반복 적분

다변량 미적분학에서 반복된 적분은 각 적분자가 변수 일부를 주어진 상수로 간주하는 방식으로 둘 이상의 변수(${\displaystyle 예}$: $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$ f ($x,y,z$ $또는$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, z${\displaystyle }$)의 함수에 적분법을 적용한 결과다.For example, the function ${\displaystyle f(x,y)}$, if ${\displaystyle y}$ is considered a given parameter, can be integrated with respect to ${\displaystyle x}$, ${\textstyle \int f(x,y)\,dx}$. The result is a function of ${\displaystyle y}$ and therefore its integral can be consi디레드(derred). 이 작업을 수행하면 결과는 반복된 적분

$\displaystyle \int \left(\int f(x,y)\,dx\right)\,dy.}$

이는 원칙적으로 여러 통합과 다르다는 것이 반복 통합의 개념의 핵심이다.

$\displaystyle \iint f(x,y)\,dx\,dy.}$

일반적으로 이 두 가지는 다를 수 있지만, 푸비니의 정리에서는 구체적인 조건에서는 동등하다고 기술하고 있다.

통합 통합에 대한 대체 표기법

$\displaystyle \int dy\int dx\,f(x,y)}$

또한 사용된다.

괄호를 사용하는 표기법에서 반복 통합은 외부에서 가장 내부 적분부터 시작하여 괄호로 표시된 작동 순서를 따라 계산된다.$\mathrm{대안}$ 표기법에서는$\mathrm{inner}$ d x$xf$ ( $x$, $y$) ${\textstyle \int dy\,\int dx\,f(x,y)}$라고$$적으면 가장 안쪽의 통합이 먼저 계산된다.

예

간단한 계산

반복된 적분용

$\displaystyle \int \left(\int (x+y)\,dx\right)\,dy}$

적분

${\displaystyle \int(x+y)\,dx={\frac{x^{2}}:{2}}+yx}$

먼저 계산된 후 결과를 사용하여 y에 대한 적분을 계산한다.

${\displaystyle \int \left\frac {x^{2}}+yx\right)\,dy={\frac {yx^{2}}+{\frac {xy^{2}}:}$

이 예는 통합의 상수를 생략한다.x에 관한 첫 번째 통합 후에, 우리는 엄격하게 y의 "일관적인" 기능을 도입할 필요가 있을 것이다.즉, x에 대해 이 기능을 차별화한다면 y만을 포함하는 모든 용어는 사라지게 되고 원래의 통합은 사라지게 된다.두 번째 적분에서도 마찬가지로, 우리는 y에 대해 통합했기 때문에 x의 "일관적인" 함수를 도입할 것이다.이런 식으로 무기한 통합은 여러 변수의 함수에는 그다지 이치에 맞지 않는다.

순서가 중요하다.

통합이 계산되는 순서는 특히 통합이 통합 영역에서 연속적이지 않을 때 반복 통합에서 중요하다.서로 다른 순서가 다른 결과로 이어지는 예는 대개 다음과 같은 복잡한 기능에 대한 것이다.

0=0&lt은 1<>2<>⋯{\displaystyle a_{0}=0<, a_{1}<, a_{2}<, \cdots}, 그러한 시퀀스지요 오빠 → 1{\displaystyle a_{n}\to 1} 할게.g n{\displaystyle g_{n}}은 지속적인 기능이 아니소실의 간격(오빠, n+1){\displaystyle(a_{n},a_{n+1})}과 ze.ro을 돌봅니다 다른 곳, 그러한that${}_{0\mathrm{}}^{}$ ${\mathrm{}}_{}^{}$ ${}_{}^{}{}_{}$ $n_{}$= $1$ ${\textstyle \int _{0}^{$1}$g_{n}=1}$모든 $n{\displaystyle }${\$displaystyle n}$에 대해$$ 정의$.$

${\displaystyle f(x,y)=\sum _{n=0}^{\nft }\왼쪽(g_{n})(x)-g_{n+1}(x)\right)g_{n}(y).}$

앞의 합에서 각 특정$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle (x,y)}$에서$$최대 한 개의 용어는 0과 다르다.이 기능을 위해 다음과^[1] 같은 일이 일어난다.

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{0}^{a_{1}}\left(\int _{0}^{a_{1}}g_{0}(x)g_{0}(y)\,dy\right)\,dx=1\neq 0=\int _{0}^{1}0\,dy=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\right)\,dy}$

참고 항목

• 푸비니의 정리 – 미적분에서의 통합 순서 전환 조건

참조