잭 함수

수학에서 잭 함수는 헨리 잭이 도입한 잭 다항식의 일반화다.잭 다항식은 슈르와 지역 다항식을 일반화하는 동질적이고 대칭적인 다항식이며, 헥만-옵담 다항식, 맥도날드 다항식으로 차례로 일반화된다.

정의

The Jack function ${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})}$ of an integer partition ${\displaystyle \kappa }$, parameter ${\displaystyle \alpha }$, and arguments ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}$ can다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

m=1의 경우

${\displaystyle J_{k}^{(\alpha )}(x_{1}=x_{1}^{1}{k}(1+\alpha )\cdots(1+(k-1)\alpha )}$

m>1의 경우

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=\sum _{\mu }J_{\mu }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m-1})x_{m}^{ \kappa /\mu }\beta _{\kappa \mu },}$

여기서 합계는 모든 파티션 $[\displaystyle \mu }$에 걸쳐 있으므로 스큐 파티션 $[\displaystyle \kappa /\mu }$은 수평 스트립(즉,

${\displaystyle \kappa _{1}\geq \mu _{1}\geq \kappa _{2}\geq \mu _{2}\geq \cdots \geq \kappa _{n-1}\geq \mu _{n-1}\geq \kappa _{n}}$ (${\displaystyle \mu _{n}}$ must be zero or otherwise ${\displaystyle$$J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n-1}=0$ 및

${\displaystyle \beta _{\kappa \mu }={\frac {\prod _{(i,j)\in \kappa }B_{\kappa \mu }^{\kappa }(i,j)}{\prod _{(i,j)\in \mu }B_{\kappa \mu }^{\mu }(i,j)}},}$

where ${\displaystyle B_{\kappa \mu }^{\nu }(i,j)}$ equals ${\displaystyle \kappa _{j}'-i+\alpha (\kappa _{i}-j+1)}$ if ${\displaystyle \kappa _{j}'=\mu _{j}'}$ and ${\displaystyle \kappa _{j}'-i+1+\alpha$$(\kappa _{i}-j)$ 그렇지 않으면$$.$\kappa {\displaystyle }$$\$ {\$displaystyle \kappa$'}과${\displaystyle {}^{}}$μ {$$${\displaystyle \cappa$}과$$$$ μ $\mu {\displaystyle }$\$displaysty \mu$ $\}$의 결합 파티션을 각각$$ 가리킨다.${\displaystyle \mathrm{표기법}}({\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle (i,j)\in \kappa }$은 파티션 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$의 Young 다이어그램에 있는 상자의$$ 모든 좌표$({\displaystyle i}$ ,${\displaystyle j}$ $){\displaystystyle$ ($i,j)$를 제품이 인수함을 의미한다$.$

결합식

1997년 F. Knop과 S.Sahi는 다음과 같은 n 변수에$$ 잭 다항식 $J{\displaystyle {}_{}^{\mu }}$ (${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$) ${\$에 대해 순전히 결합 공식을 제공했다.

${\displaystyle J_{\mu }^{(\alpha )}=\sum _{T}d_{T}(\alpha )\prod _{s\in T}x_{T}}}}$

이 합계는 $\lambda {\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \lambda ,}$ 도형의$$ 모든 허용 가능한 표에 대해 취합된다.

${\displaystyle d_{T}(\alpha )=\prod_{s\in T{\text{critical}}d_{\lambda }(\alpha )s}$

와 함께

${\displaystyle d_{\buffda }(\buffsa }s)(a_{\buffda }+1)+(l_{\buffda }s)+1).}$

허용되는 모양 표 $table{\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 영 다이어그램$\lambda {\displaystyle }$ {\$displaystyle \lambda }$을(를) 1,2,n으로 채워서 표의$$ 상자(i,j),

• ${\displaystyle }$${\displaystyle }$( ${\displaystyle i}$, j${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle T}$( ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$, j${\displaystyle }$)$$ > {\$displaystyle T(i,j)\neq T(i',j)}$ whenever$$> i. ${\displaysty i'>$$i$.$}$
• ${\displaystyle }$${\displaystyle }$( ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle T}$( i${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{j}}$- 1${\displaystyle }$) $【\displaystyle$ T$(i,j)\neq$ T($i$$,j-1)】$ $<\displaysty j>1},$ $i.$$【\displaystyle i`}.$$}$

상자 $s{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle s=(i,j)\in$\lambda $}$은(는) > ${\displaysty j>$1} 및 T($i{\displaystyle }$$,$ j${\displaystyle )}$= ${\displaystyle T(i}$,$j$ 1$$)${\displaystyle }$. ${\displaystyty T$에 매우 중요하다$$.$T($$i,j-1)$$}$

이 결과는 맥도날드 다항식의 보다 일반적인 결합 공식의 특별한 사례로 볼 수 있다.

C 정규화

잭 함수는 대칭 다항식의 공간에서 직교 기준을 형성하며, 내측 제품은 다음과 같다.

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{[0,2\pi ]^{n}}f\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right){\overline {g\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}}\prod _{1\leq j<k\leq n}\left e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}\right ^{\frac {2}{\alpha }}d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}}$

이 직교성 속성은 정상화의 영향을 받지 않는다.위에서 정의한 정규화를 일반적으로 J 정규화라고 한다.C 정규화는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots,x_{n}}={\frac {\alpha ^{\kappa }(\kappa )!}}{j_{\kappa }}J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

어디에

${\displaystyle j_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }\left(\kappa _{j}'-i+\alpha \left(\kappa _{i}-j+1\right)\right)\left(\kappa _{j}'-i+1+\alpha \left(\kappa _{i}-j\right)\right).}$

For ${\displaystyle \alpha =2,C_{\kappa }^{(2)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ is often denoted by ${\displaystyle C_{\kappa }(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ and called the Zonal polynomial.

P 정규화

P 정규화는 ID ${\displaystyle J_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle H_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle P{}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$에 의해 주어진다$.$

${\displaystyle H'_{\lambda }=\prod _{s\in \lambda }(\alpha a_{\lambda }s)+l_{\lambda }+1)}$

여기서 ${\$과 $l{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 각각 팔과 다리 길이를 나타낸다$$.따라서 $\alpha {\displaystyle }$=${\displaystyle 1}$에 ${\displaystyle {}_{}}$는 P ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$이(가) 일반적인 Schur 함수다$$.

슈르 다항식과 마찬가지로 P ${\$은(는) 영 tablea 위에 합으로 표현할 수 있다$$.그러나 매개 변수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 따라 달라지는 각 테이블au에 가중치를 추가해야 한다$.$

따라서 잭 함수 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 대한 공식은 다음과 같다$$.

${\displaystyle P_{\lambda }=\sum _{T}\psi _{T}(\alpha )\prod _{s\in \lambda }x_{T}}}}}}}}}}}$

여기서 합계가 도형 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$}의 모든 표에 포함되며$,$ $T{\displaystyle }$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle T(s)}$는 T의 상자 s에 있는 항목을 나타낸다$$.

무게 $\psi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$(${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle \psi _{T}(\$$alpha$ $)}$는 다음과 같은 방식으로 정의할 수 있다: can형$$ $\lambda$의$$각 테이블au T는 일련의 파티션으로 해석될$$ 수 있다$.$

$\displaystyle \emptyset =\nu \{1}\to \nu \nu _{2}\to \to \nu_{n}=\da }$

여기서 $\nu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ /${\displaystyle {}_{}{\nu }_{}}$ i ${\$은(는) T의 내용 i로 스큐 모양을 정의한다$$.그러면

${\displaystyle \psi _{T}(\alpha )=\pd_{i}\psi _{\nu_{i+1}/\nu _{i}(\alpha )}$

어디에

${\displaystyle \psi _{\lambda /\mu }(\alpha )=\prod _{s\in R_{\lambda /\mu }-C_{\lambda /\mu }}{\frac {(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+1)}{(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+\alpha )}}{\frac {(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+\alpha )}{(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}}}$

그리고 제품은 동일한 열에 $[\$$displaystyle \lambda$ }의 박스가 있는$$ $\lambda {\displaystyle }${\$displaystyle \dada$/\$mu$$}$의 모든 박스에 대해서만 가져간다.

슈르 다항식과의 연결

$\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha =1}$일 때 잭 함수는 슈르 다항식의 스칼라 배수가 된다.

${\displaystyle J_{\kappa }^{(1)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}=H_{\kappa }s_{\cappa }}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

어디에

${\displaystyle H_{\kappa }=\prod_{(i,j)\in \cappa }h_{\papa }(i,j)=\prod_{i}+\papa _{j}$

$\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$의 모든 후크 길이의 제품이다$.$

특성.

파티션에 변수 개수보다 많은 부분이 있는 경우 잭 함수는 0:

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}=0,{\mbox{ 만약 }}\}\cappa _{m+1}}0.}$

행렬 인수

특히 랜덤 매트릭스 이론의 일부 텍스트에서 저자들은 잭 함수에서 매트릭스 인수를 사용하는 것이 더 편리하다는 것을 알게 되었다.연결은 간단하다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 고유값 x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$ .

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(X)=J_{\\kappa }^{}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}).}$

참조

• Demmel, James; Koev, Plamen (2006), "Accurate and efficient evaluation of Schur and Jack functions", Mathematics of Computation, 75 (253): 223–239, CiteSeerX 10.1.1.134.5248, doi:10.1090/S0025-5718-05-01780-1, MR 2176397.
• Jack, Henry (1970–1971), "A class of symmetric polynomials with a parameter", Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, Section A. Mathematics, 69: 1–18, MR 0289462.
• Knop, Friedrich; Sahi, Siddhartha (19 March 1997), "A recursion and a combinatorial formula for Jack polynomials", Inventiones Mathematicae, 128 (1): 9–22, arXiv:q-alg/9610016, Bibcode:1997InMat.128....9K, doi:10.1007/s002220050134
• Macdonald, I. G. (1995), Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford Mathematical Monographs (2nd ed.), New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1, MR 1354144
• Stanley, Richard P. (1989), "Some combinatorial properties of Jack symmetric functions", Advances in Mathematics, 77 (1): 76–115, doi:10.1016/0001-8708(89)90015-7, MR 1014073.

외부 링크

• Plamen Koev와 Alan Edelman에 의한 Jack 함수 계산용 소프트웨어.
• MOPS: 다변량 직교 다항식(기호) (Maple Package)
• 잭 대칭 함수에 대한 SAGE 문서