idempotent는 RaR = R이면 idempotent라고 한다.
• 분리성 IDempotent. 분리 가능한 대수 참조.

비특수적 특이점 a는 영점(ab = 0이고 a 또는 b가 0이 아니기 때문에, 여기서 b = 1 - a)이다.이것은 통합 도메인과 디비전 링이 그러한 특유한 요소를 가지고 있지 않음을 보여준다.지역 반지 역시 그런 특이점이 없지만, 다른 이유에서입니다.반지의 제이콥슨족 급진파에 들어 있는 유일한 idempotent는 0이다.

idempotents로 특징지어지는

• 모든 원소가 공전되는 고리를 부울 고리라고 한다.어떤 저자들은 이런 종류의 반지에 대해 "유전자 반지"라는 용어를 사용한다.그러한 고리에서는 곱셈은 역행하며 모든 원소는 그 자체의 첨가물 역행이다.
• 반지는 모든 오른쪽(또는 모든 왼쪽) 이상이 IDempotent에 의해 생성되는 경우에만 구현된다.
• 반지는 모든 미세하게 생성된 오른쪽(또는 모든 미세하게 생성된 왼쪽) 이상이 idempotent에 의해 생성된 경우에만 폰 노이만 규칙적이다.
• 전멸자가 r을 나타내는 반지.Ann(S) R의 모든 서브셋 S는 IDempotent에 의해 생성된다. Baer 링이라고 불린다.만약 그 조건이 R의 모든 싱글톤 서브셋에 대해서만 유지된다면, 그 링은 오른쪽 Rickart 링이다.이 두 종류의 고리는 모두 승수적 정체성이 결여되어 있어도 흥미롭다.
• 모든 idempotent가 중심인 반지를 아벨의 반지라고 부른다.그런 고리들은 서로 어울릴 필요가 없다.
• 링은 0과 1이 유일한 중심 특이점일 경우에만 직접 복구할 수 없다.
• 링 R은 eR₁ ⊕ eR₂ ⊕ ...로 쓸 수 있다. R이 반완벽 링인 경우에만 각 e가_i 국소 idempotent인 eR_n.
• Jacobson 과격파 R 리프트의 모든 특이점들이 R 리프트 모듈로 되어 있다면 링은 SBI 링 또는 Lift/rad 링이라고 불린다.
• 한 쌍의 직교 특이점 세트가 모두 유한한 경우에만 왼쪽 직교 산술의 내림차인 조건을 만족하는 경우 링은 오른쪽 직교 산술에서 오름차순 체인 조건을 만족한다.
• 만약 a가 R 링에서 idempotent라면, aRa는 다시 링이고, 승법정체성은 a이다.링 aRa는 종종 R의 코너링이라고 불린다.모서리 링은 내형성인 End_R(aR) ≅ aRa의 링 이후 자연적으로 발생한다.

분해의 역할

R의 특이점은 R 모듈의 분해와 중요한 연관성을 가진다.If M is an R module and E = End_R(M) is its ring of endomorphisms, then A ⊕ B = M if and only if there is a unique idempotent e in E such that A = e(M) and B = (1 − e) (M). Clearly then, M is directly indecomposable if and only if 0 and 1 are the only idempotents in E.^[2]

M = R일 때 내형성 링이 End_R(R) = R일 때, 고정 링 요소에 의한 좌측 곱셈으로 각 내형성이 발생한다.이러한 표기법 수정으로, eR = A, (1 - e)R = B와 같은 고유한 idempotent e가 존재하는 경우에만 오른쪽 모듈로서 A = B = R이 된다.따라서 R의 모든 직접 합계는 idempotent에 의해 생성된다.

a가 중앙의 idempotent인 경우, 코너링 aRa = Ra는 승수 정체성 a를 가진 링이다.idempotents가 모듈로서 R의 직접 분해를 결정하는 것처럼, R의 중심 idempotents는 R의 분해를 직접 고리의 합으로서 결정한다.R이 R₁,...,R의_n 직접 합인 경우, R_i 링의 ID 요소는 R의 중심적 특성 증분, 쌍방향 직교, 그리고 그 합은 1이다.반대로, R에서 쌍으로 직교하고 합이 1인 중심 IDempotent₁ a,...,a가_n 주어진다면 R은 Ra₁,…,Ra의_n 직접 합이다.따라서 특히, R에서 중앙의 모든 idempotent a는 코너링 aRa와 (1 - a)R(1 - a)의 직접적인 합으로 R의 분해를 일으킨다.결과적으로, R 링은 1이라는 정체성이 중심적으로 원시적인 경우에만 링으로서 직접적으로 외설적일 수 있다.

유도적으로 작용하면 1을 중앙의 원시 원소의 합으로 분해하려고 시도할 수 있다.만약 1이 중심적으로 원시적이면, 우리는 끝장이다.그렇지 않다면 중심직교 특이점들의 합이며, 이는 원시적이거나 보다 중심적인 특이점들의 합 등등이 된다.발생할 수 있는 문제는 이것이 끝도 없이 계속되어 중심직교 특이점들의 무한 계열을 만들어 낼 수 있다는 것이다.조건 "R은 중심직교 특이점 무한 세트를 포함하지 않는다"는 링의 정밀도 조건의 한 유형이다.반지가 옳다고 요구하는 등 여러 가지 방법으로 달성할 수 있다.분해 R = cR₁ ⊕ cR₂ ⊕ ...인 경우 ⊕ cR은_n 각 c와_i 함께 중심 원시 idempotent가 존재하며, R은 코너링 cRc의_ii 직접적인 합으로, 각각은 링을 unreducable이다.^[3]

들판 위의 연관성 있는 알헤브라스나 요르단 알헤브라의 경우, 페이르스 분해는 통근용 특이점 요소의 에겐스페이스의 합으로 대수학을 분해하는 것이다.

비자발과의 관계

만약 a가 내형성 링 End_R(M)의 단수라면, 내형성 f = 1 - 2a는 M의 R 모듈 비자발적이다.즉, f는 M의 정체성 내형성인 R 동형성이다.

R의 idempotent 요소 a와 관련 비자발 f는 R을 왼쪽 또는 오른쪽 모듈로 보는 것에 따라 두 개의 모듈 R 비자발성을 야기한다.r이 R의 임의적인 요소를 나타내는 경우, ffr = r, 또는 f를 왼쪽 R 모듈 동형성 r rf rf로도 볼 수 있도록 ffr = r.

이 과정은 2가 R의 회전 불가능한 요소인 경우 역전될 수 있다: ^[4]b가 비자발적인 요소인 경우⁻¹, 2(1 - b⁻¹)와 2(1 + b)가 a와 1 - a에 해당하는 직교적 특질 증분이다.따라서 2가 변위할 수 없는 고리의 경우, 공전원소는 일대일 방식으로 비자발성에 대응한다.

R 모듈 범주

리프팅 공증물질은 또한 R모듈의 범주에 큰 영향을 미친다.모든 IDempotents는 R/I의 모든 R 직접 합계가 R 모듈로서 투영 커버를 가지고 있는 경우에만 모듈로 I를 들어 올린다.^[5]idempotents는 항상 모듈로 닐의 이상과 R이 I-adically 완성되는 고리를 들어 올린다.

리프팅은 R의 제이콥슨 급진파인 I = J(R)일 때 가장 중요하다.그러나 반퍼펙트 링의 또 다른 특징은 그것들이 모듈로 J(R)를 들어올리는 반투명 고리라는 것이다.^[6]

전분자 격자

a와 b가 idempotents인 경우, b b는 ab b if와 ab = ba = a인 경우에만 다음과 같이 반지의 idempotents에 부분 순서를 정의할 수 있다.이 순서와 관련하여 0은 가장 작고 1은 가장 큰 idempotent이다.직교 idempotents a와 b의 경우 a + b도 idempotent이고, 우리는 we a + b와 b를 가지고 있다.이 부분 순서의 원자는 정확히 원시적 특질 증분이다. (Lam 2001, 페이지 323) harv 오류: no target: CITREFLam2001 (도움말)

위의 부분 순서가 R의 중심 idempotents로 제한되었을 때 격자 구조 또는 심지어 부울 대수 구조까지 주어질 수 있다.두 개의 중앙 IDempotent e와 f에 대해, ee = 1 - e와 조인 및 만남은 다음에 의해 주어진다.

e ∨ f = e + f − ef

그리고

e ∧ f = ef.

이제 순서는 eR ⊆ fR의 경우, 그리고 조인 및 만남이 (e ∨ f)R = eR + fR 및 (e ∧ f)R = eR ( fR = (eR)(fR)을 만족하는 경우에만 간단히 e ≤ f가 된다.(Goodearl 1991, 페이지 99) harv error: no target: CATEREFGodearl1991 (도움말) R이 von Neumann의 정규적이고 우측 자기주장을 하는 경우 격자는 완전 격자임을 나타낸다.

메모들

참조