유도, 경계 및 최소 수 원리

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1차 산술에서 유도 원리, 경계 원리 및 최소 수 원리는 비표준 산술 모델에서 보유할 수도 있고 보유하지 않을 수도 있는 1차 원리의 관련 세 계열이다.이러한 원리들은 종종 이론의 자명적인 강도를 교정하기 위해 역수학에서 사용된다.

정의들

비공식적으로, 자유 변수가 하나 있는$$ 산술 $\phi {\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \varphi (x)}$의 1차 공식에 대해, $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에 대한 유도 원리는 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$$$$}$에 대한 수학 유도의 유효성을 나타낸다$$.만약 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 목격자를 가지고$$ 있다면, 적어도 목격자는 있다고 한다.는 고정된 반드시 k{k\displaystyle}을 위해 모든 n<>;k{\displaystyle n<, k}두장을 무료로 변수,ψ{\displaystyle \psi}의 주를 이 의 경계 원칙적으로 공식 ψ(), y){\displaystyle \psi(x, y)}에는 결제와{\displaystyle m_{n}}가ψ(n, mn){\displaystyl 있다.e\ps$i(n,m_{n$ 그러면 m ${\displaystyle n_{}}$ ${\$s에서 바인딩을 찾을 수 있다$.$

형식적으로 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$의 유도 원리는 다음과 같은 문장이다$$.^[1]

${\displaystyle {\mathsf{I}\varphi :\quad {\big [}\big [}\varphi (0)\land \forall x{\big (x)\varphi(x+1){\big ){\big ]to \all x\varphi (x)}$

$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에도 유사한 강한 유도 원리가 있다$.$^[1]

${\displaystyle {\mathsf{I}'\varphi :\quad \forall x{\big [}{\big [}\big (}\forall y<x\\ \varphi (y)}\varphi (x)}\forall x\\varphi (x)})}$

$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에 대한 최소 숫자 원리는 문장이다$$.^[1]

${\displaystyle {\mathsf{L}\varphi :\quad \exists x\\\\varphi(x)\to \forall y<x'\\,\lnot \varphi(y){\}}}}}}}\exists x'\big.$

마지막으로 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$의 경계 원리는 다음과 같은 문장이다$$.^[1]

${\displaystyle {\mathsf {B}}\psi :\quad \forall u{\big [}{\big (}\forall x<u\ \,\exists y\ \,\psi (x,y){\big )}\to \exists v\ \,\forall x<u\ \,\exists y<v\ \,\psi (x,y){\big ]}}$

더 일반적으로, 우리는 이러한 원칙들을 단지 하나의 공식만을 위한 것이 아니라, 산술적 계층 구조에서 공식의 한 종류에 대해 고려한다.For example, ${\displaystyle {\mathsf {I}}\Sigma _{2}}$ is the axiom schema consisting of ${\displaystyle {\mathsf {I}}\varphi }$ for every ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ formula ${\displaystyle \varphi (x)}$ in one free variable.

비표준 모델

It may seem that the principles ${\displaystyle {\mathsf {I}}\varphi }$, ${\displaystyle {\mathsf {I}}'\varphi }$, ${\displaystyle {\mathsf {L}}\varphi }$, ${\displaystyle {\mathsf {B}}\psi }$ are trivial, and indeed, they hold for all formulae ${\displaystyle \varphi }$, ${$$\displaystyle$ $\$$psi}$ 산술 $N{\displaystyle \mathbb{}}$ {\$displaystyle \mathb {N}$의 표준 모델에서$$\displaystyle \psi }. 그러나 비표준 모델에서는 더욱 관련성이 높아진다.Recall that a nonstandard model of arithmetic has the form ${\displaystyle \mathbb {N} +\mathbb {Z} \cdot K}$ for some linear order ${\displaystyle K}$. In other words, it consists of an initial copy of ${\displaystyle \mathbb {N} }$, whose elements are called finite or standard, followed by many copies of $$${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$가) $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ 모양으로 배열되어 있으며$$$,$ 이 요소를 무한 또는 비표준이라고 한다.

Now, considering the principles ${\displaystyle {\mathsf {I}}\varphi }$, ${\displaystyle {\mathsf {I}}'\varphi }$, ${\displaystyle {\mathsf {L}}\varphi }$, ${\displaystyle {\mathsf {B}}\psi }$ in a nonstandard model ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, we can see how they might fail. For example, the hypothesis of the induction principle ${\displaystyle {\mathsf {I}}\varphi }$ only ensures that ${\displaystyle \varphi (x)}$ holds for all elements in the standard part of ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ - it may not hold for the nonstandard elements, who can't be reached by iterating t그는 영점으로부터 작전을 승계했다.마찬가지로 경계 원리 $B{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathsf {B}\psi }$이(가) 바인딩된 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 비표준이면$$ $실패$할 수 있으며$$, $이때{\displaystyle }$ y ${\displaysty y}$의 (무한) 집합이 M ${\$ {$M}$에서 동일할 수 있다$$$.$

원칙 간의 관계

다음의 관계는 원칙들 사이에 있다($$^[1][2]약기초 이론 P ${\displaystyle {\mathsf{A}}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle I\mathsf{}}$ ${\displaystyle \sigma {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$

• ${\displaystyle {\mathsf{I}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle \phi \mathsf{}}$ ${\displaystyle \equiv }$ ${$ {\$displaystyle {\mathsf{I}}\varphi \equiv${\$mathsf{L}\lnot \varphi$}; 모든 공식$$ $\phi {\displaystyle }$ ${\displaysty \varphi$ $\};$
• ${\displaystyle {\mathsf {I}}\Sigma _{n}\equiv {\mathsf {I}}\Pi _{n}\equiv {\mathsf {I}}'\Sigma _{n}\equiv {\mathsf {I}}'\Pi _{n}\equiv {\mathsf {L}}\Sigma _{n}\equiv {\mathsf {L}}\Pi _{n}}$;
• ${\displaystyle {\mathsf {I}}\Sigma _{n+1}\implies {\mathsf {B}}\Sigma _{n+1}\implies {\mathsf {I}}\Sigma _{n}}$, and both implications are strict;
• ${\displaystyle \mathsf{B}}$ ${\displaystyle {\sigma n}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle L\mathsf{}}$ ${\displaystyle \Delta n{\mathrm{}}_{}}$ + l ${\displaystyle {\Delta n}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$}$$;
• ${\displaystyle \mathsf{L}}$ ${\displaystyle {\Delta n}_{}{}_{}\Delta n\mathsf{}}$ ${\displaystyle {\Delta n}_{}}$ ${\$ 그러나 이것이 역전될지는 알 수 없다.

Over ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}+{\mathsf {I}}\Sigma _{0}+{\mathsf {exp}}}$, Slaman proved that ${\displaystyle {\mathsf {B}}\Sigma _{n}\equiv {\mathsf {L}}\Delta _{n}\equiv {\mathsf {I}}\Delta _{n}}$.^[3]

역수학

유도, 경계, 최소 숫자 원리는 역수학, 2차 산술에서 흔히 사용된다.예를 들어 I ${\displaystyle {i\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}는 2차 산술의 하위$$ $시스템{\displaystyle {\mathsf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{R}}_{}}$ C ${\displaystyle A_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\mathsf{0}}_{}}${\$displaystyle {\mathsf {RCA}_{0$}}의 정의의 일부다$$.Hence, ${\displaystyle {\mathsf {I}}'\Sigma _{1}}$, ${\displaystyle {\mathsf {L}}\Sigma _{1}}$ and ${\displaystyle {\mathsf {B}}\Sigma _{1}}$ are all theorems of ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}}$.The subsystem ${\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}$ proves all the principles ${\displaystyle {\mathsf {I}}\varphi }$, ${\displaystyle {\mathsf {I}}'\varphi }$, ${\displaystyle {\mathsf {L}}\varphi }$, ${\displaystyle {\mathsf {B}}\psi }$ for arithmetical ${\d$$isplaystyle \varphi }$, ${\displaystyle \psi }$. The infinite pigeonhole principle is known to be equivalent to ${\displaystyle {\mathsf {B}}\Pi _{1}}$ and ${\displaystyle {\mathsf {B}}\Sigma _{2}}$ over ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}}$.^[4]

참조