이시모리 방정식

이시모리 방정식은 일본 수학자 이시모리(1984)가 제안한 부분 미분 방정식이다. 그것의 관심은 통합이 가능한 평면에서 비선형 스핀원 필드 모델의 첫 번째 예로서이다(Sattinger, Tracy & Venakides 1991, 페이지 78).

방정식

이시모리 방정식은 형태가 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}\right)+{\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial x}},\qquad(1a)}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-\alpha ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=-2\alpha ^{2}\mathbf {S} \cdot \left({\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial x}}\wedge {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial y}}\right).\qquad(1b)}$

방만표현

Lax 표현

${\displaystyle L_{t}=AL-LA\qquad (2)}$

이 방정식의 예는 다음과 같다.

${\displaystyle L=\Sigma \partial _{x}+\알파 I\partial _{y}\qquad(3a)}$

${\displaystyle A=-2i\Sigma \partial _{x}^{2}+(-i\Sigma _{x}-i\알파 \Sigma \{y}\Sigma +u_{y)}}I-\알파 ^{3}u_{x}\Sigma )\부분 _{x}.\qquad(3b)}$

여기

${\displaystyle \Sigma =\sum _{j=1}^{3}S_{j}\sigma _{j}\qquad (4)}$

$\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 Pauli 행렬이고 I ${\displaystyle I}$은 ID 행렬이다.

할인

이시모리 방정식은 중요한 축소를 인정하는데, 1+1차원에서는 연속적인 고전적인 하이젠베르크 페로마그넷 방정식(CCHFE)으로 줄어든다. CCHFE는 통합이 가능하다.

등가 상대

이시모리 방정식의 등가 상대방식은 데이비-스테와트슨 방정식이다.

참고 항목

• 비선형 슈뢰딩거 방정식
• 하이젠베르크 모델(클래식)
• 스핀파
• 란도-리프시츠 모델
• 솔리톤
• 소용돌이
• 비선형 시스템
• 데이비-스튜어트슨 방정식

참조

• Gutshabash, E.Sh. (2003), "Generalized Darboux transform in the Ishimori magnet model on the background of spiral structures", JETP Letters, 78 (11): 740–744, arXiv:nlin/0409001, Bibcode:2003JETPL..78..740G, doi:10.1134/1.1648299
• Ishimori, Yuji (1984), "Multi-vortex solutions of a two-dimensional nonlinear wave equation", Prog. Theor. Phys., 72: 33–37, Bibcode:1984PThPh..72...33I, doi:10.1143/PTP.72.33, MR 0760959
• Konopelchenko, B.G. (1993), Solitons in multidimensions, World Scientific, ISBN 978-981-02-1348-0
• Martina, L.; Profilo, G.; Soliani, G.; Solombrino, L. (1994), "Nonlinear excitations in a Hamiltonian spin-field model in 2+1 dimensions", Phys. Rev. B, 49 (18): 12915–12922, Bibcode:1994PhRvB..4912915M, doi:10.1103/PhysRevB.49.12915
• Sattinger, David H.; Tracy, C. A.; Venakides, S., eds. (1991), Inverse Scattering and Applications, Contemporary Mathematics, vol. 122, Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/conm/122, ISBN 0-8218-5129-2, MR 1135850
• Sung, Li-yeng (1996), "The Cauchy problem for the Ishimori equation", Journal of Functional Analysis, 139: 29–67, doi:10.1006/jfan.1996.0078

외부 링크

• 분산 방정식 wiki에서의 이시모리_시스템