정규 단수점

수학에서, 복합 평면 $\mathbb {C}$ ${\$ 의 보통 미분 방정식 이론에서 $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ ${\$ 의 점들은 일반 점으로 분류되는데 $\mathbb {C}$ , 이 점들은 방정식의 계수가 분석함수인 점과 일부 계수가 특이점을 갖는 단수 점으로 분류된다.그 다음, 단수점들 중에서 중요한 구별은 해답의 성장이 대수함수에 의해 경계(소규모 부문)되는 정규 단수점과 전체 해법 집합이 더 높은 성장률을 가진 기능을 필요로 하는 불규칙 단수점 사이에 이루어진다.이러한 구별은 예를 들어 3개의 정규 단수점을 갖는 초기하 방정식과 어떤 의미에서 제한적인 경우지만 분석적 특성이 실질적으로 다른 베셀 방정식 사이에 발생한다.

형식 정의

보다 정확하게는 n번째 순서의 일반적인 선형 미분 방정식을 고려한다.

\sum _{i=0}^{n}p_{i}(z)f^{(i)}=0

p i (z)

meromphic 함수로.라고 추측할 수 있다.

p_{n}(z)=1.

그렇지 않으면 위의 방정식을 $p n (x$ )로 나누어야 한다 $.$ 이것은 고려해야 할 단수점을 도입할 수도 있다.

이 방정식은 리만 구에 대해 연구하여 무한대의 점을 가능한 단수점으로 포함시켜야 한다.뫼비우스 변환을 적용하여 필요한 경우 복합 평면의 유한 부분으로 move을 이동할 수 있다(아래 베셀 미분 방정식의 예 참조).

그리고 그 프로베니우스 방법은 결정 방정식에 기초한 지점 상처가, 또는 몇몇 구멍 페니읜 리만 곡면을 확장의 어디 r일 필요는 없다 정수를 복잡한 비행기에 이 함수가 존재할 것, 따라서, 덕분에 이러한 복잡한 힘은 어떤 주어진 근처의 멱급수번(z는 −)r 가능성 있는 해결책을 찾는 것을 적용될 것이다.i $a$ 를 샅샅이 뒤지다이것은 $평범한$ 점(Lazarus Fuchs 1866)에 아무런 어려움이 없다. $a$ 가 정규적인 단수점일 때, 정의상으로는

p_{n-i}(z)

대부분

의

i

에서 주문 폴을 가지고 있으며, 프로베니우스 방법은 또한 작동하도록 만들어질 수 있고 a

근처

에

n개

의 독립적인 해결책을 제공할 수 있다.

그렇지 않으면 점 $a$ 는 불규칙한 특이점이다.이 경우 분석적 연속성에 의한 해결책과 관련된 모노드로미 집단은 일반적으로 말할 것이 적고, 해결책은 점증적 팽창의 관점을 제외하고는 연구하기가 더 어렵다.불규칙한 특이점의 불규칙성은 푸앵카레 순위(Arscott (1995) harvtxt error: no target: CITREFArscott1995 (도움말)로 측정된다.

정규성 조건은 허용된 극이 지역에 있다는 의미에서 뉴턴 폴리곤 조건의 일종으로, 반대 방향으로 플롯되어 있다.i, 축에 45°의 선에 의해 경계를 이루었다.

무한대의 점을 포함한 단수점만이 정규 단수점인 일반 미분방정식을 후치안 보통 미분방정식이라고 한다.

2차 미분 방정식 예제

이 경우 위의 방정식은 다음과 같이 감소한다.

f'(x)+p_{1}(x)f'+p_{0}(x)f(x)=0.

다음과 같은 경우를 구분한다.

$점$ a는 함수 $p 1 (x)$ 와 $p 0 (x)$ 가 $x$ = $a$ 에서 분석되는 일반적인 지점이다.
$p 1 (x)$ 에 x = $a$ 에서 1까지 순서 폴이 있고, $p$ 에₀x = $a$ 에서 2까지 순서 폴이 있는 경우 점 $a$ 는 일반적인 단수점이다.
그렇지 않으면 점 $a$ 는 불규칙한 단수점이다.

대체 $w=1/x$ = $w=1/x$ / $w=1/x$ {\ $displaystyle w=1/x}$ 및 관계를 $w=1/x$ 사용하여 $무한대$ 에 불규칙한 단수점이 있는지 확인할 수 있다.

{\frac {df}{dx}=-w^{2}{\frac {df}{df}}

{\dfracyle {\d^{2}f}{dx^{2}}=w^{4}{\frac {d^{2}f}{{d^{2}}+2w^{3}{\frac {df}{df}}}}}}}}}

따라서 방정식을 $w$ 의 방정식으로 변환하여 $w$ = $0$ 에서 일어나는 일을 확인할 수 있다. $p_{1}(x)$ $p_{1}(x)$ ( $p_{1}(x)$ ) ${\displaystyle p_{1}($ $p_{2}(x)$ $)}$ 과 $p_{1}(x)$ $p_{2}(x)$ $p_{2}(x)$ ( x $p_{2}(x)$ ) ${\displaystyp p_{2}(x)$ 가 다항식의 인용인 경우 $p_{2}(x)$ , $p_{1}(x)$ $p_{1}(x)$ ( x { $dis$ 의 분모에 있는 다항식이 아닌 한 무한 x에 불규칙한 단수점이 있을 것이다. $Playstyle p_{1}(x)}$ 은 $p_{1}(x)$ 분자의 정도보다 적어도 한 개 이상 높고, $p_{2}(x)$ $p_{2}(x)$ ( $p_{2}(x)$ ) $p_{2}(x)$ 의 분모는 분자의 정도보다 적어도 두 개 이상이다 $p_{2}(x)$ .

아래에 열거된 예들은 단수점과 알려진 해결책을 가진 수학 물리학의 일반적인 미분 방정식에서 나온 몇 가지 예들이다.

베셀 미분 방정식

이것은 보통의 제2차 차등방정식이다.라플레이스의 방정식에 대한 해법은 원통형 좌표에서 찾을 수 있다.

{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}+x{df}{df}}{dx}}+(x^{2}-\flict ^{2}f=0})

임의의 실제 또는 복잡한 수

α

(베셀 함수의 순서).가장 보편적이고 중요한 특수한 경우는

α

가 정수인 곳이다.

이 방정식을 x로² 나누면 다음과 같다.

{\dfrac{d^{2}f}{dx^{2}}+{dx^{1}{1}{{n1}:{df}{df}}{dx}}}}{{dx}}}}+\좌측(1-{\frac {\frac ^{n1}{x^}}}}\rig)f=0.}

이 경우 $p 1 (x) = 1$ / $x$ 는 $x$ = $0$ 에서 첫 번째 순서의 폴을 가진다. $α$ ≠ $0일$ 때 $p 0 (x)$ = $(1$ - $α 2 / x 2)$ 는 $x$ = $0$ 에서 2차 순서의 폴을 가진다.따라서 이 방정식은 0에서 규칙적인 특이점을 가진다.