존스 미적분학

광학에서 편광 빛은 1941년 R. C. 존스가 발견한 존스 미적분학을 사용하여 설명할 수 있다. 편광은 존스 벡터로, 선형 광학 소자는 존스 매트릭스로 표현된다. 빛이 광학적 원소를 통과할 때 광학적 원소의 존스 매트릭스와 입사광의 존스 벡터의 곱을 취함으로써 그 결과로 나타나는 빛의 양극화가 발견된다. 존스 미적분은 이미 완전히 편광된 빛에만 적용된다는 점에 유의한다. 무작위로 편광되거나 부분적으로 편광되거나 일관성이 없는 빛은 뮬러 미적분을 사용하여 처리해야 한다.

존스 벡터

존스 벡터는 자유 공간 또는 다른 균일한 등방성 비감쇠 매체에서 빛의 양극화를 설명하는데, 여기서 빛을 가로파로 적절하게 설명할 수 있다. 단색 평면 빛의 파형이 각도 주파수 Ω과 파장 벡터 k = (0,0,k)로 양의 z 방향으로 이동한다고 가정해 보십시오. 여기서 wavenumber k = Ω/c. 그러면 전기장과 자기장 E와 H는 각 지점에서 k와 직교한다. 둘 다 운동방향으로 "횡단" 평면에 놓여 있다. 나아가 H는 매질의 파동 임피던스에 따라 E로부터 90도 회전과 고정 승수로 결정된다. 그래서 빛의 양극화는 E를 공부함으로써 결정될 수 있다. E의 복잡한 진폭이 기록된다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i(kz-\omega t+\phi_{x}\\\\\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}}\\0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}\\\E_{0y}e^{i\pi _{y}\\0\end{pmatrix}e^{i(kz-\omega t)}.}$

물리적 E 필드는 이 벡터의 실제 부분이며 복합 승수는 위상 정보를 제공한다. 여기서 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$은(는) $i{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$을(를) 가진 가상 단위다$.$

존스 벡터는

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}\\E_{0y}e^{i\pi _{y}\end{pmatrix}}.}$

따라서 존스 벡터는 x와 y 방향으로 전기장의 진폭과 위상을 나타낸다.

존스 벡터의 두 성분의 절대값 제곱합은 빛의 강도에 비례한다. 단순화를 위해 계산 시작점에서 1로 정상화하는 것이 일반적이다. 또한 존스 벡터의 첫 번째 구성요소를 실제 숫자로 제한하는 것이 일반적이다. 이것은 다른 빔과의 간섭 계산에 필요한 전체 위상 정보를 무시한다.

이 글의 모든 존스 벡터와 매트릭스는 광파의 위상이 헤흐트가 사용하는 관습인$$$\varphi {\displaystyle }$= ${\displaystyle k}$ z -${\displaystyle \Omega }$ t ${\displaystyle \phi =kz-\omega$ t$}$에 의해 주어진다는 규약을 채택하고 있다는 점에 유의한다. 이 협약에 따라 $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$또는 $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$의 증가는 단계적 지체(지연)를 나타내고, 감소는 단계적 진전을 나타낸다. 예를 들어 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$의 Jones 벡터 $$구성 요소(${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$/ 2 ${\$= e$^{i\pi$/$2$$\}\})$는 1(${\displaystyle }$= e ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 비해 $\pi {\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystysty$ /2$}($또는 90도)만큼 지연을 나타낸다. 존스의 관습에 따라 기술된 원형 양극화는 "수신자의 관점에서"라고 불린다. 콜릿은 위상에 대해 반대되는 정의( (${\displaystyle }$= ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle t}$ -${\displaystyle k}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \phi =\omega t-kz})$를 사용한다.$$ 콜렛의 협약에 따라 묘사된 순환 양극화는 "출처의 관점에서"라고 불린다. 독자는 존스 미적분학에 관한 참고문헌을 자문할 때 관례의 선택을 경계해야 한다.

다음 표에는 정규화된 존스 벡터의 6가지 일반적인 예가 나와 있다.

양극화	존스 벡터	일반적인 케트 표기법
x 방향으로 편광된 선형 일반적으로 "수평"이라고 함	${\displaystyle {\pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$	$H\rangele }$
y 방향으로 편광된 선형 일반적으로 "수직"이라고 함	${\displaystyle {\pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$	$V\rangele }$
x축으로부터 45°에서 선형 편광 일반적으로 "대각형" L+45라고 함	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt{2}}{\\pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}}$	${\displaystyle D\rangele ={\frac {1}{\\sqrt{2}}:}{\big (}H\rangele + V\rangele {\big )}}}}}}}$
x축에서 -45°의 선형 편광 일반적으로 "반각형" L-45로 불린다.	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt{2}}{\\pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}}$	${\displaystyle A\rangele ={\frac {1}{\sqrt{2}}}{\big (}H\rangele - V\rangele {\big )}}}}}$
우측 원형 편광 일반적으로 "RCP" 또는 "RHCP"라고 함	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt{2}}{\\pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}}}$	${\displaystyle R\rangele ={\frac {1}{\\sqrt{2}}}{\big (}H\rangele -i V\rangele {\big )}}}}}$
좌측 원형 극성 일반적으로 "LCP" 또는 "LHCP"라고 함	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt{2}}{\\pmatrix}1\+i\end{pmatrix}}}}$	${\displaystyle L\rangele ={\frac {1}{\\sqrt{2}}:}{\big (}H\rangele +i V\rangele {\big )}}}}}}$

표면의 어느 장소를 가리키는 일반 벡터는 케트 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle ⟩}$ { { ${\displaystyle \psi \rangle }$로 쓰여 있다$.$ 푸앵카레 구체(일명 Bloch sep)를 채용할 때는 기본 켓(${\displaystyle 0\mathrm{}⟩}$ ${\displaystyle$ 0$\rangele }$과 $⟩ {\displaystystyte }$)을 반대(반복쌍)에 할당해야 한다. 위에 열거한 kets 예를$$ 들어 ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle 0\rangele }$ = ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle ⟩}${\$displaystyle H\rangele }$ 및 $\$ {\$displaystyle 1\rangele }$ $$= ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle V\rangele }$을 할당할 수 있다$.$ 이러한 할당은 임의적이다. 반대 쌍은

• ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle H\rangele}$ 및 V${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V\rangele }$
• ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle D\rangele}$ 및 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle A\rangele}$
• ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle R\rangle }$ ${\displaystyle 및}$ L ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle L\rangele }$

The polarization of any point not equal to ${\displaystyle R\rangle }$ or ${\displaystyle L\rangle }$ and not on the circle that passes through ${\displaystyle H\rangle , D\rangle , V\rangle , A\rangle }$ is known as elliptical polarization.

존스 행렬

존스 행렬은 위에서 정의한 존스 벡터에 작용하는 연산자다. 이러한 행렬은 렌즈, 빔 스플리터, 미러 등 다양한 광학적 요소에 의해 구현된다. 각 행렬은 존스 벡터의 1차원 복합 하위 공간에 투영된 것을 나타낸다. 다음 표에는 편광기용 존스 행렬의 예가 나와 있다.

광소자	존스 매트릭스
전송 축이 수평인[1] 선형 편광기	${\displaystyle {\pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
전송 수직[1] 축이 있는 선형 편광기	${\displaystyle {\pmatrix}0&0\\\0&1\end{pmatrix}}$
수평으로[1] ±45°의 전송 축을 갖는 선형 편광기	${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}}:\\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}}$
수평에서[1] 전송$$ 각도 $축$이 ${\displaystyle \theta }$인 선형 편광기	${\displaystyle {\pmatrix}\cos ^{2}(\theta )&\cos(\theta )\cosin(\theta )\cosin(\theta )\sin ^{2}(\theta )\end{pmatrix}}}}}}}}}$
우측 원형 편광기[1]	${\displaystyle {\frac {1}{1}:{1}{\\\pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}}$
좌측 원형 편광기[1]	${\displaystyle {\frac {1}{1}:{1}{\\\pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}}$

위상지연기

위상지연기는 전장의 수직 및 수평 요소 사이에 위상변동을 도입하여 빔의 양극화를 변화시킨다. 위상지연제는 보통 석회석, MgF₂ 또는 석영과 같은 2중환 단색 결정으로 만들어진다. 단축 결정에는 다른 두 개의 결정 축(즉_ij, n have n = n_k)과는 다른 하나의 결정 축이 있다. 이 독특한 축을 비범한 축이라고 하며 광축이라고도 한다. 광축은 크리스털에 따라 결정의 고속 또는 저속 축이 될 수 있다. 빛은 굴절률이 가장 작은 축을 따라 위상 속도가 더 높은 상태로 이동하며, 이 축을 고속 축이라고 한다. 마찬가지로 굴절률이 가장 큰 축은 빛의 위상 속도가 이 축을 따라 가장 낮기 때문에 느린 축이라고 불린다. "Negative" uniaxial crystals (e.g., calcite CaCO₃, sapphire Al₂O₃) have n_e < n_o so for these crystals, the extraordinary axis (optic axis) is the fast axis, whereas for "positive" uniaxial crystals (e.g., quartz SiO₂, magnesium fluoride MgF₂, rutile TiO₂), n_e > n_o and thus the extraordinary axis (optic axis) is the slow axis.

x축 또는 y축과 동일한 고속 축의 위상 지각기는 0개의 오프-대각 항을 가지므로 다음과 같이 편리하게 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\pmatrix}e^{i\pi _{x}&0\\e^{i\pmatrix}}$

여기서 $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ y ${\$는 $각각{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$ 및$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaysty y}$ 방향으로$$ 전기장의 위상 오프셋이다$$. 단계는 대회 ϕ에서)k z − ω t{\displaystyle\phi =kz-\omega지}, ϵ로 계산 ϕ y− ϕ){\displaystyle \epsilon =\phi_{y}-\phi _{)}}. 그런 다음에 긍정적인 ϵ{\displaystyle \epsilon}(즉 ϕ는 y{\displaystyle \phi_{y}}>ϕ){\displaystyle \phi_{그 두개의 파도 사이에 있는 위상을 정의 내린다.x}})E({\displaystyle E_{y}}E={\displaystyle E_{)}과 같은 값을 달성하지 않}이 더 늦은 시간까지, 즉 E={\displaystyle E_{)}}을 의미한다. 만약ϵ<0{\displaystyle \epsilon<0}마찬가지로, E({\displaystyle E_{y}}을 이끈다 E({\displaystyle E_{y}}을 이끈다. Ex${\displaystyle E_{x$

예를 들어, 쿼터파 판의 빠른 축이 수평인 경우 수평 방향을 따라 위상 속도가 수직 방향($E{\displaystyle {}_{}}$ x ${\$보다 앞서는 경우$,$ $즉{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ 따라서 < ${\$ 쿼터 웨이브 플레이트의 ${\displaystyle {경우}_{}}$y = ${\displaystyle x_{}x}$ + ${\displaystyle /}$ / ${\displaystyle 2\mathrm{}}${\$displaystyle \pi _{y}=\x}+\pi /2}$이 생성된다$.$

반대 개념인 $\varphi {\displaystyle }$= ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle t}$ -${\displaystyle }$k ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$에서 상대 위상을 $ϵ{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ x -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$pi _${y}}}$로 정의한다$.$ 그렇다면 > 0${\$$displaystyle$ $\epsilon >0}$은 $E{\displaystyle {}_{}}$ y ${\$ $E_{x$$}}}}$이(가) $나중$에야 ${\displaystyle E_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$$$${\$$displaystyle$ $E_{x$$}}$와 같은 값을 얻을 수 있음을$$ 의미한다$.$

위상지연기	해당 존스 행렬
빠른 축 수직의[2][note 1] 쿼터파 플레이트	${\displaystyle e^{\frac {i\pi }{4}{\\pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}}}$
빠른 축 수평을[2] 가진 쿼터파 플레이트	${\displaystyle e^{-{\frac {i\pi }{4}}{\\pmatrix}{\pmatrix}1&0\i\end{pmatrix}}}}$
수평 축의$$ 각도 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta$} w.r.t에 고속 축이 있는 1/4파형 플레이트	${\displaystyle e^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$
수평 축의[3] 각도 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta$} w$$.r.t에 고속 축이 있는 반파 판	${\displaystyle e^{-{\frac {i\pi }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta &2\cos \theta \sin \theta \\2\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$
임의의 바이레프링 소재(위상 지연제)[4]	${\displaystyle e^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +e^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-e^{i\eta }\right)e^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\\left(1-e^{i\eta }\right)e^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +e^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$

위상지연체에 대한 특수 표현식은 2중지질 재료에 대한 일반 표현식에서 적절한 매개변수 값을 취함으로써 얻을 수 있다. 일반적인 표현에서:

• 빠른 축과 느린 축 사이에 유도된 상대 위상 지연은 $\eta {\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{\varphi }_{}}$ x ${\$에 의해 주어진다.
• ${\displaystyle \theta }$ $[\displaystyle \theta }$은(는) x축에 대한 고속 축의 방향이다.
• ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \phi }$이(가) 원형이다$$.

선형 지연자의 경우 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$ $$= 0, 원형 지연자의 경우 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$ $$= ± $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$ $\}$ /2, $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystystyle \ta}$ $$=$$$\pi {\displaystyle }$ ${\displaystystytype$ \$pi}$ /4. 일반적으로 타원형 지연자의 경우 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$$}$/2와 $\pi {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \pi$ } /2 사이의 값을 on ${\$$displaystyle \pi \}$/2 사이의 값으로 한다$$.

축방향 회전 요소

광학 요소 incidence[해명 필요한]의 평면은 표면의 벡터와 각도 θ/2에 의해 이 표면 벡터가 광축 passes,[해명 필요한]를 찾는 각도 θ/2게 만든다(즉 주요 plane,[해명 필요한]를 중심으로 회전은 광 axis[해명 필요한]수직으로 있다고 가정하자.그 사건 TE의 파도가 전기 field[해명 필요한])의 편광의 E비행기. 반파판은 입사 양극화와 시신경(주요 평면) 사이의 각도의 두 배만큼 양극화를 회전시킨다는 사실을 상기하라. 따라서 회전 양극화 상태에 대한 존스 행렬(M)은 다음과 같다.

$[\displaystyle M(\theta )=R(-\theta )\,M\,R(\theta ),}$

서 R ( )=( - θ - sin ).{\$displaystyle$ R$(\theta$)={\$begin{pmatrix}={\cos \theta$\\\-\$sin \ta &\cos \end{pmatrix}.$$}$

이것은 위의 표에 있는 반파판의 표현과 일치한다. 이러한 회전은 광학 물리학의 빔 단일 분할자 변환과 동일하다.

${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}r&t'\t&r'\end{pmatrix}}}$

여기서 프라이밍된 계수와 프라이밍되지 않은 계수는 빔 스플리터의 반대쪽에서 발생한 빔을 나타낸다. 반사된 구성 요소와 전송된 구성 요소는 각각 단계 θ과_r θ을_t 획득한다. 요소의 유효한 표현에 대한 요구 사항은 다음과 같다.

${\displaystyle \theta_{\text{t}-\teta_{\text{r}+\tea_{\text{r}}-\tea_{\text{r}=\pm \pi }}}$

및 $r{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle r^{*}t'+t^{*}r'=0.$$}$

이 두 가지 표현 모두 이 요건에 적합한 단일 행렬이며, 따라서 둘 다 유효하다.

임의 회전 요소

이 구간은 확장이 필요하다. 추가하면 도움이 된다. (2014년 7월)

이것은 3차원 회전 행렬을 포함한다. 러셀 A를 보라. 칩맨과 윤가람은 이 일에 대해 일을 했다.^[6][7][8][9]

참고 항목

• 양극화
• 산란 매개변수
• 스톡스 파라미터
• 뮬러 미적분학
• 광자 양극화

메모들

참조

추가 읽기

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2014년 7월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

• E. Collett, SpIE 필드 가이드 vol. FG05, SPIE(2005). ISBN 0-8194-5868-6
• D. 골드스타인과 E. 콜릿, 편광 조명, 2부, CRC 프레스(2003) ISBN 0-8247-4053-X.
• E. 헤히트, 옵틱스, 제2편, 애디슨 웨슬리(1987) ISBN 0-201-11609-X.
• Frank L. Pedrotti, S.J. Leno S. Pedrotti, Option to Optics, 2부, 프렌티스 홀(1993) ISBN 0-13-501545-6
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외부 링크

• E가 쓴 존스 미적분학 콜릿 온 옵티피디아