상이한 지수

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상이성 지수는 두 집단이 더 큰 지역을 구성하는 요소 지리적 영역에 걸쳐 분포하는 균일성에 대한 인구통계학적 척도다. 지수 점수는 또한 계산에 포함된 두 그룹 중 하나의 백분율로 해석할 수 있으며, 더 큰 영역의 분포와 일치하는 분포를 생성하기 위해서는 다른 지리적 영역으로 이동해야 한다. 이격률 지수를 분리 지표로 사용할 수 있다.

기본식

상이한 지수의 기본 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle D={\frac {1}{1}:{2}}\sum _{i=1}{{n}\왼쪽 {\frac {a_{i}}}{A}-{\frac {b_{i}}}{B}\오른쪽 }}$

(예를 들어 흑백 모집단):

a_i = i 지역의^th 그룹 A 인구(예: 인구조사국)

A = 상이한 지수를 계산하는 대규모 지리적 실체에서 그룹 A의 총 모집단

b_i = i 영역에서^th 그룹 B의 모집단

B = 상이한 지수를 계산하고 있는 대규모 지리적 실체에서 그룹 B의 총 모집단이다.

상이성 지수는 모든 범주형 변수(인구학적 변수 여부를 불문함)에 적용 가능하며, 그 단순한 특성 때문에 다차원 스케일링 및 클러스터링 프로그램에 입력하는 데 유용하다. 그것은 사회적 이동성 연구에 광범위하게 사용되어 왔으며, 원산지(또는 목적지) 직업 범주의 분포를 비교하였다.

선형 대수 원근법

이종격차지수 공식은 선형대수의 관점에서 보면 훨씬 더 압축적이고 의미 있게 만들 수 있다. 우리가 한 도시(예: 런던)에서 부자와 가난한 사람들의 분배를 연구하고 있다고 가정합시다. 우리 도시에 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$블록이$$ 있다고 가정합시다.

${\displaystyle \{\text{block:1}},{\text{block 2.},\ldots,{\text{block N}\}}}}$

$우리{\displaystyle \mathbf{}}$ 도시의 각 블록에$$있는 부자 수를 보여주는 $벡터$ r ${\displaystyle$\mathbf$$${r}$을(를) 만들어 봅시다.

${\displaystyle \mathbf {r} =[r_{1},r_{2},\cdots,r_{N}]}$

마찬가지로, $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ p ${\$를) 생성하여$$ 우리 도시의 각 블록에서 가난한 사람들의 수를 표시하자.

${\displaystyle \mathbf {p} =[p_{1},p_{2},\cdots,p_{N}]}$

이제, 벡터의 L ${\$ L$^{1}$-정규는$$ 단순히 그 벡터에 있는 각 엔트리의 (크기) 합이다.^[1] $즉{\displaystyle {}^{}}$, 벡터 $v{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$[ v ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$v ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\cdots ,}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =[v_{1},v_{2},\cdots,v_{N$ L ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle$L^{$1}},$ -norm$$:

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\sum _{i=1}^{N} v_{i} }}$

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 우리$$ 도시의 총 부자 수로 나타낸다면 $R$ ${\displaystyle R}$을(를) 계산하는 압축적인 방법보다 L $1{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ L$^{1}$-norm$$:

${\displaystyle R= \mathbf {r} _{1}=\sum _{i=1}^{N} r_{i} }}}$

마찬가지로 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$을(를) 우리 도시의 총 빈곤층 수로 표시하면$$ 다음과 같다.

${\displaystyle P= \mathbf {p} _{1}=\sum _{i=1}^{N} p_{i}}}}}$

벡터 $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$를) 표준으로$$ 나누면 표준화된 벡터 $또는{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$단위$$벡터 v^ {\$displaystyle {\hat{\mathbf {v$ :

${\displaystyle {\hat {v}}}}}}={\frac {\mathbf {v}{\mathbf {v}{{1}}}$

리치 벡터 $r{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과(와) 빈약한$$벡터 $p{\displaystyle \mathbf{}}$ {\$displaystyle \mathbf {p}$을(를) 정규화하자$.$

${\displaystyle {\hat{\mathbf{r}}}}{\frac {r}{{1}}{{1}}}{\frac {\mathbf {r}{R}}}}}}}}$

${\displaystyle {\hat{\mathbf {p}}}}}}{{\mathbf {r}{1}}{{1}={\frac {\mathbf {p}{P}}}}}}}}}$

We finally return to the formula for the Index of Dissimilarity (${\displaystyle D}$); it is simply equal to one-half the ${\displaystyle L^{1}}$-norm of the difference between the vectors ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ and ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$:

숫자 예제

각각 2명씩 4블록으로 이루어진 도시를 생각해보자. 한 블록은 두 명의 부자로 이루어져 있다. 한 블록은 두 명의 가난한 사람들로 구성되어 있다. 두 블록은 부자 1명과 가난한 1명으로 구성된다. 이 도시의 차이점은 무엇인가?

먼저 리치 벡터 $r{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과(와) 빈약한 벡터 $p{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$을(를) 찾읍시다$.$

${\displaystyle \mathbf {r} = [2,0,1,1]}$

${\displaystyle \mathbf {p} = [0,2,1,1]}$

다음으로, 우리 도시의 총 부자와 가난한 사람들의 수를 계산해 봅시다.

${\displaystyle R=2+0+1+1=4}$

${\displaystyle P=0+2+1+1=4}$

다음으로 부자와 가난한 벡터를 정상화하자.

${\displaystyle {\hat{\mathbf {r}}}}}{R}}}}{{R}}}}{\frac {1}{4}}[2,0,1,1]=[0,0,0,0,25,0.25]}}}}$

${\displaystyle {\hatsbf {p}}}}}}}{\frac {\mathbf {p}}{P}}}}{\frac {1}{4}}[0,2,1,1]=[0,0.5,0.25,0.25]}}}}$

이제 차이 $r{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}^}$ - ${\displaystyle p\stackrel{}{\mathbf{}}}$^$${\$displaystyle${\$hat {\mathbf {r}}-{{\hat {\mathbf {p}}}}$을(를$)$ 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\hatsbf {r}}-{}-{}-{\hatsbf {p}}}}}}=[0.5,-0,0.25,0,0]=[0.5,0,0,0]}$

마지막으로 상이한 색인의 색인을 $($D {\$displaystyle$ D$}).$

${\displaystyle D={\frac {1}{1}:{2}}: {\hatsbf {r}}{}-{}-{{1}={\mathbf {p}}}}}}} _{1}=0( 0.5 + -0.5 )=0.5}$

공식 간 등가성

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 선형 대수 공식과 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 기본 공식과 동일함을$$ 증명할 수 있다$.$ 선형 대수 공식부터 시작해보자.

${\displaystyle D={\frac {1}{1}:{2}}: {\hatsbf {r}}}-{{}-{\hat {\mathbf {p}}} _{1}:{1}$

정규화된 벡터 $r{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ $및$ p ${\$를) 다음으로$$ 바꾸자.

${\displaystyle D={\frac {1}{1}:{1}왼쪽 {\frac {\mathbf {r}{R}}{R}-{R}-{\frac {\mathbf {p}}{P}}\오른쪽 _{1}:{1}$

마지막으로, ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$} -norm의$$ 정의에서, 우리는 이것을 다음과 같은 합계로 대체할 수 있다는 것을 안다.

${\displaystyle D={\frac {1}{1}:{2}}\sum _{i=1}^{N} {\frac {r_{i}}{R}-{\frac {p_{p}}}{P}}}}}}}}}}$

따라서 상이성 지수에 대한 선형 대수 공식은 다음과 같은 기본 공식과 동일하다는 것을 입증한다.

${\displaystyle D={\frac {1}{2}} {\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }} _{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N} {\frac {r_{i}}{R}}-{\frac {p_{i}}{P}} }$

제로 분리

이종격차지수가 0일 때, 이것은 우리가 공부하고 있는 공동체가 0의 분리를 가지고 있다는 것을 의미한다. 예를 들어, 우리가 한 도시에서 부자와 가난한 사람들의 분리를 연구하고 있다면, $D{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle D=0}$이라면$,$ 그것은 다음을 의미한다.

• 도시에는 '부자블록'인 블록이 없고, 도시에는 '부자블록'인 블록이 없다.
• 도시 전체에 부자와 가난한 사람이 균일하게 분포되어 있다.

선형 대수 공식에서$$ $D{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle D=0}$을(를) 설정하면 분리가 0으로 되는 데 필요한 조건을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {\hat {r} =\mathbf {\hat {p}}}$

예를 들어, 두 블록의 도시가 있다고 가정합시다. 각 블록에는 4명의 부자와 100명의 가난한 사람들이 있다.

${\displaystyle \mathbf {r} = [4,4]}$

${\displaystyle \mathbf {p} = [100,100]}$

그러면 총 부자의 수는 ${\displaystyle \mathrm{R}}$= 4${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 4}$= 8 ${\displaystyle R=4+4=8}$이고$,$ 총 빈곤층 수는 P${\displaystyle }$= ${\displaystyle 100}$+ ${\displaystyle 100}$= ${\displaystyle 200}$ ${\displaystyle P=100+100=200}$이다$.$ 따라서 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {\r} =[4/8,4/8]=[0.5,0.5]}$

${\displaystyle \mathbf {\p} =[100/200,100/200]=[0.5,0.5]}$

$r{\displaystyle \stackrel{\mathbf{}}{\mathbf{}}^}$ = ${\displaystyle p\stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\${\$r}$= {\$mathbf {\p$ 따라서 이 도시는 0으로 분리되어 있다.

다른 예로, 3블록의 도시가 있다고 가정합시다.

${\displaystyle \mathbf {r} = [1,2,3]}$

${\displaystyle \mathbf {p} = [100,200,300]}$

그러면 우리 $도시$에는${\displaystyle }$R =${\displaystyle 1}$ +${\displaystyle 2}$ +${\displaystyle 3}$ = ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle R=1+2+3=6}$의 부자들이 있고, $P{\displaystyle }$= ${\displaystyle 100}$+ ${\displaystyle 200}$+ ${\displaystyle 300}$= $[\displaysty P=100+200+300=600]$의 가난한$$ 사람들이 있다. 따라서 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {\hat {r} =[1/6,2/6,3/6]}$

${\displaystyle \mathbf {\p} =[100/600,200/600,300/600]=[1/6,2/6,3/6]}$

$다시{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ 말하지만,${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$r${\displaystyle ^}$ = ${\displaystyle p\widehat{\mathbf{}}}${\$displaystyle \mathbf {\r}$ =\$mathbf {\p$ 따라서 이 도시도 0의 구분을 가지고 있다.

참고 항목

• 쿨백-라이블러 발산
• 격리지수
• 자기 유사성

참조

외부 링크

• http://enceladus.isr.umich.edu/race/calculate.html