카케야 세트

수학에서 카케야 집합, 즉 베시코비치 집합은 유클리드 공간의 점 집합으로, 모든 방향의 단위 선 세그먼트를 포함한다.예를 들어 유클리드 평면의 반지름 1/2 원반이나 3차원 공간의 반지름 1/2 공은 카케야 세트를 형성한다.이 분야의 많은 연구들은 그러한 집합이 얼마나 작을 수 있는가에 대한 문제를 연구해왔다.Besicovitch는 Besicovitch의 측정값 0 세트가 있다는 것을 보여주었다.

가케야 바늘 세트(가케야 세트라고도 함)는 더 강한 성질을 가진 평면에 설정된 (베시코비치)로, 단위 라인 세그먼트를 그 안에서 180도까지 연속적으로 회전시켜 방향을 반대로 하여 원래 위치로 되돌릴 수 있다.다시 반경의 1/2 원반은 카케야 바늘 세트의 예다.

카케야 바늘 문제

가케야 바늘 문제는 비행기에 단위 길이의 바늘이 360°를 통해 회전할 수 있는 D 영역의 최소 면적이 있는지 여부를 묻는다.카케야 소이치(1917년)가 볼록한 지역에 대해 처음 제기한 질문이다.볼록세트의 최소 면적은 Pal이 보여준 대로 높이 1과 면적 1/2.3의 정삼각형 삼각형으로 달성된다.^[1]

카케야는 볼록한 제약을 받지 않고 최소 면적의 카케야 세트 D가 3점 델토이드 형상이 될 것이라고 제안한 것으로 보인다.그러나, 이것은 거짓이다; 더 작은 비 콘벡스 카케야 세트가 있다.

베시코비치 세트

베시코비치는 단위 길이의 바늘이 회전할 수 있는 그런 지역 D의 영역에 대해 하한값 > 0이 없다는 것을 보여줄 수 있었다.^[2]이것은 각 방향에서 단위 세그먼트를 포함하는 평면 세트에서 그의 초기 작업에 기초하였다.그런 세트를 지금은 베시코비치 세트라고 부른다.베시코비치의 이런 세트가 임의로 작은 척도였을 수도 있다는 작품은 1919년부터 나왔다.그 문제는 그 전에 분석가들에 의해 고려되었을지도 모른다.

베시코비치 세트를 구성하는 한 가지 방법(해당 일러스트는 그림 참조)은 베시코비치의 원래 구조를 단순화할 수 있었던 오스카르 페론(Oskar Perron)의 이름을 따서 "페론 트리"로 알려져 있는데,^[3] 키 1의 삼각형을 취하고, 둘로 나누고, 두 조각의 베이스가 어느 정도 작은 간격으로 겹쳐지도록 서로 번역하는 것이다.그러면 이 새로운 수치는 총 면적이 줄어들 것이다.

자, 이제 우리의 삼각형을 여덟 개의 하위 계통으로 나눈다고 합시다.각 연속된 삼각형 쌍에 대해 앞에서 설명한 것과 동일한 중첩 작업을 수행하여 각각 두 개의 중첩 삼각형으로 구성된 네 개의 새로운 모양을 얻으십시오.다음으로, 이 새로운 모양들의 연속적인 쌍들은 그들의 기본을 부분적으로 서로 이동시킴으로써 겹치게 된다. 그래서 우리는 두 개의 모양이 남게 되고, 마침내 이 두 가지 모양을 같은 방식으로 겹치게 된다.결국, 우리는 나무처럼 보이지만, 원래 삼각형보다 훨씬 작은 면적을 가진 형태를 갖게 된다.

더 작은 세트를 구성하려면 삼각형을 기본 길이 2 각각⁻ⁿ 2개의ⁿ 삼각형으로 세분하고 삼각형을 두 번, 여덟 번 분할할 때 이전과 동일한 작업을 수행하십시오.각 삼각형에서 우리가 하는 겹침의 양과 삼각형의 소분할의 숫자 n이 모두 충분히 크다면, 우리는 우리가 원하는 만큼 작은 영역의 나무를 형성할 수 있다.베시코비치 세트는 정삼각형에서 만들어진 페론 나무의 세 바퀴를 조합하여 만들 수 있다.

이 방법을 더 적용하면 교차점이 측정값 0의 베시코비치 집합인 집합의 순서를 구성할 수 있다.이렇게 하는 한 가지 방법은 만약 우리가 평행그램의 두 면이 x = 0과 x = 1 선에 있다면, 우리는 이들 선에서 평행그램의 결합을 찾을 수 있는데, 그 총 면적이 임의로 작고 모든 선이 x = 0에서 원래 p에 있는 x = 1의 한 점에 결합하는 통역을 포함하고 있다.아랄렐로그램이는 위의 베시코비치의 건축이 약간 변형된 데서 비롯된다.이것을 반복함으로써 우리는 일련의 집합들을 찾을 수 있다.

${\displaystyle K_{0}\supseteq K_{1}\supseteq K_{2}\cdots }$

x = 0과 x = 1 사이의 각 평행그램의 유한 결합. 각 영역은 0이 되고, 각 영역은 단위 사각형에서 x = 0과 x = 1을 결합하는 모든 선을 포함한다.이 세트의 교차점은 이 모든 선의 변환을 포함하는 측정값 0 집합이므로, 이 교차로에서 두 개의 복사본의 결합은 측정값 0 베시코비치 집합이다.

Besicovitch의 측정값 0 세트를 구성하는 다른 방법은 '스프라우팅' 방법 외에도 있다.예를 들어 카하네는 칸토어 세트를 사용하여 2차원 평면에 측정값 0의 베시코비치 세트를 구성한다.^[4]

카케야 바늘 세트

Pal join이라고 알려진 Pal의 트릭을 사용함으로써(두 개의 평행선을 주어, 임의의 작은 척도로 어떤 단위 선 세그먼트를 한 단위에서 다른 단위로 연속적으로 이동할 수 있다) Perron 트리로 구성된 Besicovitch 세트에서 180도까지 연속적으로 단위 선 세그먼트를 회전시킬 수 있는 세트를 만들 수 있다.^[5]

1941년 H. J. 반 알펜은^[6] 반지름 2 + ε(임의 ε > 0)의 원 안에 임의의 작은 카케야 바늘 세트가 있다는 것을 보여주었다.단순히 연결된 카케야 바늘 세트와 델토이드보다 작은 면적이 1965년에 발견되었다.멜빈 블룸과 I. J. 쇤베르크는 독립적으로 independently ${\displaystyle \frac{24}{}}$(${\displaystyle 5}$- ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{24}}}}{5-2{\sqrt{$2$\}\})\}$ 블룸-쇤베르크 번호에 근접하는 면적이 있는 카케야 바늘 세트를 선물했다.쇤베르크는 이 숫자가 단순히 연결된 카케야 바늘 세트의 영역에 대한 하한선이라고 추측했다.그러나 1971년 F.커닝햄은^[7] ε > 0으로 볼 때 반경 1의 원 안에 포함된 ε 이하의 면적의 카케야 바늘 세트가 간단히 연결된다는 것을 보여주었다.

임의로 작은 양의 측정치의 가케야 바늘 세트와 베시코비치 측정값 0 세트가 있지만, 측정값 0의 가케야 바늘 세트는 없다.

카케야 추측

성명서

이 베시코비치 집합이 얼마나 작은지 같은 질문이 그 후 보다 높은 차원으로 제시되어, 집합적으로 카케야 추측이라고 알려진 많은 추측을 낳았고, 기하학적 측도 이론으로 알려진 수학의 분야를 시작하는데 도움을 주었다.특히 측정값 0의 베시코비치 집합이 존재한다면, 그들이 놓여 있는 공간의 치수보다 몇 초 적은 어떤 차원에 대해서도 s-차원 하우스도르프 측정값 0을 가질 수 있을까?이 문제는 다음과 같은 추측을 낳는다.

카케야는 다음과 같이 추측했다.R에ⁿ 설정된 Besicovitch를 모든 방향의 단위 선 세그먼트를 포함하는 세트로 정의하십시오.그러한 세트는 반드시 하우스도르프 치수와 민코프스키 치수가 n과 같다는 것이 사실인가?

이는 n = 1, 2에 대해 사실인 것으로 알려져 있지만, 일부 결과만 더 높은 차원으로 알려져 있다.

카케야 최대함수

이 문제에 접근하는 현대적인 방법은 우리가 다음과 같이 구성하는 특정 유형의 최대 함수를 고려하는 것이다.Sⁿ⁻¹ ⊂ R을ⁿ n차원 공간에서 단위 구체로 표시한다.${\displaystyle T}$ ${\displaystyle e_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle T_{e}^{\delta }(a)}$을(를) 길이 1, 반지름 Δ > 0의 원통으로$$ 정의하고, 이 원통의 긴 면이 ∆ Rⁿ 지점의 방향과ⁿ⁻¹ 평행하도록 한다.그 다음, 국소적으로 통합할 수 있는 함수 f의 경우, f의 카케야 최대 함수를 정의한다.

${\displaystyle f_{*}^{\delta }(e)=\supp_{a\in \mathbf {R}^{n}}}{m(T_{e}^{\delta })(a)}}}}\int _{T_{e}^{\delta }(a)}f(y)dm(y)}$

여기서 m은 n-차원 Lebesgue 측정을 나타낸다.구ⁿ⁻¹$$의 벡터 e에 대해 f Δ{\$displaystyle f_${*}^{\delta $}}}}$이(가) 정의되어 있다는$$ 점에 유의하십시오.

그렇다면 이러한 기능들에 대한 추측이 있는데, 만약 사실이라면 카케야가 더 높은 차원에 대해 추측을 함축할 것이다.

카케야 최대함수 추측:모든 ε > 0에 대해, 어떤 함수 f와 모든 Δ > 0에 대해 상수_ε C > 0이 존재한다(표기법은 lp 공간 참조).

${\displaystyle \left\f_{*}^{\delta }}\{L^{n}(\mathbf {S}^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon }\delta }\{L^{L^{R}}}}}.}$

결과.

카케야 추측을 입증하기 위한 몇 가지 결과는 다음과 같다.

• 가케야 추측은 n = 1(비례)과 n = 2(데이비즈^[8])에 대해 사실이다.
• 어떤 n차원 공간에서든 월프는^[9] 카케야 세트의 치수는 적어도 (n+2)/2여야 한다는 것을 보여주었다.
• 2002년에 캣츠와 타오는^[10] 월프의 바인딩을 $({\displaystyle 2}$- ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{n}}$- 4${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ 3 ${\displaystyle$ ($2-{\sqrt{2}})(n-4)+3}$ 로 개선하였는데$,$ 이는 n > 4에 더 좋다.
• 2000년, 카츠, 우와바, 타오는^[11] 카케야 세트의 민코프스키 치수가 3차원의 5/2보다 절대적으로 크다는 것을 증명했다.
• 2000년에 장 부르가인은 카케야 문제를 조화 분석과 첨가수 이론이 포함된 산술 조합에^[12][13] 연결했다.
• 2017년 캣츠와 자흘은^[14] 베시코비치 세트의 하우스도르프 치수의 하한을 5 /${\displaystyle }$2${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{절대}}$ 상수 > $[\displaystyle$ $5/2+\$$epsilon }$로 3차원$$ 개선했다

분석할 애플리케이션

다소 놀랍게도, 이러한 추측들은 다른 분야, 특히 조화 분석에서 많은 질문들과 연관되어 있는 것으로 나타났다.예를 들어 1971년, 찰스 Fefferman[15]은 치수에 1보다 큰 표시하기 위해 Besicovitch을 세웠다 건설을 사용할 수 있었으면, 끝을 잘라 버린 푸리에 적분. 공을 지칭하고 발신지에서 반경 무한대에 경향과 함껠 때 pLp규범에 모일 필요가 없중심 ≠ 2(이것은 반하는 1차원 경우 그러한 절단 inte.grals do conversation).

카케야 문제의 아날로그와 일반화

원과 구를 포함하는 세트

가케야 문제의 유사점에는 원과 같은 선보다 더 일반적인 모양을 포함하는 세트가 포함된다.

• 1997년과^[16] 1999년,^[17] 월프는 모든 반지름의 구를 포함하는 세트에는 전체 치수, 즉 치수가 놓여 있는 공간의 치수와 같아야 한다는 것을 증명했고, 카케야 최대 함수와 유사한 원형 최대 함수의 한계를 증명함으로써 이를 증명했다.

• 0의 모든 점 주위에 구를 포함하는 집합이 존재한다고 추측되었다.Elias Stein의^[18] 결과는 n ≥ 3과 Marstrand가^[19] 사례 n=2에 대해 동일한 것을 증명했을 때 그러한 모든 세트들이 긍정적인 척도를 가져야 한다는 것을 증명했다.

k-차원 디스크를 포함하는 세트

카케야 추측의 일반화는 모든 방향에서 선의 세그먼트 대신, 예를 들어, k-차원 서브스페이스의 일부를 포함하는 세트를 고려하는 것이다.(n, k)-Besicovitch 세트 K를 Lebesgue 측정값 0이 있는 모든 k-차원 단위 디스크의 번역이 포함된ⁿ R의 콤팩트 세트라고 정의한다.즉, B가 0을 중심으로 한 단위 공을 나타내는 경우, 모든 k차원 아공간 P에 대해 (P ∩ B) + x ⊆ K와 같은 x ∈ R이ⁿ 존재한다.따라서 a (n, 1)-Besicovitch 집합은 앞에서 설명한 표준 Besicovitch 집합이다.

(n, k)-베시코비치 추측:k > 1에 대한 (n, k)-베시코비치 세트는 없다.

1979년 마스트란드는^[20] 베시코비치 세트가 없다는 것을 증명했다.그러나 비슷한 시기에 팰컨러는^[21] 2k > n에 대한 (n, k)-베시코비치 세트가 없다는 것을 증명했다.현재까지 가장 잘 묶여 있는 것은 부르가인에 의한 것으로,^[22] 부르가인은 2^k−1 + k > n일 때 그러한 세트는 존재하지 않는다는 것을 증명했다.

카케야는 한정된 영역에 걸쳐 벡터 공간을 설정한다.

1999년, 울프는 이러한 추측을 해결하는 기법이 유클리드 사례로 넘어갈 수 있기를 바라면서 카케야 문제에 한정된 필드 아날로그를 제시했다.

유한 필드 카케야 추측:F를 유한한 장으로 하고, K setⁿ F를 카케야 세트로 한다. 즉, 각 벡터 y ∈ F에ⁿ 대해 K가 선 {x + ty : t ∈ F}을 포함하는 x ∈ F가ⁿ 존재한다.그러면 집합 K는 최소한 c_n F의 크기를 가지는데, 여기서_n c>0은 n에만 의존하는 상수다.

Zeev Dvir는 2008년에 이 추측을 증명했고, 그 진술이 c_n = 1/n!을 유지한다는 것을 보여주었다.^[23][24]그의 증거에서, 그는 가케야 집합에서 소멸되는 F보다 낮은 n개의 변수에서 모든 다항식은 동일한 0이어야 한다고 관찰했다.반면에 F보다 작은 n개의 변수에 있는 다항식들은 차원의 벡터 공간을 형성한다.

${\displaystyle {\mathbf {F} +n-1 \n}\geq {\frac {\mathbf {F}^{n}}{n!}}.}$

따라서 F보다 작은 점수로 주어진 집합에서 소멸되는 최소 F보다 낮은 수준의 비경쟁 다항식이 하나 이상 있다.이 두 관측치를 결합하면 카케야 집합에 적어도 F /n! 포인트가 있어야 한다는 것을 알 수 있다.

그 기술이 원래의 카케야 추측을 증명하는 것으로까지 확장될지는 확실하지 않지만, 이 증거는 본질적으로 대수학적으로 백점암페어를 불가능하게 함으로써 원래의 추측에 신빙성을 부여한다.드비르는 유한 분야 카케야 문제에 대한 최근의^[update] 경과와 랜덤성 추출기와의 관계에 대한 조사 기사를 작성했다.^[25]

참고 항목

• 니코디름 세트

메모들

참조

• Besicovitch, Abram (1963). "The Kakeya Problem". American Mathematical Monthly. 70 (7): 697–706. doi:10.2307/2312249. JSTOR 2312249. MR 0157266.
• Dvir, Zeev (2009). "On the size of Kakeya sets in finite fields". Journal of the American Mathematical Society. 22 (4): 1093–1097. arXiv:0803.2336. Bibcode:2009JAMS...22.1093D. doi:10.1090/S0894-0347-08-00607-3. MR 2525780. S2CID 3358826.
• Falconer, Kenneth J. (1985). The Geometry of Fractal Sets. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 85. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1. MR 0867284.
• Kakeya, Soichi (1917). "Some problems on maximum and minimum regarding ovals". Tohoku Science Reports. 6: 71–88.
• Katz, Nets Hawk; Łaba, Izabella; Tao, Terence (2000). "An improved bound on the Minkowski dimension of Besicovitch sets in ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$" (PDF). Annals of Mathematics. 152 (2): 383–446. doi:10.2307/2661389. JSTOR 2661389. MR 1804528. S2CID 17007027.

• Wolff, Thomas (1999). "Recent work connected with the Kakeya problem". In Rossi, Hugo (ed.). Prospects in Mathematics: Invited Talks on the Occasion of the 250th Anniversary of Princeton University. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 129–162. ISBN 978-0-8218-0975-4. MR 1660476.
• Wolff, Thomas (2003). Łaba, Izabella; Shubin, Carol (eds.). Lectures on Harmonic Analysis. University Lecture Series. Vol. 29. With a foreword by Charles Fefferman and preface by Izabella Łaba. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/ulect/029. ISBN 0-8218-3449-5. MR 2003254.

외부 링크

• 브리티시 컬럼비아 대학교 카케야
• UCLA 베시코비치 선수단
• 수학계의 카케야 바늘 문제
• 테렌스 타오의 블로그에서 유한분야 카케야 추측에 대한 드비르의 증거
• 베시코비치 카케야 세트 소개