k-정기순서

수학 및 이론 컴퓨터 과학에서 k-정기 시퀀스는 정수의 base-k 표현을 반영하는 선형 반복 방정식을 만족하는 시퀀스다.k-정규 시퀀스의 클래스는 k-자동 시퀀스의 클래스를 무한 크기의 알파벳으로 일반화한다.

정의

k-정규 시퀀스에는 여러 가지 특성화가 존재하며, 모두 등가성이 있다.몇 가지 일반적인 특징들은 다음과 같다.각각의 경우, 우리는 RR을 교감형 노메트리안 링으로 삼고 RR을 함유한 링으로 삼는다.

꼬깃꼬깃한

K ≥ 2로 합시다.시퀀스 $s{\displaystyle (n{}_{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ 0 ${\$의 k-커널은 다시$$ 배열의 집합이다.

${\displaystyle K_{k}=\{s(k^{e}n+r)_{n\geq 0:e\geq 0{\text{} 및 }0\leq r\leq k^{e}-1\}}}$

K_k(s)^[1]에 의해 $생성$된 R${\displaystyle {}^{}}${$${\$displaystyle$ $R'}$ -모듈이$$ 정밀하게 생성된 Rmo-모듈이라면${\displaystyle }$s (${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ 0$${\$displaystyle$ $s(n)_{n$\n$\geq$ 0$}}}}$의 시퀀스는 (R′, k)-규칙$$(흔히 "k-규칙"으로 단축된다.

In the special case when ${\displaystyle R'=R=\mathbb {Q} }$, the sequence ${\displaystyle s(n)_{n\geq 0}}$ is ${\displaystyle k}$-regular if ${\displaystyle K_{k}(s)}$ is contained in a finite-dimensional vector space over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

선형 결합

그러한 모든ej하기 위한 E와 0≤rj 정수 E≤ 존재하 kej − 1의 형태 s(kejn+rj)의 s의 모든 결과는 R′-linear 조합 ∑ 나는 c 나는 바로 그런 j({\displaystyle \sum_{나는}(k^{f_{ij}}n+b_{ij})}, cij는 정수, fij ≤ E,로 표현 할 수 있는 시퀀스 s(n)k-regular 있다. 그리고 0≤ bij ≤ kfij− 1.^[2]

또는 정수 r(n)이 있고 s₁(n), ..., s_r(n)가 있는 경우 s(n), ..., s(n)가 k-커널 K_k(s)의 모든 시퀀스 s_i(kn + a)가 s(n)의_i R-선형 조합이다.^[2]

형식 계열

x₀, ..., x는_{k − 1} k 비 커밋 변수의 집합이 되게 하고 and은 약간의 자연수 n을 문자열 x_a0 ... x에_{ae − 1} 보내는 지도가 되게 한다. 여기서 x의 base-k 표현은 문자열 a_{e − 1}...a이다₀.그런 다음 공식 시리즈${\displaystyle \underset{nn}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\ge }}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \tau }$(n ) τ (${\displaystyle n}$ ${$ (n ) {\$displaystyle \sum _{n\$geq 0$(n)s$(n$)\$tau ($n)}$가$$Z {\$displaysty \mathb$ {Z$}}$ -rational인 경우에만 시퀀스 s(n)가 k-규칙이다.^[3]

오토마타테오레틱

k-정기 시퀀스의 공식 시리즈 정의는 슈첸버거의 매트릭스 머신(matrix machine)과 유사한 자동 특성화로 이어진다.^[4][5]

역사

k-정칙 시퀀스의 개념은 알루체(Alouche)와 샬릿(Salit)에 의해 한 쌍의 논문에서 먼저 조사되었다.^[6]이에 앞서 베르스텔과 루테나워는 k-정기 서열과 밀접한 관련이 있는 합리적 시리즈 이론을 연구했다.^[7]

예

눈금자순서

$Let{\displaystyle }$ (${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\nu \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle \mathrm{n}}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle s(n)=\nu _{2}(n+$$1$)은$$$n{\displaystyle }$+ $1$의 2${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $2$$\}$ -adic$$ 평가 값이다.The ruler sequence ${\displaystyle s(n)_{n\geq 0}=0,1,0,2,0,1,0,3,\dots }$ (OEIS: A007814) is ${\displaystyle 2}$-regular, and the ${\displaystyle 2}$-kernel

${\displaystyle \{s(2^{e}n+r)_{n\geq 0:e\geq 0{\text{} 및 }0\leq r\leq r^{e}-1\}}}$

$s{\displaystyle }$(${\displaystyle n{}_{}}$)${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ 0 ${\$ 0$}$에 의해 생성된 2차원 벡터 공간과 상수 시퀀스 $1{\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle }$1, ${\displaystyle 1}$, … ${\displaystyle$1$,$1$,1,\dots }$에 포함되어 있다$.$ 이러한 기본 요소는 재발 관계를 유도한다.

${\displaystyle {\n1}s(2n)&=0,\s(4n+1)&=s(2n+1)-s(n),\s(4n+3)&=2s(2n+1)-s(n),\end{aigned}}}}}}}$

초기 조건 ${\displaystyle \mathrm{s}}$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle s(0)=0}$ 및$$ $s{\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle s(1)=1}$과 함께 시퀀스를 고유하게 결정한다$.$^[8]

투-모스 수열

Thue-Morse 시퀀스 t(n) (OEIS: A010060)는 형태론 0 → 01, 1 → 10의 고정점이다.Thue-Morse 시퀀스는 2-자동으로 알려져 있다.따라서 이 역시 2정형이며, 2정형이다.

${\displaystyle \{t(2^{e}n+r)_{n\geq 0:e\geq 0{\text{\text{} 및 }0\leq r\leq r^{e}-1\}}}$

$부분{\displaystyle }$ t${\displaystyle }$(${\displaystyle n{}_{}}$) ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$ 0$}$과 $t{\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{2n}}$+ 1)${\displaystyle {}_n}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ 0 ${\$ 0$}$로 구성된다$.$

캔터 번호

칸토어 번호 c(n)(OEIS: A005823)의 순서는 3차 확장이 1초를 포함하지 않는 숫자로 구성된다.라는 것을 보여주는 것은 간단하다.

${\displaystyle {\displaysty}c(2n)&=3c(n),\c(2n+1)&=3c(n)+2,\end{aigned}}}}$

칸토어 번호의 순서는 2-정렬이야마찬가지로 스탠리 수열도

0, 1, 3, 4, 9, 10, 10, 12, 13, 27, 28, 30, 31, 36, 37, 39, 40, ... (OEIS에서 연속 A005836)

3차 확장이 2를 포함하지 않는 숫자의 수 또한 2-정규적이다.^[9]

번호 정렬

k-정규성 개념을 알고리즘의 광범위한 연구에 다소 흥미로운 적용은 병합 정렬 알고리즘 분석에서 찾을 수 있다.n개의 값 리스트가 주어진 경우, 병합 정렬 알고리즘에 의해 수행된 비교 수는 반복 관계에 의해 관리되는 정렬 번호임

${\displaystyle {\begin}T(1)&=0,\\T(n)&=T(\lfloor n/2\rfloor )+T(\lceil n/2\rceil )+n-1,\\\\geq 2.\end{정렬}}}$

그 결과, 병합 소트 T(n)에 대한 재발 관계에 의해 정의된 시퀀스는 2-정규 시퀀스를 구성한다.^[10]

기타 시퀀스

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$이(가) 정수 값의 다항식인 경우, $f{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$ 0$}}$은${\displaystyle (}$는) $모든{\displaystyle }$ k ${\displaystyle 2}$ 2$${\$displaysty k\geq$2$\}$에 대해$$ k-정식이다.

글래셔-굴드 순서는 2개의 규칙이다.Stern-Brocot 시퀀스는 2-정규형이다.

알루슈와 샬릿은 논문에서 k-정규적 시퀀스에 대한 많은 추가 사례를 제시한다.^[6]

특성.

k-규칙 시퀀스는 많은 흥미로운 속성을 보여준다.

• 모든 k-자동 순서는 k-일반이다.^[11]
• 모든 k-synchronized 시퀀스는 k-일반이다.
• k-정규 시퀀스는 k-자동인 경우에만 정밀하게 많은 값을 차지한다.^[12]이는 k-정규 시퀀스 클래스가 k-자동 시퀀스 클래스의 일반화 되는 즉각적인 결과물이다.
• k-정기 시퀀스의 클래스는 용어 추가, 용어 곱하기 및 수렴에 따라 닫힌다.k-정규 시퀀스의 클래스 또한 정수 λ에 의한 시퀀스의 각 항을 스케일링할 때 닫힌다.^{[12][13][14][15]}특히 k-정기 파워시리즈 세트가 링을 형성한다.^[16]
• $s{\displaystyle }$($n$${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ 0 ${\$ 0$}$이(가) k-규칙인 경우, 모든 $정수{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{m}}$≥ 1 ${\displaystyle m\geq$ 1$\},$ ( s${\displaystyle }$)${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0_{}}$ {\$bmod{}_{n\geq$ 0$}$은 k-자동이다$$.그러나, 그 반대는 유지되지 않는다.^[17]
• 승수 독립 k인 l ≥ 2의 경우, 시퀀스가 k-정수 및 l-정수인 경우, 시퀀스가 선형 재발을 만족한다.^[18]이는 k-automatic과 l-automatic 시퀀스에 대한 코브햄으로 인한 결과의 일반화다.^[19]
• k-정수의 n번째 항은 n에서 대부분 다항식으로 성장한다.^[20]
• $F{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $F$$}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{필드}}$이고 x$$${\displaystyle \in }$ F ${\displaystyle x\in F$인 경우, power$({\displaystyle {xn}^{}}$ ) 순서(xn${\displaystyle {}^{}{}_{}}$)는 0${$$n}_{n\geq$ 0$}}}}$이$(가$$)$ 통합의 근원이 되는$$ 경우에만$$ k-정렬이다.^[21]

k-정규성 입증 및 반증

후보$$ 시퀀스 $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$ (${\displaystyle }$n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$ 0$}}$ k-규칙은 일반적으로 $s{\displaystyle }$ ${\displaysty s}$의 커널 요소를 계산하고 형식의 모든$$ 요소$({\displaystyle s}$ ${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle e}$)${\displaystyle {}_{\mathrm{n}}}$≥ 0 ${\$)를 증명하여 정의에서 직접 증명할 수 있다.$ystyle(s(k^{r}n+e))$$\_{\displaystyle }$${n\geq 0}$ r ${\displaystyle$ r$}$이() 충분히$$$$ 크고 0 < r {\$displaystyle 0\leq$e<2^{$r}}}}}$은(는) r$${\$displaystyle r$ 대신 작은 지수를 가진 커널 요소의 선형 결합으로 기록할 수 있다.이것은 보통 계산적으로 간단하다.

반면 후보 시퀀스 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle$s}의 불균형 k-정규성은 일반적으로$$ $s$${\displaystyle s}$의 커널에서 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ -선형$$ 독립 서브셋을 생성해야 하는데, 이는 일반적으로 더 까다롭다.이런 증거의 한 예가 여기에 있다.

e ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle e_{0}(n)}$은(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 이진 확장에서 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $0$$\}$s의 수를$$$나타내며{\displaystyle }$, ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ 1$n)$은 n$${\$displaystystyle$n$\}$의 이진 확장에서$$$1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystystytystyle$1s를$$ 나타냄 스타일 $1s$를 나타내도록 한다.시퀀스 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle f(n):$$=e_{0}(n)-e_{1}(n)}$을(를) 2-정규로 표시할 수 있다$$.$g{\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle n}$) ${\displaystyle :=f}$( ${\displaystyle n}$) $displaystyle g=g(n):=f(n) }$ 순서는, 그러나, 다음과 같은 인수에 의해, 2-정칙이 아니다$$.$({\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$( ${\displaystyle )n{}_{\ge }}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$이(가) 2-정규형이라고 가정한다.We claim that the elements ${\displaystyle g(2^{k}n)}$ for ${\displaystyle n\geq 1}$ and ${\displaystyle k\geq 0}$ of the 2-kernel of ${\displaystyle g}$ are linearly independent over ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. The function ${\displaystyle n$$\mapsto e_{0}(n)-e_{1}(n)}$ is surjective onto the integers, so let ${\displaystyle x_{m}}$ be the least integer such that ${\displaystyle e_{0}(x_{m})-e_{1}(x_{m})=m}$. By 2-regularity of ${\displaystyle (g(n))_{n\geq 0}}$, there exist ${\disp$$레이스타일 b\geq 0}$ 및$$ 상수 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$}, 각 n$$${\displaystyle \mathrm{each}}$에 대해${\displaystyle n\geq 0$

${\displaystyle \sum _{0\leq i\leq b}c_{i}g(2^{i}n)=0.}$

${\displaystyle a}$을(를) $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c_{a}\neq$ 0$}$에 대한 최소값으로$$ 두십시오$.$${\displaystyle \mathrm{그러면}}$ 모든 $n{\displaystyle }$≥ 0 ${\displaystyle n\geq$ 0$}$에 대해$,$

${\displaystyle g(2^{a}n)=\sum _{a+1\leq i\leq b}-(c_{i}/c_{a}g(2^{i}n).}$

$n{\displaystyle }$ = ${\displaystyle x_{}}$ m${\$ 여기서 m${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$- ${\displaystyle 1}$, 1,${\displaystyle 2,}$ - ${\displaystyle 2}${\$displaystyle m=0,-1,2,-2}$ 등을$$ 연속으로 평가하면 왼쪽에서 이 식을 얻는다.

${\displaystyle g(2^{a}x_{m}= e_{0}(x_{m}-e_{1}(x_{m})+a = m+a ,}$

오른쪽에는

${\displaystyle \sum _{a+1\leq i\leq b}-(c_{i}/c_{a}) m+i .}$

그것은 모든 정수 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$에 대해 그 뒤를 따른다$.$

${\displaystyle m+a =\sum _{a+1\leq i\leq b}-(c_{i}/c_{a}) m+i .}$

But for ${\displaystyle m\geq -a-1}$, the right-hand side of the equation is monotone because it is of the form ${\displaystyle Am+B}$ for some constants ${\displaystyle A,B}$, whereas the left-hand side is not, as can be checked by successively plugging in ${\displaystyle m=-a-1}$, ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{m}}$${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle$ m$=-a}$및 $m{\displaystyle }$=${\displaystyle }$-${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ m$=-a+1$따라서${\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$(${\displaystyle n}$ )${\displaystyle {}_n}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$은(는) 2-정규형이 아니다$$.^[22]

메모들

참조

• Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (1992), "The ring of k-regular sequences", Theoret. Comput. Sci., 98 (2): 163–197, doi:10.1016/0304-3975(92)90001-v.
• Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003), "The ring of k-regular sequences, II", Theoret. Comput. Sci., 307: 3–29, doi:10.1016/s0304-3975(03)00090-2.
• Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015.