등거리 치수

수학에서 다지관의 등거리차원(Isoperimetric dimension)은 다지관의 대규모 동작이 유클리드 공간의 그것과 어떻게 유사한지를 포착하려고 하는 차원의 개념이다(유클리드 공간의 그것과 다른 국지적 행동을 비교하는 위상학적 차원이나 하우스도르프 차원과는 달리).

유클리드 공간에서 이등분포는 부피가 같은 모든 신체 중에서 공이 표면적이 가장 작다고 말한다.다른 다지관에서는 표면적을 최소화하는 정밀한 몸체를 찾는 것이 보통 매우 어려우며, 등측위 치수는 이치에 관한 것이 아니다.우리가 물어볼 질문은, 대략적으로 최소한의 표면적은 무엇인가, 신체가 무엇을 깨달았는지 입니다.

형식 정의

우리는 다른 다지관 M에 대해 만약 M의 어떤 열린 집합 D가 매끄러운 경계를 가지고 있다면 그것은 d차원 등측위 불평등을 만족시킨다고 말한다.

${\daystyle \operatorname {area}(\partial D)\geq C\operatorname {vol}(D)^{(d-1)/d}.}$

공지의 부피와 면적은 다지관의 부피와 표면적에 대한 일반적인 개념을 가리키며, 더 정확히 말하면, 다지관의 위상학적 치수가 n인 경우 부피와 면적이 n차원 부피와 (n - 1)차원 부피를 가리킨다.여기서 C는 D에 의존하지 않는 상수를 가리킨다(다지관과 d에 의존할 수 있다).

M의 등차원 치수는 D-차원 등차원 불평등을 만족시키는 d의 모든 값에 대한 우월성이다.

예

d차원 유클리드 공간은 등측위 차원 d를 가진다.이것은 잘 알려진 등측계 문제다. 위에서 논의한 바와 같이 유클리드 공간의 경우 상수 C는 공에 대해 최소치가 달성되기 때문에 정확하게 알려져 있다.

무한 실린더(즉, 원과 선의 산물)는 위상학적 치수 2를 가지지만 등측 치수 1을 가진다.실제로 어떤 다지관과 콤팩트 다지관을 곱해도 등측 치수는 변하지 않는다(상수 C의 값만 변경된다).모든 콤팩트 매니폴드에는 등측 치수 0이 있다.

또한 등측위 치수가 위상학적 치수보다 클 수도 있다.가장 간단한 예는 위상학적 차원 2와 등측적 차원 3을 가진 무한 정글 체육관이다.그림 및 Mathematica 코드는 [1]을 참조하십시오.

쌍곡면에는 위상학적 차원 2가 있고 등측위 차원 무한대가 있다.사실 쌍곡면에는 양의 치거 상수가 있다.불평등을 만족시킨다는 뜻이다.

${\displaystyle \operatorname {area}(\partial D)\geq C\operatorname {vol}(D),}$

무한한 등측적 차원을 의미하지

그래프

그래프의 등거리 치수는 유사한 방식으로 정의될 수 있다.정 의원의 조사에는 정확한 정의가 나온다.^[1]면적과 부피는 정해진 크기로 측정한다.그래프 G의 모든 부분 집합 A에 대해 ${\displaystyle \mathrm{one}}{\displaystyle \mathrm{}}$A ${\displaystyle \partial A}$을(를) 이웃이 A에 있는$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G\setminus A}$의 정점 집합으로$$ 정의한다.d-차원 등측위 부등식은 이제 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle \partial A \geq C\left(\min \left(A , G\setminus A \right)\right)^{(d-1)/d}}$

(이 MathOverflow 질문은 더 자세한 내용을 제공한다.)위의 모든 예에 대한 그래프 아날로그는 유지되지만 정의는 0이 되지 않기 위해 약간 다르다: 위의 $공식$에서 A ${\displaystyle A}$의 볼륨은 ${\displaystyle 최소(A}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Ga}$A ) ${\displaysty \min(A$ , G$\setminus$A$)}$로 대체된다$$($$정 교수 조사, 참고).섹션 7).

d-차원 그리드의 등측 치수는 d이다.일반적으로 등측위 치수는 다지관 사이의 준 등측위, 그래프 사이의 준 등측위, 심지어 다지관을 그래프에 옮기는 준 등측위치에 의해 각각의 정의와 함께 보존된다.대략적으로, 이것은 그래프가 주어진 다지관을 "모사"하는 것을 의미한다(그리드선이 유클리드 공간을 모방하듯이) 다지관과 동일한 등측위 치수를 가질 것이다.무한완전한 이진수 트리는 등측 치수 dimension을 가진다.^{[citation needed]}

등거리 측정의 결과

r에 대한 간단한 통합(또는 그래프의 경우 합)은 d-차원 등차적 불평등이 d-차원 볼륨 증가, 즉 d-차원 볼륨 증가를 함축한다는 것을 보여준다.

${\displaystyle \operatorname {vol}B(x,r)\geq Cr^{d}}$

여기서 B(x,r)는 리만 거리 또는 그래프 거리의 x 지점 주위의 반경 r 공을 나타낸다.일반적으로, 그 반대는 사실이 아니다. 즉 균일하게 기하급수적으로 증가하는 볼륨은 어떤 종류의 등측 불평등을 의미하지 않는다.간단한 예는 그래프 Z(즉, 가장자리가 n과 n + 1 사이에 있는 모든 정수)를 취하여 높이 n의 완전한 이진수(binary tree)를 정점에 연결함으로써 얻을 수 있다. 두 속성(초과 성장 및 0 등비계 치수)은 모두 검증하기 쉽다.

흥미로운 예외는 집단의 경우다.다항식 성장 순서 d를 가진 집단은 등측 치수 d를 가지고 있는 것으로 밝혀졌다.이것은 Lie 그룹의 경우와 정확히 생성된 그룹의 Cayley 그래프 모두에 적용된다.

바로풀로스의 정리는 그래프의 등측위 치수를 그래프의 무작위 보행 탈출 속도에 연결한다.결과는 다음과 같다.

바라풀로스의 정리:G가 d-차원 등측위 부등식을 만족하는 그래프라면

${\displaystyle p_{n}(x,y)\leq Cn^{-d/2}}$

어디에 ${\textstyle p_{n}(x,y)}$ 무작위로 걸어다닐 확률은 G 로부터 시작해서 x 에 들어갈 것이다 y 다음에 n 스텝, 그리고 C 일정하다.

참조

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• 아이작 차벨, 등차적 불평등: 미분 기하학적, 분석적 인내력, 영국 케임브리지 대학 언론(2001) ISBN 0-521-80267-9

그래프에 대한 언급 없이 다지관의 맥락에서 주제를 논의한다.

• N. Th. Th. Varopulos, Isoperimetric 불평등과 마르코프 체인, J. Funkt.항문 63:2 (1985), 215–239.
• 티에리 쿨혼과 로랑 살로프-코스트, 이소페리메트리, 레스 그룹 외 레스 변종, 마트 이베로아메리카나 9:2 (1993), 293–314.

이 논문에는 다항식 성장 그룹에서 볼륨 증가와 등차수 불평등이 동등하다는 결과가 수록되어 있다.프랑스어로.

• 팬청, 이산등산불균형Differential Geometry IX, International Press(2004), 53–82.http://math.ucsd.edu/~fan/filename/iso.pdf.

이 논문은 그래프의 등측위 치수에 대한 정확한 정의를 담고 있으며, 그 성질의 많은 부분을 설정한다.