불변 다양체

수학의 한 분야인 동적 시스템에서, 불변 다양체는 동적 ^[1]시스템의 작용 하에서 불변하는 위상 다양체이다.예를 들어 저속 매니폴드, 중앙 매니폴드, 안정 매니폴드, 불안정한 매니폴드, 서브센터 매니폴드 및 관성 매니폴드가 있습니다.

전형적으로, 비록 항상 그렇지는 않지만, 불변 다양체는 평형에 대한 불변 부분 공간의 '퍼테이션'으로 구성된다.소멸 시스템에서, 가장 무겁고 가장 오래 지속되는 모드에 기초한 불변 다양체는 효과적인 저차원, 감소된 역학 모델을 형성합니다.^[2]

정의.

$dx/dt=f(x),\ x\in \mathbb {R} ^{n},$ $x(t)=\phi _{t}(x_{0})$ $dx/dt=f(x),\ x\in \mathbb {R} ^{n},$ / $dx/dt=f(x),\ x\in \mathbb {R} ^{n},$ t $dx/dt=f(x),\ x\in \mathbb {R} ^{n},$ ( $dx/dt=f(x),\ x\in \mathbb {R} ^{n},$ ) , $dx/dt=f(x),\ x\in \mathbb {R} ^{n},$ $x(t)=\phi _{t}(x_{0})$ $dx/dt=f(x),\ x\in \mathbb {R} ^{n},$ n $dx/dt=f(x),\ x\in \mathbb {R} ^{n},$ , \ $displaystyle$ dx / $dt = f$ ( $x$ ) , \ $in$ \ $mathbb$ { $R } ^$ { n }, $x(t)=\phi _{t}(x_{0})$ ( $x(t)=\phi _{t}(x_{0})$ ) $x(t)=\phi _{t}(x_{0})$ $x(t)=\phi _{t}(x_{0})$ $x(t)=\phi _{t}(x_{0})$ ( $x(t)=\phi _{t}(x_{0})$ $x(t)=\phi _{t}(x_{0})$ $){$ $displaystyle$ x ( $x _$ t ) = \ $phi _$ t _ { 0 } ( x _ 0 $x(t)=\phi _{t}(x_{0})$ }^ { 0 }}}}} $x(0)=x_{0}$ of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of 。 $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ {\ $displaystyle S\subset$ \ $mathbb$ {R $}^{$ $n$ 은 $S\subset {\mathbb R}^{n}$ 각 x $x_{0}\in S$ 0 $0$ $x_{0}\in S$ 에 $x_{0}\in S$ 대해 $t\mapsto \phi _{t}(x_{0})$ t $t\mapsto \phi _{t}(x_{0})$ $t\mapsto \phi _{t}(x_{0})$ ( $t\mapsto \phi _{t}(x_{0})$ 0 $t\mapsto \phi _{t}(x_{0})$ ) $t\mapsto \phi _{t}(x_{0})$ \ $displaystyle$ t $\mapsto \phi$ _ ${t}$ ( $x_0$ }) \displaystyle t\mapsto \ $phi$ _{ $0$ 가 최대 간격으로 정의되어 있는 경우 미분방정식의 불변수 집합이라고 불립니다.즉, 각 $x_{0}\in S$ 0 $x_{0}\in S$ † $x_{0}\in S$ (\displaystyle $x_{0}\in$ S $)$ 를 $x_{0}\in S$ 통과하는 궤도는S(\ $displaystyle$ S $S$ 에 있으며 $,$ S(\ $displaystyle$ S $)$ 가 $S$ 매니폴드일 $경우$ $(\displaystyle$ S $)$ 를 $S$ 불변 매니폴드라고 한다.^[3]

예

심플한 2D 다이내믹 시스템

고정 $매개$ 변수a {\ $displaystyle$ a $a$ 의 $x(t),y(t)$ 변수 x $x(t),y(t)$ ( $x(t),y(t)$ ) , $x(t),y(t)$ ( $x(t),y(t)$ ) { $displaystyle$ x $(t), y(t)}$ 를 $x(t),y(t)$ 고려하십시오.

dx/dt=ax-xy}\displaydy/dt=-y+x^{2}-2y^{2}.

원점은 평형이다.이 시스템은 원점을 통해 두 개의 불변의 관심 다양체를 가지고 있다.

$x=0$ x $x=0$ { $displaystyle$ x $=0}$ 은 $x=0$ $x=0$ (는) x $x=0$ { $displaystyle$ x $}$ -displaystyle x $dx/dt=0$ 0 { $displaystyle$ dx/dt $=$ 이 $dx/dt=0$ $x=0$ x { $displaystyle$ $dx/dt=0$ x $}$ 이 $x$ $x$ (가) 0이 $됩니다$ .이 불변 매니폴드 x $x=0$ $({$ $displaystyle$ x $=$ $0$ $a\geq 0$ 은 모든 초기 $x(0)=0,\ y(0)>-1/2$ x ( $x(0)=0,\ y(0)>-1/2$ $x(0)=0,\ y(0)>-1/2$ $x(0)=0,\ y(0)>-1/2$ ( $x(0)=0,\ y(0)>-1/2$ $x(0)=0,\ y(0)>-1/2$ - 1 $x(0)=0,\ y(0)>-1/2$ / $x(0)=0,\ y(0)>-1/2$ ({ $displaystyle x$ (0)= $0,\y(0)>-1/2)$ 가 $x(0)=0,\ y(0)>-1/2$ 원점에 점근적으로 접근하는 원점의 안정적인 매니폴드입니다.
The parabola $y=x^{2}/(1+2a)$ is invariant for all parameter $a$ . One can see this invariance by considering the time derivative $d/dt[y-x^{2}/(1+2a)]$ and finding it is zero on $y=x^{2}/(1+2a)$ $($ 불변 매니폴드에 필요한 경우) (\ $displaystyle$ y $=x^{2}/(1+2a$ $a>0$ > $0$ 의 $a>0$ 이 포물선은 $원점의 불안정$ 한 다양체입니다 $a>0$ $.$ $a=0$ $= 0$ 의 경우(\ $displaystyle a=$ ) 이 포물선은 원점의 중심 매니폴드, 더 정확히는 느린 매니폴드입니다.
$a<0$ < $a<0$ 0 { $displaystyle$ a < $0$ }의 $a<0$ 경우 원점 주위에 항상 안정된 매니폴드가 존재하며 모든 $(x,y),\ y>-1/2$ ( $(x,y),\ y>-1/2$ $(x,y),\ y>-1/2$ ) , $(x,y),\ y>-1/2$ - $(x,y),\ y>-1/2$ 1 / $(x,y),\ y>-1/2$ { $displaystyle (x , y$ , \ $y$ >-1 $/2$ 를 포함한 안정된 매니폴드가 존재합니다.

비자율 동적 시스템의 불변 다양체

미분 방정식

\displaystyle dx/dt=f(x,t),\in \mathbb {R}^{n},\t\in \mathbb {R},}

는 x ( t $x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})$ ; $x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_{0}$ $x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})$ , $x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})$ ) $x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_{0}$ $x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})$ t $x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})$ t ( $x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})$ $x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})$ ) $x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})$ 、 { $displaystyle$ x ( $t$ ; $t$ $x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_{0}$ { $0$ , $x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_{0}$ $x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})$ $x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_{0}$ { 0 } =\ $phi$ _ { $t$ _ 0 $x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_{0}$ }^{ t $x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})$ } ( x $x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})$ _ 0 ) $x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_{0}$ 、 x $style$ 0 $=$ { t _ t _ { 0 $x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_{0}$ } } $x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_{0}$ x x x x x x x x x x x 、 0 、 0 、 0 $x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_{0}$ 。이러한 계통의 확장 위상 $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R}$ R $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R}$ × $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R}$ R ${\displaystyle$ \ $mathbb$ {R} $^{n}\$ times \ $mathbb$ {R} $}$ 에서 $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R}$ 초기 $M_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$ $M_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$ 0 $M_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$ R $M_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$ \ $displaystyle M_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$ 은 $M_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$ 불변 다지관을 생성한다.

{M}=\cup _{t\in \mathbb {R}}\phi _{t_{0}^{t}(M_{0})

근본적인 질문은 이 불변 다양체 계열 중에서 전체 시스템 역학에 가장 큰 영향을 미치는 다양체를 어떻게 찾을 수 있는가 하는 것입니다.비자율 동적 시스템의 확장된 위상 공간에서 이러한 가장 영향력 있는 불변 다양체를 라그랑지안 간섭 구조라고 합니다.^[4]

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Hirsh M.W., Pugh C.C., Shub M., 불변 다지관, 렉트주: 수학, 583, 스프링거, 베를린 - 하이델베르크, 1977
^ A. J. 로버츠동적 시스템의 진화에 대한 불변 다양체 설명의 효용.SIAM J. 수학항문, 20:1447~1458, 1989.http://locus.siam.org/SIMA/volume-20/art_0520094.html Wayback Machine에서 2008-08-20 아카이브 완료
^ C. 치콘.응용수학의 교과서 제34권 응용미분방정식.Springer, 2006, 페이지 34
^ Haller, G. (2015). "Lagrangian Coherent Structures". Annual Review of Fluid Mechanics. 47 (1): 137–162. Bibcode:2015AnRFM..47..137H. doi:10.1146/annurev-fluid-010313-141322.

[1] Hirsh M.W., Pugh C.C., Shub M., 불변 다지관, 렉트주: 수학, 583, 스프링거, 베를린 - 하이델베르크, 1977

[2] A. J. 로버츠동적 시스템의 진화에 대한 불변 다양체 설명의 효용.SIAM J. 수학항문, 20:1447~1458, 1989.http://locus.siam.org/SIMA/volume-20/art_0520094.html Wayback Machine에서 2008-08-20 아카이브 완료

[3] C. 치콘.응용수학의 교과서 제34권 응용미분방정식.Springer, 2006, 페이지 34

[Haller2015-4] Haller, G. (2015). "Lagrangian Coherent Structures". Annual Review of Fluid Mechanics. 47 (1): 137–162. Bibcode:2015AnRFM..47..137H. doi:10.1146/annurev-fluid-010313-141322.

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