블로흐 구

양자역학과 컴퓨팅에서 블로흐 구체는 물리학자 펠릭스 블로흐의 이름을 딴 2차원 양자역학 체계(qubit)의 순수 상태 공간을 기하학적으로 표현한 것이다.^[1]null

양자역학은 힐버트 공간이나 투영적인 힐버트 공간에서 수학적으로 형성된다.양자 시스템의 순수 상태는 해당 힐버트 공간의 1차원 서브 스페이스(또는 투사형 힐버트 공간의 "점")에 해당한다.2차원 힐버트 공간의 경우, 그러한 모든 상태의 공간은 복잡한 투사선 ${\displaystyle {\mathbb{C}}^{\mathrm{}}}$ 1. ${\displaystyle \mathb {CP}$^{$1}.}$ 수학자들에게$$ 리만 구체라고도 알려진 블록 구체다.null

Bloch 구는 2-sphere 단위로, 쌍의 상호 직교 상태 벡터에 해당하는 반향점을 가지고 있다.Bloch 구의 북극과 남극은 일반적으로 각각 표준 기준 ${\displaystyle 벡터\mathrm{}}$ 0$⟩[\displaystyle 0\rangele$$$}과 1${[\displaystyle 1\rangele }$에 대응하도록 선택되며, 이는 전자 스핀업 및 스핀다운 상태와 일치할 수 있다.그러나 이 선택은 자의적이다.구의 표면의 점들은 시스템의 순수한 상태에 해당하는 반면, 내부 점들은 혼합 상태에 해당한다.^[2][3]Bloch 구체는 n-level 양자 시스템으로 일반화될 수 있지만, 그 다음 시각화는 덜 유용하다.null

역사적 이유로, 광학에서 Bloch 구체는 Poincaré 구체로도 알려져 있으며, 특히 다른 유형의 편광을 나타낸다.6가지 일반적인 양극화 유형이 존재하며 존스 벡터라고 불린다.실제로 앙리 푸앵카레는 스톡스 파라미터를 입체적으로 표현한 것으로서 19세기 말에 이런 종류의 기하학적 표현법을 처음으로 제안하였다.^[4]null

Bloch 구의 자연 측정 기준은 Fubini-Study 미터법이다.2차원 상태 공간 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$}}단위의 3-sphere에서 Bloch 구면으로의$$ 매핑은 Hopf fibration이며, 각각의 스피너 레이어가 Bloch 구상의 한 점에 매핑된다.null

정의

정형화된 기준으로, 2-수준 양자 시스템의$$ 모든 순수 상태 pure ${\displaystyle \psi \rangele }$은(는) 기본 ${\displaystyle 벡터\mathrm{}}$ 0 ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle 0\rangele }$ 및$$ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystystyle 1\rangele }$의 중첩으로 작성할 수 있으며$,$ 여기서 (또는 기여 계수는 c)는 c.오플렉스 수이것은 국가가 네 개의 실제 숫자로 설명된다는 것을 의미한다.그러나 두 기본 벡터의 계수 사이의 상대 위상만이 물리적 의미(양자계통의 위상은 직접 측정할 수 없음)를 가지고 있으므로 이 설명에는 중복성이 있다.${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$의 계수 ${\displaystyle 0\rangele$}을(를) 실제 계수 및 비-음수 계수로$$ 간주할 수 있다.이로써 국가는 3개의 실수로만 기술할 수 있게 되어, 블로흐 구의 3차원이 생겨나게 된다.null

우리는 또한 양자역학을 통해 이 시스템의 총 확률은 다음과 같아야 한다는 것을 안다.

${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle \psi =}$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \langle$\langle $\psi \rangele =$1}$$또는 동등하게${\displaystyle }$‖ ‖ ‖ ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\big \} \$ \ $\rangele {}^{2}=1$

이 제약조건에 따라 다음 표현을 사용하여$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi$\rangele}을$($를) 작성할 수 있다.

${\displaystyle \psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right) 0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left(\theta /2\right) 1\rangle =\cos \left(\theta /2\right) 0\rangle \,+\,(\cos \$$phi +i\sin \pi )\,\sin \좌(\theta /2\우) 1\랑글$ $\},$ $여기$서 0${\displaystyle }$≤ $θ$ {${\displaystyle }${ { { { {$${ { $\leq$\$pi$ $\$ \ < < < < 2 2 2 2$2$ \ \ $le le$ \le \\\\\\\\\\\$le$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\\\\

${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi \rangele$}이$($가) 상태$$(Bra-ket 표기법) ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle 0\rangele$} 또는$$ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle 1\rangele }$ 참조$)$인 경우 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle$}의 값이 고유하지$$ 않기 때문에 표현은 항상 고유하다.$e \theta }$과($와{\displaystyle }$) $\displaystyle \pi }$은(는) 고유하다$$.null

$z축$에 대한 colativity와 X축에 대한 경도에 대해 각각 구형 좌표로 해석된 파라미터$$spherical {\$displaystyle \theta \,}$ 및$$ $\varphi {\displaystyle }$ ${\$은$($는) 점을 지정하십시오.

${\displaystyle {\vec}=(\sin \theta \cos \cos \coses \phi ,\;\cos \theta )=(u,v,w)}}$

$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 단위 구체에$.$

혼합 상태의 경우 밀도 연산자를 고려한다.어떤 2차원 밀도 연산자 identity도 I과 에르미트인의 미량 없는 Pauli 행렬 $\sigma {\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$을$($를) 사용하여 확장할 수 있다.

${\displaystyle {\begin}\rho &={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(I+{\vec{a}\cdot{\vec{\sigma }\오른쪽)\\$\&, ={\frac{1}{2}}{\begin{pmatrix}1&, 0\\0&, 1\end{pmatrix}}+{\frac{a_{)}}{2}}{\begin{pmatrix}0&, 1\\1&, 0\end{pmatrix}}+{\frac{a_{y}}{2}}{\begin{pmatrix}0&, -i\\i&, 0\end{pmatrix}}+{\frac{a_{z}}{2}}{\begin{pmatrix}1&, 0\\0&, -1\end{pmatrix}}\\&, ={\frac{1}{2}}{\begin{pmatrix}1+a_{z}&, a_{)}-ia_{y}\\a_{)}+ia_{y}&, 1-a_{.z}\end{pmatrix}}\end{정렬}}},

여기서 $a{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$을(를) Bloch 벡터라고 한다$$.null

주어진 혼합 상태에 해당하는 구내의 점을 나타내는 것이 이 벡터다.Specifically, as a basic feature of the Pauli vector, the eigenvalues of ρ are ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm {\vec {a}} \right)}$. Density operators must be positive-semidefinite, so it follows that ${\displaystyle \left {\vec {a}}\right \leq 1}$.

순수한 상태의 경우, 그 다음엔

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\rho ^{2}\right)={\frac {1}{1}{1}:{1}{1}}\flock(왼쪽 1+\vec {a}\right ^{2}\right)=1\quad \좌우측 \quad \quad \quad}$

상술한 바와 ^[5]같이null

그 결과, 블로흐 구의 표면은 2차원 양자계의 모든 순수 상태를 나타내는 반면, 내부는 모든 혼합 상태에 해당한다.null

u, v, w 표현

Bloch 벡터 $a{\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$= (${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$, w${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\vec{a}=(u,v,w)}$은(는) 밀도 연산자$\rho {\displaystyle }$ {\$displaystyle$ \$rho }$을(는) 참조하여 다음과 같이 나타낼$$ 수 있다$.$^[6]

${\displaystyle u=\rho _{10}+\rho _{01}=2\operatorname {Re}(\rho _{01)$

${\displaystyle v=i(\rho _{01}-\rho _{10}=2\opername {Im}(\rho _{10})$

${\displaystyle w=\rho_{00}-\rho_{11}}}$

어디에,

${\displaystyle \rho ={\pmatrix}\rho _{00}&\rho_{01}\\\rho_{11}\end{pmatrix}={\frac{1}{1}{pmatrix}}}}{\pmatrix}1}{{{{pmatrix}}+w&u-liv-w-w-w-w-w-w.}$

이러한 근거는 종종 레이저 이론에서 사용되는데, $여기$서 w ${\displaystyle w}$은(는) 모집단 역행으로 알려져 있다.^[7]이 기준으로 숫자 $u{\displaystyle }$, ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle w}$ , w ${\displaystyle$ $u{\displaystyle }$$,$${\displaystyle v}$$,w}$는 pauli 행렬 X${\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$, Z ${\displaystyle X,Y,Z}$의 기대치로서$,$ 한 사람이 x y와 z 축으로 세 개의 좌표를 식별할 수 있다.null

순수 상태

n-수준 양자역학 시스템을 고려한다.이 시스템은 n차원 힐버트 공간 H로_n 설명된다.순수 상태 공간은 정의상 H의_n 1차원 광선 집합이다.

정리.U(n)를 N 크기의 단일 행렬의 Lie 그룹이 되게 하라.그러면 H의_n 순수 상태 공간은 콤팩트한 코제트 공간으로 식별할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {U}/(\operatorname {U})(n-1)\times \operatorname {U}(1)}$

이 사실을 증명하기 위해, H주_n 집합에 U(n)의 자연적인 집단행동이 있다는 점에 유의한다.이 작용은 순수한 상태에서 지속적이고 전이적이다.For any state ${\displaystyle \psi \rangle }$, the isotropy group of ${\displaystyle \psi \rangle }$, (defined as the set of elements ${\displaystyle g}$ of U(n) such that ${\displaystyle g \psi \rangle = \psi \rangle }$) is isomorphic to the product group

${\displaystyle \operatorname {U}(n-1)\time \operatorname {U}(1)}$

선형대수학 용어로 이것은 다음과 같이 정당화될 수 있다.${\displaystyle \psi \rangele }$ 불변성을$$ 유지하는 U(n)의$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$은(는) 고유 벡터로${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \rangele }$을(를) 가져야 한다.해당 고유값은 복잡한 계수 1이어야 하므로, 이는 동위원소 그룹의 U(1) 인자를 제공한다.동위원소 그룹의 다른 부분은 U(n - 1)와 이형인 ${\displaystyle orth}\{$ ${\displaystyle \psi \rangele}$의 직교보완물에 있는 단일 행렬에 의해 파라메트리된다.이로부터 정리의 주장은 콤팩트 집단의 전이적 집단 작용에 관한 기본적인 사실로부터 따르게 된다.null

위에서 주목해야 할 중요한 사실은 단일 군집단이 순수한 상태에서 전이적으로 행동한다는 것이다.null

이제 U(n)의 (실제) 차원은 n이다².이것은 기하급수적 지도가 있기 때문에 쉽게 볼 수 있다.

${\displaystyle A\mapsto e^{iA}}$

자기 적응 복합 행렬의 공간에서 U(n)에 이르는 지역적 동형상이다.자기 적응형 복합 행렬의 공간에는 실제 치수 n이² 있다.

코롤러리.H의_n 순수 상태 공간의 실제 치수는 2n - 2이다.

실은.

${\displaystyle n^{2}-\left((n-1)^{2}+1\right)=2n-2.\cHB }$

이것을 적용하여 m Qubit 양자 레지스터의 실제 치수를 고려해보자.해당 힐버트 공간에는 차원 2가^m 있다.null

코롤러리.m-qubit 양자 레지스터의 순수 상태 공간의 실제 치수는 2 - 2이다^m+1.

스테레오 투영을 통해 순수 2-스파이너 상태 표시

순수한 상태 부여

$왼쪽 \uparrow \오른쪽\랑글 +\lift \downarrow \오른쪽\랑글 =\왼쪽 \nearrow \오른쪽\랑글 }$

여기서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$과($와{\displaystyle }$)$β$ {\$displaystyle \}$ }은(는) 정규화된 복잡한 숫자로$$,

${\displaystyle \cHB ^{2}+ \cHB ^{2}=\cHB ^{*}\cHB +\cHB ^{*}\cHB =1}$

and such that ${\displaystyle \langle \downarrow \uparrow \rangle =0}$ and ${\displaystyle \langle \downarrow \downarrow \rangle =\langle \uparrow \uparrow \rangle =1}$, i.e., such that ${\displaystyle \left \uparrow \right\rangle }$ and ${\displaystyle \left \d$$자기$ 화살표는 $\right$\rangele$}$이(가) 기본을$$ 이루고 Bloch 구에 정반대되는 표현을 가지고 있으며, 다음으로

${\displaystyle u={\cHB \over \cHB }={*}\cHB \over \cHB \cHB }={{2}}=u_{x}+11_{y}}}$

그들의 비율이다null

만약 Bloch 구체가 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^{3$}$에 그 중심이$$ 원점에 있고 반지름이 1인 것으로 생각된다면, 평면 z = 0(큰 원에서 Bloch 구체와 교차하는; 구의 적도, 그대로)은 아간드 도표로 생각할 수 있다.${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 평면에서 점 u를 플롯하십시오 - $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 3 ${\$ {$R} ^3}$에 좌표$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle 0}$ )${\displaystyle (u_{x}u_{y},0)}$이$($가) 있도록 .

Draw a straight line through u and through the point on the sphere that represents ${\displaystyle \left \downarrow \right\rangle }$. (Let (0,0,1) represent ${\displaystyle \left \uparrow \right\rangle }$ and (0,0,−1) represent ${\displaystyle \left \downarrow \right\rangle }$.)This line intersects the sphere at another point besides ${\displaystyle \left \downarrow \right\rangle }$. (The only exception is when ${\displaystyle u=\infty }$, i.e., when ${\displaystyle \alpha =0}$ and ${\displaystyle \beta \neq 0}$.) Call this point P.평면 z = 0의 점 u는 Bloch 구체의 점 P의 입체 투영이다.원점에 꼬리가 있고 P에 끝이 있는 벡터는 스피너 or $displaystyle$에 해당하는 3-D 공간의 방향이다$.$ P의 좌표는 다음과 같다.

${\displaystyle P_{x}={2u_{x}\over 1+u_{x}^{2}+u_{y}}^{2}}}$

${\displaystyle P_{y}={2u_{y}\over 1+u_{x}^{2}+u_{y}}^{2}}}$

${\$$$$}^{2}}}$.

참고: 수학적으로 2경구 상태에 대한 Bloch 구체는 Riemann 구체 또는 복잡한 2차원 투영 힐버트 공간으로 간주할 수 있으며, P ${\displaystyle H{\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ {$P} \mathbf {H}$^{2$}}.$복합 2차원 Hilbert ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ H$$2 {\$displaystyle \mathbf${H$} ^2}}($$이{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle 중{\mathbf{}}^{}}$ P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$은 투영)은$$ SO(3)의 표현 공간이다.^[8]null

밀도 연산자

순수 상태 측면에서 양자역학의 형성은 고립된 시스템에 적합하다. 일반적인 양자역학 시스템은 밀도 연산자의 관점에서 설명될 필요가 있다.Bloch 구체는 2-레벨 시스템에 대해 순수한 상태뿐만 아니라 혼합된 상태를 파라메트리한다.2-수준 양자 시스템(qubit)의 혼합 상태를 기술하는 밀도 연산자는 다음과 같은 좌표를 가진 블로흐 구체 내부의 한 점에 해당한다.

${\displaystyle \left(\sum p_{i}x_{i}},\sum p_{i}y_{i}},\sum p_{i}z_{i}\오른쪽),}$

여기서 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 앙상블 내에서 개별 상태의 ${\displaystyle {확률}_{}}$이고, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}_{}}$ y${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 개별 상태의 좌표(블록 구 표면)이다$$.Bloch 구체 안과 안쪽에 있는 모든 점들의 집합은 Bloch 공으로 알려져 있다.null

차원이 더 높은 상태의 경우 이를 혼합된 상태로 확장하는 데 어려움이 있다.위상학적 설명은 단일 군집단이 밀도 연산자에게 전이적으로 작용하지 않는다는 사실에 의해 복잡하다.더욱이 궤도는 다음과 같은 관측으로부터 매우 다양하다.

정리.A가 고유한 고유값이 μ₁, ..., μ_k, 승수₁ n, ..., n인_k n 레벨 양자역학 시스템의 밀도 연산자라고 가정해 보자. 그러면 V A V* = A 이소모르픽(거짓말 그룹)이 (거짓말 그룹으로서)이 될 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {U}(n_{1})\time \cdots \time \operatorname {U}(n_{k}).}$

특히 A의 궤도는 에 대해 이형성이 있다.

${\displaystyle \operatorname {U}/\left(\operatorname {U}(n_{1})\time \cdots \time \operatorname {U}(n_{k}\right)}$

2보다 큰 치수까지 블로흐 볼의 구성을 일반화할 수는 있지만, 이런 '블록 본체'의 기하학적 구조는 공보다 복잡하다.^[9]null

회전

Bloch 구체 표현의 유용한 이점은 Qubit 상태의 진화가 Bloch 구의 회전에 의해 설명될 수 있다는 것이다.이것이 왜 그러한지에 대한 가장 간결한 설명은 단일 및 은둔 행렬 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm{U}}$( 2$){\displaystyle SU(2)}$의 그룹에 대한 Lie 대수학이 3차원 회전 S ${\displaystyle O}$( ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle SO(3)$ 그룹의 Lie 대수학과 이형성이라는$$ 것이다$.$^[10]

Bloch 기반에 대한 회전 연산자

Bloch 기초에 있는 Cartesian 축에 대한 Bloch 구체의 회전은 다음에^[11] 의해 주어진다.

${\displaystyle {\begin}R_{x}(\theta )&=e^{(-i\theta X/2)=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)X={\begin{bmatrix}\cos \theta /2\\-i\sin \cos \theta /2\end{bmatrix}\cos \cos \theeta /2\nd{bmatrix}\}\\\\}\\cos}\cos}\cos}\cos}\\R_{y}(\theta )&=e^{(-i\theta Y/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Y={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-\sin \theta /2\\\\\cos \theta /2\end{bmatrix}\R_{z}(\ta )&=e^{-i\ta /2)=\cos(ta /2)I-i\sin(\theta /2)Z={\begin{bmatrix}e^{-i\i\theta /2}\0&e^{i\theta /2}\end{bmatrix}}}}}}$

일반 축에 대한 회전

$n{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle n_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, n ${\displaystyle z_{}}$) ${\displaystyle {\n}}=(n_{x},n_{y},n_{z})$가 3차원의 실제 단위 벡터인 경우, 이 축에 대한 Bloch 구의 회전은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle R_{\hat{n}(\theta )=\exp \left(-i\theta {\n}}\cdot {\frac{1}:{1}{\vec{\sigma }\오른쪽)}}$

흥미로운 점은 이 표현이 쿼터니온에 대해 확장된 오일러 공식과 다시 라벨을 붙일 때 동일하다는 것이다.null

${\displaystyle \mathbf {q} =e^{{\frac {1}{2}}\theta (u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Bloch 회전 발전기의 유도

발렌틴은^[12] 극소수의 단일 변형을 위한 직관적인 파생법을 제시한다.이것은 왜 Bloch 구의 회전이 Pauli 행렬의 선형 결합의 지수인지를 이해하는 데 중요하다.따라서 이 문제에 대한 간단한 치료가 여기서 주어진다.양자역학적 맥락에서 보다 완전한 설명은 여기에서 찾을 수 있다.null

일부 축에 대한 회전을 나타내는$$ 단일 단위 $연산자{\displaystyle }$ U$${\$displaystyle U}$을(를) 생각해 보십시오.회전은 1도의 자유도를 가지므로 운영자는 다음과 같이$$ 스칼라 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 필드에 작용한다.

$[\displaystyle U.I}$

${\displaystyle U(s_{1}+s_{2}=U(s_{1})Us_{2}}$

여기서 $0{\displaystyle \mathrm{}}$, s ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0,s_{1},s_{2},\in$ S$}$

우리는 테일러 팽창이 두 번째 순서로 잘린 것과 같이 극소수의 단일병체를 정의한다.null

$[\d.=I+{\frac {dU}{dS}{\Bigg }_{s=0}s+O\왼쪽(s^{2}\오른쪽)}$

단일 조건:

${\displaystyle U^{\daugger }U=I}$

그러므로

${\displaystyle U^{\dager }U=I+s\왼쪽({\frac {dU}{dS}}+{\frac {dU^{}}}}{ds}\오른쪽)++O\왼쪽(s^{2}\오른쪽)=I}$

이 동등성이 참($O{\displaystyle }$(${\displaystyle {s\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\$을 유지하는 것은 무시할$$ 수 있는 일이다) 우리는 이 동등성을 요구한다.

${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{U}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$+ d ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{†}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ s${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {dU}{dS}}+{\frac {dU^{\dager}}}{ds}=0}$.

이에 따라 다음과 같은 양식이 해결된다.

${\displaystyle {\frac {dU}{ds}=iK}$

여기서 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은 단일 은둔형 변형이며$$, 단일 은둔형 가의 발생기라고 불린다.null

따라서 다음과 같다.

${\displaystyle U(s)=e^{iKs}}$

Since the Pauli matrices ${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ are unitary Hermitian matrices and have eigenvectors corresponding to the Bloch basis, ${\displaystyle ({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})}$, we can naturally see how a rotation of the Bloch 임의 축에 대한 구체 $n{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은(는) 다음에 설명되어$$ 있다.

${\displaystyle R_{\hat{n}(\theta )=\exp(-i\theta {\n}\cdot{\vec{\sigma }/2)}$

$K{\displaystyle }$= ${\displaystyle n\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle ^}$ ⋅${\displaystyle \stackrel{}{}\sigma \stackrel{}{}}$ →${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle$ K$={\n}\cdot{\vec{\sigma }/2}}:$

참고 항목

위키미디어 커먼즈에는 블로흐 구와 관련된 미디어가 있다.

• 원자 전자 전이
• 자이로벡터 공간
• 푸앵카레 구(광학)
• 베르사르스
• Bloch 영역의 구체적인 구현은 Qubit 기사에 열거되어 있다.

참조