보간 분해

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수치 분석에서 보간 분해(ID)는 행렬을 두 행렬의 곱으로 인자로 하는데, 그 중 하나는 원래 행렬에서 선택한 열을 포함하고, 다른 하나는 ID 행렬로 구성된 열의 부분집합이 있고 그 값은 모두 절대값으로 2를 넘지 않는다.

정의

순위 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$$}$을(를) $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\times n$$\}$ 행렬로$$$$ 설정하십시오.매트릭스 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) 다음과 같이 쓸 수 있다$$.

${\displaystyle A=A_{(:,J)}X,\,}$

어디에

• ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$은$({\displaystyle }$는) {${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle \{1,\ldots,n\};}$의 r ${\displaystyle r}$ 인덱스의$$ 하위 집합이다.
• $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m\times r$} $행렬$ A${\displaystyle {(}_{}}$: ,${\displaystyle J_{}}$ )$${\$displaystyle A_{(:,J)}}}$은 A; {\$displaystyle A;}$의 J ${\$$displaystystyle J}$열을 나타낸다$$.
• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle r\times$ n} $행렬로,$ 모두$$ 크기가$$ 2보다 작다.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$에는 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ r ${\displaystyle r\times$ r$}$개의$$ ID 하위 계층이 있다.

$열{\displaystyle }$ 대신 A ${\displaystyle A}$ 행을$$ 사용하여 유사한 분해 작업을 수행할 수 있다는 점에 유의하십시오.

예

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 순위 2의 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ 3 ${\displaystyle 3\times 3}$ 행렬로$$ 설정하십시오$$.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}34&58&52\\59&89&80\\17&29&26\end{bmatrix}.}$

만약

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}2&1\end{bmatrix},}$

그때

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}58&34\\89&59\\29&17\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1&{\frac {29}{33}}\\1&0&{\frac {1}{33}}\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}58&34\\89&59\\29&17\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1&0.8788\\1&0&0.0303\end{bmatrix}}.}$

메모들

참조

• 쳉, 훙웨이, 지드루나스 김부타스, 페르-군나르 마르틴손, 블라디미르 로클린."하위 매트릭스의 압축에 관하여." SIAM 학술지 과학 컴퓨팅 26호, 제4호(2005년): 1389–1404.
• Liberty, E, Woolfe, F, Martinsson, P. G, Rokhlin, V, & Tygert, M. (2007)행렬의 낮은 순위 근사치를 위한 랜덤화 알고리즘.국립과학원 절차, 104(51), 20167–20172.