카투캄폴라 분수 연산자

수학에서 카투캄폴라 분수 연산자는 리만-리우빌과 하다마드 분수 연산자를 독특한 형태로 일반화하는 필수 연산자다.^[1][2][3][4]카투검폴라 분수 적분은 리만-리우빌 분수 적분과 하다마드 분수 적분 모두를 단일 형태로 일반화하고 리만-리우빌 분수 적분을 일반화하는 에르데일리-코버^[5][6][7][8] 연산자와도 밀접하게 관련되어 있다.카투검폴라 분수계 파생상품은^[2][3][4] 카투검폴라 분수계 적분을^[3] 사용하여 정의되었으며, 다른 분수계 미분계 연산자와 마찬가지로 적분계 및 차분계 연산자의 실수 힘 또는 복잡한 수 파워를 취할 가능성도 확대된다.

정의들

이러한 연산자는 다음과 같은 확장-Lebesgue 공간에서 정의되었다.

Xp(a, b)cc∈ R, 1≤ p≤ ∞{\displaystyle{\textit{X}}_ᆭ^ᆮ(a,b),\, c\in}f[a, b]{\displaystyle[a,b]}에{\displaystyle f}그Lebesgue 측정 가능한 기능의 공간에 ‖ f‖ Xc 와<>∞{)\displaystyle f\_{{\textit,\,1\leq p\leq \infty{R}\mathbb자. {X}$}_{c}^{p}}}<\infully$ 여기서 표준은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle{\begin{aigned}\f\{\textit{X}_{c}^{p}}={\Big (}\\int_{a}^{b) t^{p}{p}{p}{p}{pac{dt}{\Big}^{1/p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\dep}}}}}}}}}}}}$

$1{\displaystyle }$≤ < , $∈$ ${\$ p$<\infit,\c\$inc\$in$ \mathb ${R}$및 사례 p${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyp p=\infit }.$

${\displaystyle {\begin{aigned}\f\{\textit{X}_{c}^{\infit }}{\text{ess sup}_{a\leq t\leq b}],\quad(c\in \mathb {R}).\end{정렬}}}$

카투캄폴라 분수 적분

다음과 같은 통합을 통해 정의된다.

${\displaystyle ({}^{\rho }{\mathcal {I}}_{a+}^{\alpha }f)(x)={\frac {\rho ^{1-\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}{\frac {\tau ^{\rho -1}f(\tau )}{(x^{\rho }-\tau ^{\rho })^{1-\alpha }}}\,d\tau ,}$

(1)

> ${\displaystyle x>a}$ 및 ()> ${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0.$$}}$ 이 적분을 좌편분 적분이라고 한다.마찬가지로, 우측 부분 적분은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle ({}^{\rho }{\mathcal {I}}_{b-}^{\alpha }f)(x)={\frac {\rho ^{1-\alpha }}{\Gamma ({\alpha })}}\int _{x}^{b}{\frac {\tau ^{\rho -1}f(\tau )}{(\tau ^{\rho }-x^{\rho })^{1-\alpha }}}\,d\tau .}$

(2)

< ${\$ x$<b}$ 및 re )> 0 ${\$.

이는 폼의 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}-$폴드$$ 왼쪽 및 오른쪽 통합에 대한 부분 일반화다.

${\displaystyle \int _{a}^{x}t_{1}^{\rho -1}\,dt_{1}\int _{a}^{t_{1}}t_{2}^{\rho -1}\,dt_{2}\cdots \int _{a}^{t_{n-1}}t_{n}^{\rho -1}f(t_{n})\,dt_{n}}$

그리고

${\displaystyle \int _{x}^{b}t_{1}^{\rho -1}\,dt_{1}\int _{t_{1}}^{b}t_{2}^{\rho -1}\,dt_{2}\cdots \int _{t_{n-1}}^{b}t_{n}^{\rho -1}f(t_{n})\,dt_{n}}$ for ${\displaystyle \texts$$tyle n\in \mathb {N},}$

각각문제의 통합 연산자는 유명한 에르델리-코버 연산자와 매우 유사하지만, 에르델리-코버 연산자의 직접적인 결과로서 하다마드 분절 통합을 얻을 수 없다.또한 리만-리우빌과 하다마드 분수 파생상품이 일반화되는 해당 분수파생상품이 있다.부분적 통합의 경우와 마찬가지로, 에르델리-코버 운영자의 경우는 동일하지 않다.

카투캄폴라 분수계 파생상품

다른 부분파생상품의 경우와 마찬가지로, 카투캄폴라 부분적분을 통해 정의된다.^{[3][9][10][11]}

α C∈,(α)≥ 0, nx⁡[리 ⁡(α)]+1{\displaystyle \alpha\in \mathbb{C},\\operatorname{리}(\alpha)\geq 0,n=[\operatorname{리}(\alpha)]+1}과ρ<>를 사용하여 0입니다.{\displaystyle \rho>0.}자.그 일반화된 분수의 파생 상품 일반 부분 적분식과(2)(1)에 해당하는 respectivel 정의되어 있다., 0 < < ${\displaystyle 0\leq a<x<b\leq \inforty$ by.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}{}^{\rho }{\mathcal {D}}_{a+}^{\alpha }f{\big )}(x)&={\bigg (}x^{1-\rho }\,{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}\,\,{\big (}{}^{\rho }{\mathcal {I}}_{a+}^{n-\alpha }f{\big )}(x)\\&={\frac {\rho ^{\alpha -n+1}}{\Gamma ({n-\alpha })}}\,{\bigg (}x^{1-\rho }\,{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}\int _{a}^{x}{\frac {\tau ^{\rho -1}f(\tau )}{(x^{\rho }-\tau ^{\rho })^{\alpha -n+1}}}\,d\tau ,\end{aligned}}}$

그리고

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}{}^{\rho }{\mathcal {D}}_{b-}^{\alpha }f{\big )}(x)&={\bigg (}-x^{1-\rho }\,{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}\,\,{\big (}{}^{\rho }{\mathcal {I}}_{b-}^{n-\alpha }f{\big )}(x)\\&={\frac {\rho ^{\alpha -n+1}}{\Gamma ({n-\alpha })}}{\bigg (}-x^{1-\rho }{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}\int _{x}^{b}{\frac {\tau ^{\rho -1}f(\tau )}{(\tau ^{\rho }-x^{\rho })^{\alpha -n+1}}}\,d\tau ,\end{aligned}}}$

각각 통합이 존재하는 경우.

이들 연산자는 리만-리우빌 및 하다마드 분수파생물을 하나의 형태로 일반화하며, 에르델리-코버 분수는 리만-리우빌 분수파생물의 일반화다.^[3]$b{\displaystyle }$ =${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle b=\infit }$인 경우$,$ 부분파생상품을 Weyl형 파생상품이라고 한다.

카푸토-카투캄폴라 분수계 파생상품

현재 카푸토-카투캄폴라 분수 파생상품으로 알려진 카푸삼폴라 파생상품의 카푸토형 개조가 있다.^[12][13]Let ${\displaystyle f\in L^{1}[a,b],\alpha \in (0,1]}$ and ${\displaystyle \rho }$. The C-K fractional derivative of order ${\displaystyle \alpha }$ of the function ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ,}$ with respect to parameter ${\displayst$$yle \rho }$은(는) 다음과 같이 표현할 수 있다$$.

${\displaystyle {}^{C}{\mathcal {D}}_{a+}^{\alpha ,\rho }f(t)={\frac {\rho ^{\alpha }t^{1-\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dt}}\int _{a}^{t}{\frac {s^{\rho -1}}{(t^{\rho }-s^{\rho })^{\alpha }}}{\big [}f(s)-f(a){\big ]}\,ds.}$

다음과 같은 결과를 만족한다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle f\in C^{1}[a,b]}$이$($가) C-K 파생상품에 다음과 같은 동등한 형식이^{[citation needed]} 있다고 가정해 보십시오.

${\displaystyle {}^{C}{\mathcal {D}}_{a+}^{\alpha ,\rho }f(t)={\frac {\rho ^{\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )}}\int _{a}^{t}{\frac {f^{\prime }(s)}{(t^{\rho }-s^{\rho })^{\alpha }}}ds.}$

Hilfer-Katugampola 분수계 파생상품

또 다른 최근의 일반화는 Hilfer-Katugampola 분수령 파생상품이다.^[14][15]< < ${\displaystyle$ 0$<\\alpha <$1}을$($를) 순서에 넣고 $0{\displaystyle \mathrm{}}$β${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1}$을 1 ${\$1}를 입력하십시오$.$> {\displaystyle $\rho >0$인 x ${\$$displaystyle$ $x$에 대한 부분파생상품(좌측/우측)은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}({^{}\rho{{D}}_{a\pm}^{\alpha ,\beta}}\mathcal \varphi)())&, =\left(\pm \,{^{}\rho{{J}}\mathcal_{a\pm}^{\beta(1-\alpha)}}\left(t^{\rho)}{\frac{d}{dt}}\right){^{\rho}{{J\mathcal}}_{a\pm}^{(1-\beta)(1-\alpha)}}\varphi\right)())\\&, =\left(\pm \,{^{}\rho{{J}}\mathcal_{a\pm}^{\beta(1-\alpha)}}\d.elta_{)rho }\,{^{\rho }{\mathcal {J}_{a\pm }^{(1-\beta )}{(1-\alpha )}}\varphi \right)(x),\end{arliged}}}}}}}$

where ${\displaystyle \delta _{\rho }=t^{\rho -1}{\frac {d}{dt}}}$, for functions ${\displaystyle \varphi }$ in which the expression on the right hand side exists, where ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ is the generalized fractional integral given in (1).

멜린 변환

라플라스 변환의 경우처럼 멜린 변환은 미분 방정식을 풀 때 특히 사용된다.Katugampola Integrated 연산자의 왼쪽 및 오른쪽 버전의 Mellin 변환은 다음과 같다.

정리

C , ()> 0, ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {C},\ \operatorname {Re}(\alpha )>0,$ > 그럼, ${\displaysty \rho >0.}$

${\displaystyle{\begin{정렬}&,{{M\mathcal}}{\bigg(}{}^{}{{나는}}\mathcal_{a+}\rho ^{\alpha}f{\bigg)}(s)={\frac{\Gamma{\big)}}{\Gamma{\big)}\,\rho ^{\alpha}}}\,{{M\mathcal}}f(s+\alpha \rho),\quad\operatorname{리}(s/\rho +\alpha)<, 1,\,x>, a,\\&,{{M\mathcal}}{\b.무시하다.(}{}^{\rho}{\mathcal {I}}_{b-}^{\alpha }f{\bigg )}(s)={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {s}{\rho }}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {s}{\rho }}+\alpha {\big )}\,\rho ^{\alpha }}}\,{\mathcal {M}}f(s+\alpha \rho ),\quad \operatorname {Re} (s/\rho )>0,\,x<b,\\\end{aligned}}}$

for ${\displaystyle f\in {\textit {X}}_{s+\alpha \rho }^{1}(\mathbb {R^{+}} )}$, if ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s+\alpha \rho )}$ exists for ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$.

헤르미트-하다마드형 불평등

카투캄폴라 운영자는 다음과 같은 헤르미트-하다마드 유형의 불평등을 만족시킨다.^[16]

정리

> ${\displaystyle \alpha >0}$ 및 > 0 ${\displaystyle \rho >0$을(를) 두십시오. f ${\displaystyle f}$이$({\displaystyle 가}$) [,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystystyle [a,b]}$의 볼록 함수인 경우$,$

${\displaystyle f\왼쪽 사진\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {\rho ^{\alpha }\Gamma (\alpha +1)}{4(b^{\alpha }-a^{\alpha })^{\alpha }}}\left[{}^{\rho }{\mathcal {I}}_{a+}^{\alpha }F(b)+{}^{\rho }{\mathcal {I}}_{b-}^{\alpha }F(a)\right]\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}},}$

여기서 $F{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$+ f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$- ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$[ a${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle F(x)=f(x)+f(a+b-x),\;x\in [a,b]$$}$.

위의 결과에서$$${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$→ 0${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$이 되면 다음과 같은 Hadamard형 불평등이 유지된다.^[16]

코롤라리

> 0 ${\displaystyle \alpha >0}$을(를) 그대로 두십시오 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가)${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b$의 볼록 함수라면,

${\displaystyle f\왼쪽 사진\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {\Gamma (\alpha +1)}{4\left(\ln {\frac {b}{a}}\right)^{\alpha }}}\left[\mathbf {I} _{a+}^{\alpha }F(b)+\mathbf {I} _{b-}^{\alpha }F(a)\right]\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}},}$

여기서 $I{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ style$\mathbf$ {$I} _{a+}^{\alpha }$ 및 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ b -${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은 좌우측 Hadamard 소수집합물이다.

최근 개발

이러한 운영자들은 다음 작품에서 언급되었다.

1. 분수 미적분학. 물리학자 리차드 허먼의 소개
2. 일반화된 분수 적분, 타티아나 Odzijewicz, Agnieszka B에 대한 응용에 대한 변동의 분수 계산. Malinowska 및 Delfim F. M. Tores, 추상화 및 적용 분석, Vol 2012(2012), 기사 ID 871912, 24페이지
3. 2015년 임페리얼 칼리지 프레스, Agnieszka B Malinowska 및 Delfim F. M. Tores 소개
4. Malinowska, Agnieszka, Agnieszka B, Odzijewicz, Tatiana, Tores, Delfim F.M, Springer, 2015의 미분수 변동의 고급 방법
5. Hadamard 분수 적분 및 파생 모델, Shakoor Pooseh, Ricardo Almeida 및 Delfim F. M. Tores, 수치 기능 분석 및 최적화, Vol 33, 2012, 이슈 3, 페이지 301–319에 대한 정수 파생 모델의 관점에서 확장 공식.^[19]

참조

추가 읽기

메모들

분수 미적분 전용 매트랩 및 시물링크 툴박스인 CRONE(R) 툴박스는 http://cronetoolbox.ims-bordeaux.fr에서 다운로드할 수 있다.