불변 아공간

수학에서 어떤 벡터 공간 V에서 그 자체로 선형 매핑 T : V → V의 불변 하위공간은 T가 보존하는 V의 하위공간 W, 즉 T(W) ⊆ W이다.

일반 설명

$선형{\displaystyle }$ 매핑 T ${\displaystyle T}$ 고려

${\displaystyle T:\mathb {R} ^{n}\to \mathb {R} ^{n}.}$

$T$ ${\displaystyle T}$의 불변 하위 $공간{\displaystyle }$ W ${\$$displaystyle$$W}$은(는$)$ $모든{\displaystyle }$ 벡터 ${\displaystyle v}$$\$ W {\$displaystyle$\$mathbf{\displaystyle }$ {v} \$in$ W}에 의해$$ W {\$displaystyty$ W$}$에도 포함된 벡터로 변환되는$$ 속성을 가지고$$ 있다$.$ 이는 다음과 같이 말할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {v} \in W\implies T(\mathbf {v})\in W.}$

불변 서브스페이스의 사소한 예

• ${\displaystyle {}^{}}$$R$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$: $T{\displaystyle }$ ${\$의 모든 벡터를 ${\displaystyle {}^{}}$.${\displaystyle \mathb {R} ^{n}$에 매핑하기$$ 때문에.$}$
• ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle 0}$} ${\displaystyle$\{$0\}$: 선형 $지도$가 0 ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle 0}$을 매핑해야 하기 때문에${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle$ 0$\mapsto 0.}$

1차원 불변 아공간 U

1차원 공간의 기본은 단순히 0이 아닌 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ v ${\$일 뿐이다$.$ 따라서 모든 벡터 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \in }$ ∈ {$$U {\$displaystyle \lambf$${x$$}$ \$in$ U$}$은$($는) ${\displaystyle v\mathbf{}}$v$${\$displaystystyle$ \$lambf$$$}로$$ 나타낼 수 $있다$$.$만일 우리가 행렬 $A$에 $의해$ T$$${\displaystyle$$T$}을 $나타낸다면$,$$U {\$displaystyle U$}이(가) 불변적인 하위 공간이 되려면$$ 반드시 충족되어야 한다.

${\displaystyle \forall \mathbf {x} \in U\;\exists \alpha \in \mathbf {R} :A\mathbf {x} =\alpha \mathbf {v} .}$

x${\displaystyle }$$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle U\mathbf{}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ x =${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle v\mathbf{}}$ ${\$$displaystyle \beta \in \mathbbp$ {$R}}$이(가$)$ 있는$$ 것으로 알고 있다$.$

따라서 1차원 불변 아공간 존재 조건은 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle v\mathbf{}}$= ${\displaystyle \lambda \mathbf{}}$ v ${\$ 여기서 $where{\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$}은$($벡터 공간의 기본 필드) 스칼라이다.

이는 고유값 문제의 전형적인 공식으로, $이$는 A ${\displaystyle$A}의 모든 고유 $벡터$가 T ${\displaystyle T$에서 1차원 불변성 하위 공간을 형성한다는$$ 것을 의미한다.

형식 설명

선형 매핑의 불변 하위 공간

$[\displaystyle T:V\to V}$

어떤 벡터 공간 V에서 그 자체로 T(W)가 W에 포함되는 V의 하위 공간 W이다. T의 불변 하위 공간도 T 불변이라고 한다.

W가 T-invariant인 경우, 우리는 T를 W로 제한하여 새로운 선형 매핑에 도달할 수 있다.

${\displaystyle T _{W:W\to W.}$

이 선형 매핑은 W에 대한 T의 제한이라고 불리며 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle T _{W}(\mathbf {x} )=T(\mathbf {x} ){\text{모든 }\mathbf {x}\in W.}$

다음으로, 불변 서브 스페이스의 즉각적인 예를 몇 가지 드린다.

확실히 V 그 자체와 하위 공간 {0}은 모든 선형 연산자 T : V → V에 대해 사소한 불변성 서브스페이스다. 특정 선형 연산자의 경우 비경쟁적 불변성 서브스페이스는 없다. 예를 들어 2차원 실제 벡터 공간의 회전을 고려한다.

v를 T의 고유 벡터가 되게 하라.T v = λv.그러면 W = span{v}가 T-invariant가 된다.대수학의 근본적인 정리의 결과로서, 0이 아닌 유한차원 복합 벡터 공간의 모든 선형 연산자는 고유 벡터를 갖는다.따라서, 그러한 모든 선형 연산자는 비종교 불변성 서브공간을 가진다.복잡한 숫자들이 대수적으로 닫힌 분야라는 사실은 여기서 필요하다.앞의 예와 비교해 보면, 선형 변환의 불변 서브스페이스가 V의 베이스 필드에 의존하고 있음을 알 수 있다.

0이 아닌 불변 벡터(즉, T의 고정점)는 차원 1의 불변 하위 공간에 걸쳐 있다.차원 1의 불변 하위 공간은 스칼라에 의해 T가 작용하며, 스칼라가 1인 경우에만 불변 벡터로 구성된다.

위의 예에서 알 수 있듯이, 주어진 선형 변환 T의 불변 서브스페이스는 T의 구조를 밝혀냈다.V가 대수적으로 닫힌 영역에 걸친 유한차원 벡터 공간일 때, V에 작용하는 선형 변환은 요르단 표준형식에 의해 특징지어진다(유사성까지). 이는 V를 T의 불변적인 서브스페이스로 분해한다.T에 관한 많은 근본적인 질문들은 T의 불변적인 하위 영역에 관한 질문으로 번역될 수 있다.

보다 일반적으로 불변 서브스페이스는 연산자 집합에 대해 집합의 각 연산자에 대해 불변공간으로 정의된다.L(V)은 V에 대한 선형 변환의 대수를 나타내며, Lat(T)는 T ( L(V)에 따라 불변하는 서브 스페이스 계열이다.("Lat" 표기법은 Lat(T)가 격자를 형성한다는 사실을 가리킨다. 아래 논의를 참조한다.)비어 있지 않은 집합 σ ( L(V)을 주어, 각 T under ∈ under에 따라 불변 부공간을 불변으로 간주한다. 기호에서는,

${\displaystyle \operatorname {Lat}(\Sigma )=\빅캡 _{T\in \Sigma }\operatorname {Lat}(T).}$

예를 들어 σ = L(V)이면 Lat(Lat) = {0}, V }.

벡터 공간 V에서 그룹 G의 표현을 볼 때, 우리는 G의 모든 요소 G에 대해 선형 변환 T(g) : V → V를 가지고 있다. 만약 V의 하위 공간 W가 이러한 모든 변환과 관련하여 불변한다면, 그것은 하위 표현이고 그룹 G는 자연적인 방법으로 W에 작용한다.

또 다른 예로서 T l L(V)과 σ을 {1, T }에 의해 생성된 대수(대수)로 하고 여기서 1은 ID 연산자다.그런 다음 Lat(T) = Lat(Lat)이다.T는 사소한 in에 있기 때문에 Lat(σ) ⊂ Lat(T)에 있다.반면 Ⅱ는 1과 T의 다항식(다항식)으로 구성되며, 따라서 역포함도 또한 유지된다.

행렬 표현

유한차원 벡터 공간에 걸쳐 모든 선형 변환 T : V → V는 일단 V의 기초가 선택되면 매트릭스로 나타낼 수 있다.

이제 W가 T-invariant 하위 공간이라고 가정합시다.W의 기준 C = {v₁, ..., v_k}을(를) 선택하고 기준 B의 기준 B로 완료하십시오.그런 다음, 이 기준에 관해서 T의 행렬 표현은 다음과 같은 형태를 취한다.

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\0&T_{22}\end{bmatrix}}$

여기서 왼쪽 상단 블록 T는₁₁ T에서 W까지의 제한이다.

즉, 불변 하위 공간 T의 경우 V를 직접 합으로 분해할 수 있다.

$V=W\oplus W'.}$

T를 연산자 행렬로 보기

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}}:{\reason{pair}W\\\oplus \\w'\end{matrix}\오른쪽 화살표 {\begin{matrix}W\\\oplus \\w'\end{matrix},}$

T₂₁: W → W'는 0이어야 한다는 것은 분명하다.

주어진 아공간 W가 T에 따라 불변하는지를 결정하는 것은 표면적으로는 기하학적 성질의 문제다.매트릭스 표현은 이 문제를 대수적으로 표현하도록 한다.W에 대한 투영 연산자 P는 P(w + w′) = w로 정의된다. 여기서 w는 W이고 w는 W'이다.투영 P는 행렬을 나타낸다.

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0\0&0\end{bmatrix}:{\reason{pair}W\\\oplus \\w'\end{matrix}\오른쪽 화살표 {\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}.}$

간단한 계산은 PTP가 TP인 경우에만 P의 범위인 W = run P가 T에 따라 불변임을 보여준다.즉, 하위 공간 W가 Lat(T)의 요소인 것은 PTP = TP 관계를 만족하는 해당 투영과 동일하다.

P가 투영(예: P² = P)인 경우 1 - P도 마찬가지인데 여기서 1은 ID 연산자다.위로부터 P를 실행한 경우와 실행한 경우(1 - P)가 모두 T에 따라 불변인 경우에만 TP = PT가 된다.이 경우 T는 행렬을 나타낸다.

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}T_{11}&0\\0&T_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}\operatorname {Ran}P\oplus \\\\operatorname {Ran}(1-P)\end{matrix}\nd{matrix}\rigin{matrix}\operatorname {Ran}P\end{matrix};}$

콜로키얼리(Colorquially)는 T "직각화(diangleize)" T와 통용되는 투영법이다.

불변 하위 공간 문제

주요 기사:불변 하위 공간 문제

불변 아공간 문제는 V가 복잡한 숫자 위에 있는 분리 가능한 힐버트 공간, 치수 > 1이고 T는 경계 연산자인 경우에 관련된다.문제는 그러한 모든 T가 비종교적이고 폐쇄적이며 불변적인 하위 공간을 가지고 있는지를 결정하는 것이다.이 문제는 2021년^[update] 현재 해결되지 않고 있다.

V가 바나흐 공간이라고 가정하는 보다 일반적인 경우, Per Enflo(1976년)로 인해 불변적인 하위 공간이 없는 운영자의 예가 있다.불변 부공간이 없는 운영자의 구체적인 예는 1985년 찰스 리드에 의해 제작되었다.

불변-하위 공간 격자

비어 있지 않은 집합 element ⊂ L(V)이 주어지면, σ의 각 요소 아래에 있는 불변 부공간 불변공간은 격자를 형성하며, 때로는 σ의 불변-하위공간 격자라 불리며 Lat(()로 표시된다.

격자 연산은 자연적인 방법으로 정의된다. ′′ ⊂의 경우, 충족 연산은 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle \bigwedge _{W\in \Sigma '}W=\bigcap _{W\in \Sigma '}W}$

조인 작업이 정의되는 동안

${\displaystyle \bigvee _{W\in \Sigma '}W=\operatorname {span} \bigcup _{W\in \Sigma '}W.}$

의 Lat(Lat)의 최소 원소는 최소 불변 아공간이라고 한다.

비확정대수의 기본정리

대수학의 기본 정리가 유한차원 복합 벡터 공간에 작용하는 모든 선형 변환이 비침투적 부공간을 갖도록 보장하듯이, 비확정 대수학의 기본 정리는 Lat(Ⅱ)가 특정 Ⅱ에 대한 비침투적 요소를 포함하고 있다고 주장한다.

정리(Burnside) V는 유한한 차원의 복잡한 벡터 공간이라고 가정한다.L(V)의 모든 적절한 하위 지브라 bra에 대해 Lat(Lat)는 비경쟁 요소를 포함한다.

번사이드의 정리는 선형대수학에서 근본적으로 중요하다.한 가지 결과는 L(V)에 있는 모든 통근 가정은 동시에 3각형 상각으로 될 수 있다는 것이다.

비어 있지 않은 집합 σ ⊂ L(V)은 다음과 같은 V의 기본 {e₁, ..., e_n}이(가) 존재한다면 삼각형일 수 있다고 한다.

${\displaystyle \operatorname {span} \{e_{1},\ldots, e_{k}\}\in \operatorname {Lat}(\Sigma )\{\text{{}\전체 }\\\\c\geq 1\;}$

즉, σ의 모든 요소가 그 기초에 상삼각형 매트릭스 표현을 가질 수 있는 근거가 있다면 σ은 삼각형일 수 있다.번사이드의 정리로부터 L(V)의 모든 역학 대수 Ⅱ는 삼각형처럼 될 수 있다.따라서 L(V)의 모든 통근 가정은 동시에 3각형 상각일 수 있다.

좌파 이상

A가 대수학이라면 A에 대해 좌정정표현 define을 정의할 수 있다: ((a)b = ab은 A에서 L(A)까지의 동형상이며, A에 대한 선형변환 대수학이다.

φ의 불변적인 서브스페이스는 정확하게 A의 왼쪽 이상이다.A의 왼쪽 이상 M은 M에 A의 하위표시를 한다.

만약 M이 A의 왼쪽 이상이라면, 왼쪽 정규 표현 representation on M은 이제 지수 벡터 공간 A/M에 있는 표현 ''으로 내려간다.[b]가 A/M, class'(a)[b] = [ab]에서 등가 등급을 나타내는 경우.표현 representation'의 커널은 모든 b}에 대해 {a ∈ A ab ∈ M이다.

부공간 V ⊂ A/M은 {φ'(a) ∈ A} 아래의 불변성(invariant)이기 때문에 φ'의 표현은 quot'의 최대 좌뇌 이상일 경우에만 해석할 수 있다.

거의 변하지 않는 하프 스페이스

불변 서브스페이스와 관련된 것은 이른바 거의 반반경간격(AIHS)이다.A closed subspace ${\displaystyle Y}$ of a Banach space ${\displaystyle X}$ is said to be almost-invariant under an operator ${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(X)}$ if ${\displaystyle TY\subseteq Y+E}$ for some finite-dimensional subspace ${\displaystyle E}$; equivalently, ${$$\displaystyle Y}$은$({\displaystyle T}$+ ${\displaystyle F}$) ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\$$mathcal {$B}($X)$와 ${\displaystyle \mathrm{같은<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; F\backslash in\; \{\backslash mathcal\; \{B\}\}(X)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/68326b21afa4991f0549666d37f412f31d871e20"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:9.914ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="191">}}$ 유한 순위 연산자 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ B${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle F\in {\$mathcal {B$}(X)}$이(가) 있는 $경우$ T ${\$$displaystystytyle$$T}$에 따라 거의 변동성이 없다$$.$Y\subseteq Y},$즉, $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이${\displaystyle (}$일반적인 의미로$)$ T + F {\$displaystyle$ T+$F}$에 따라 불변인 경우. 이 경우 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}($$또는{\displaystyle }$ F ${\displaysty$ F$} 등급$의 최소 가능한 치수를 결점이라고 한다$.$

분명히, 모든 유한차원 및 유한차원 아공간은 모든 연산자 하에서 거의 비변수적이다.따라서 사물을 비독점적으로 만들기 위해 $우리$는 Y ${\displaystyle Y}$이(가) 무한한 차원과 무한한 코디네이션을 가진 닫힌 하위 공간일 때마다 반쪽 공간이라고 말한다$$.

AIHS 문제는 모든 사업자가 AIHS를 인정하는지를 묻는다.복잡한 설정에서 이미 해결되었다. 즉, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 복잡한 무한 차원 바나흐 ${\displaystyle 공간}$이고 $T{\displaystyle }$∈ B${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$ )${\displaystyle T\in {\mathcal$ {$B}(X)$이면 $T$ ${\displaystytle T}$은(최대 1)의 AIHS 결함을 인정한다$$.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 실제 바나흐 공간인 경우 동일한 공간이 유지되는지 여부는 현재 알려져 있지 않다.그러나, 일부 부분적인 결과가 확립되었다. 예를 들어, 무한 차원 실제 힐버트 공간의 자기 적응 연산자는 AIHS를 인정한다. 이는 실제 무한 차원 반사적 공간에 작용하는 엄격히 단수(또는 소형) 연산자와 같다.

참고 항목

• 불변 다지관

참고 문헌 목록

• Abramovich, Yuri A.; Aliprantis, Charalambos D. (2002). An Invitation to Operator Theory. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2146-6.

• Beauzamy, Bernard (1988). Introduction to Operator Theory and Invariant Subspaces. North Holland.

• Enflo, Per; Lomonosov, Victor (2001). "Some aspects of the invariant subspace problem". Handbook of the geometry of Banach spaces. Vol. I. Amsterdam: North-Holland. pp. 533–559.

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• Lyubich, Yurii I. (1988). Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups (Translated from the 1985 Russian-language ed.). Kharkov, Ukraine: Birkhäuser Verlag.

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