응용 수학에서 켈빈 함수 berν x )와 beiν x )는 각각 실제 와 가상의 부분 이다.
J ν ( x e 3 π i 4 ) , {\displaystyle J_{\nu }\왼쪽(xe^{\frac {3\pi i}{4}\오른쪽)\,} 여기서 x 는 진짜고, jν (z 제1종류의 order th 오더 베셀 함수 다. 마찬가지로 kerν (x )와 keiν (x ) 함수들은 각각 실제와 가상의 부분이다.
K ν ( x e π i 4 ) , {\displaystyle K_{\nu }\왼쪽(xe^{\frac {\pi i}{4}\오른쪽)\,} 여기서 Kν (z )ν th 오더 변형 베셀 함수 다.
이 기능들은 제1대 켈빈 남작 윌리엄 톰슨 의 이름을 따서 명명되었다.
켈빈 함수는 베셀 함수의 실제 및 가상 부분으로 정의되며 x 가 실제인 것으로 간주되는 반면, 복합 인수 xe iφ ≤ φ < 2 π 에 대해 함수를 분석적으로 지속할 수 있다. 적분 n 에 대한 bern x )와 bein x )를 제외하고 켈빈 함수는 x = 0에 분기점 이 있다.
이하 below(z ) 는 감마함수 , ψ (z )디감마함수 다.
ber(x ) b e r x 2 {\ displaystyle \mathrm {ber} (x)/e^{x/{\sqrt{2}}: 사이 x의 경우정수 n 의 경우 bern x )에 영상 시리즈 확장이 있음
b e r n ( x ) = ( x 2 ) n ∑ k ≥ 0 cas [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] k ! Γ ( n + k + 1 ) ( x 2 4 ) k , {\displaystyle \mathrm {ber} _{n}(x)=\좌측값\frac{x}{2}}\우측) ^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\frac \좌측[\좌측]\frac {3n}{4}}+{\frac {2}}\우측)\pi \right]}{k! \감마(n+k+1) }}}\왼쪽 \frac{x^{2}}:{4}\오른쪽) ^{k},} 여기서 γ(z ) 는 감마함수 다. 일반적으로 ber(x )로 표기되는 특수 케이스 ber0 (x )는 시리즈 확장을 가지고 있다.
b e r ( x ) = 1 + ∑ k ≥ 1 ( − 1 ) k [ ( 2 k ) ! ] 2 ( x 2 ) 4 k {\displaystyle \mathrm {ber}(x)=1+\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}}{{[(2k)!] ^{2}}:}\왼쪽 \frac {x}{2}}\오른쪽)^{4k}} 점근열
b e r ( x ) ∼ e x 2 2 π x ( f 1 ( x ) cos α + g 1 ( x ) sin α ) − k e i ( x ) π {\displaystyle \mathrm {ber} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}\left(f_{1}(x)\cos \alpha +g_{1}(x)\sin \alpha \right)-{\frac {\mathrm {kei} (x)}{\pi }}} 어디에
α = x 2 − π 8 , {\displaystyle \cHB ={\frac {x}{\sqrt{2}}-{\frac {\pi }{8}},} f 1 ( x ) = 1 + ∑ k ≥ 1 cas ( k π / 4 ) k ! ( 8 x ) k ∏ l = 1 k ( 2 l − 1 ) 2 {\displaystyle f_{1}(x)=1+\sum _{k\geq 1}{\frac {\cos(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}\prod _{l=1}{k-1}(2l-1)^{2}} g 1 ( x ) = ∑ k ≥ 1 죄를 짓다 ( k π / 4 ) k ! ( 8 x ) k ∏ l = 1 k ( 2 l − 1 ) 2 . {\displaystyle g_{1}(x)=\sum _{k\geq 1}{\frac {\sin(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}.}} bei(x ) b e i x x 2 {\ displaystyle \mathrm {bei}(x)/e^{x/{\sqrt{2}}: x 에 대한정수 n 의 경우, bein x )는 시리즈 확장을 가진다.
b e i n ( x ) = ( x 2 ) n ∑ k ≥ 0 죄를 짓다 [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] k ! Γ ( n + k + 1 ) ( x 2 4 ) k . {\displaystyle \mathrm {bei} _{n}(x)=\좌측값\frac {x}{2}}\우측) ^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\sin \왼쪽[\왼쪽]\frac {3n}{4}}+{\frac {2}}\오른쪽)\pi \right]{k!}{k! \감마(n+k+1) }}}\왼쪽 \frac {x^{2}}:{4}\오른쪽)^{k}} 일반적으로 just bei(x )로 표시되는 특수 케이스 bei0 (x )는 시리즈 확장을 가지고 있다.
b e i ( x ) = ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k [ ( 2 k + 1 ) ! ] 2 ( x 2 ) 4 k + 2 {\displaystyle \mathrm {bei}(x)=\sum _{k\geq 0}{\frac {(1)^{k}}{{[(2k+1)!] ^{2}}\왼쪽 사진\frac {x}{2}}\오른쪽)^{4k+2}} 점근열
b e i ( x ) ∼ e x 2 2 π x [ f 1 ( x ) 죄를 짓다 α − g 1 ( x ) cas α ] − k e r ( x ) π , {\displaystyle \mathrm {bei} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}[f_{1}(x)\sin \alpha -g_{1}(x)\cos \alpha ]-{\frac {\mathrm {ker} (x)}{\pi }},} 여기서 α, f 1 {\displaystyle f_{1}( x )} g 1 {\displaystyle g_{1}(x)} x )와 같이 정의된다
케르(x ) k e r x 2 {\ displaystyle \mathrm {ker} (x)e^{x/{\sqrt{2}}: x 에 대한정수 n 의 경우, kern x )에 (공통) 시리즈 확장이 있음
k e r n ( x ) = − ln ( x 2 ) b e r n ( x ) + π 4 b e i n ( x ) + 1 2 ( x 2 ) − n ∑ k = 0 n − 1 cas [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ( n − k − 1 ) ! k ! ( x 2 4 ) k + 1 2 ( x 2 ) n ∑ k ≥ 0 cas [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ψ ( k + 1 ) + ψ ( n + k + 1 ) k ! ( n + k ) ! ( x 2 4 ) k . {\displaystyle {\regated}&\mathrm {ker} _{n}(x)=-\ln \lefted\frac {x}{2}}\오른쪽)\mathrm {ber} _{n}+{n(x){n(x)+{\frac{4}}\mathrmatrm {bei}_{n(x)\n}\n}\x)\n}\x)\n} \&+{\frac {1}{1}:{2}}\{x}\오른쪽)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac}{3n}}}{4}+{\frac}\pi \right]{prac {(n-k-1)! }}{k!}\왼쪽 \frac {x^{2}}:{4}\오른쪽) ^{k}\\&+{\frac {1}{1}:{1}{1}:{2}}:\frac\frac {x}{2}}\오른쪽) ^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \left[\leftleft\frac {3n}{4}+{4}+{\frac {k}2}}\pi \right]{\frac {\c+1}{\frac {\pi(k+1)}{k!(n+k)! }}}\왼쪽 \frac{x^{2}}:{4}\오른쪽)^{k}. \end{정렬}}} 일반적으로 ker(x )로만 표시되는 특수 케이스 ker0 (x )는 시리즈 확장을 가진다.
k e r ( x ) = − ln ( x 2 ) b e r ( x ) + π 4 b e i ( x ) + ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k ψ ( 2 k + 1 ) [ ( 2 k ) ! ] 2 ( x 2 4 ) 2 k {\displaystyle \mathrm {ker} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {ber} (x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {bei} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+1)}{[(2k)!] ^{2}}:}\왼쪽 \frac {x^{2}}:{4}\오른쪽)^{2k}}} 그리고 점근성 시리즈
k e r ( x ) ∼ π 2 x e − x 2 [ f 2 ( x ) cas β + g 2 ( x ) 죄를 짓다 β ] , {\displaystyle \mathrm {ker}(x)\sim {\frac {\pi }{2x}e^{-{\frac {x}{\sqrt{2}}[f_{2}(x)}}}}\cos \g_{2}(x)\sin \}},} 어디에
β = x 2 + π 8 , {\displaystyle \cHB ={\frac {x}{\sqrt {2}+{\frac {\pi }{8}},} f 2 ( x ) = 1 + ∑ k ≥ 1 ( − 1 ) k cas ( k π / 4 ) k ! ( 8 x ) k ∏ l = 1 k ( 2 l − 1 ) 2 {\displaystyle f_{2}(x)=1+\sum _{k\geq 1}--1(-1)^{k}{\frac {\cos(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}\prod _{l=1}{l-1}^{2}}: g 2 ( x ) = ∑ k ≥ 1 ( − 1 ) k 죄를 짓다 ( k π / 4 ) k ! ( 8 x ) k ∏ l = 1 k ( 2 l − 1 ) 2 . {\displaystyle g_{2}(x)=\sum _{k\geq 1}-1(-1)^{k}{\frac {\sin(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}\prod _{l=1}{l-1)^{2}.}}
kei(x ) k e i x 2 {\ displaystyle \mathrm {key}(x)e^{x/{\sqrt{2}}: x 에 대한정수 n 의 경우 kein x )의 직렬 확장
k e i n ( x ) = − ln ( x 2 ) b e i n ( x ) − π 4 b e r n ( x ) − 1 2 ( x 2 ) − n ∑ k = 0 n − 1 죄를 짓다 [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ( n − k − 1 ) ! k ! ( x 2 4 ) k + 1 2 ( x 2 ) n ∑ k ≥ 0 죄를 짓다 [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ψ ( k + 1 ) + ψ ( n + k + 1 ) k ! ( n + k ) ! ( x 2 4 ) k . {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {kei} _{n}(x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {ber} _{n}(x)\\&-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)! }}{k!}\왼쪽 \frac {x^{2}}:{4}\오른쪽) ^{k}\\&+{\frac {1}{1}:{1}{1}:{2}}:\frac\frac {x}{2}}\오른쪽) ^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \왼쪽[\left\frac {3n}{4}+{4}+{\frac {k}{2}}\\\pi \right]{\frac {\n+1}{\frac {\pi{\c+1}{k!(n+k)! }}}\왼쪽 \frac{x^{2}}:{4}\오른쪽)^{k}. \end{정렬}}} 흔히 그냥 kei(x )로 표기되는 특수 케이스 kei0 (x )는 시리즈 확장을 가지고 있다.
k e i ( x ) = − ln ( x 2 ) b e i ( x ) − π 4 b e r ( x ) + ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k ψ ( 2 k + 2 ) [ ( 2 k + 1 ) ! ] 2 ( x 2 4 ) 2 k + 1 {\displaystyle \mathrm {kei} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {bei} (x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {ber} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+2)}{[(2k+1)!] ^{2}}:}\왼쪽 \frac {x^{2}}:{4}\오른쪽)^{2k+1} 그리고 점근성 시리즈
k e i ( x ) ∼ − π 2 x e − x 2 [ f 2 ( x ) 죄를 짓다 β + g 2 ( x ) cas β ] , {\displaystyle \mathrm {kei}(x)\sim -{\sqrt {\frac {\pi }{2x}e^{-{\frac {x}}{\sqrt {2}}[f_{2}(x)\sinna +g_{2}(x)\cos \cos },}}}}}}}}}}} 여기서 β , f 2 (x ) 및 g 2 (x )는 ker(x )와 같이 정의된다.
참고 항목 참조 Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 9" . Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .Olver, F. W. J.; Maximon, L. C. (2010), "Bessel functions" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 외부 링크 와이스슈타인, 에릭 W. "켈빈 기능" MathWorld—Wolfram 웹 리소스. [1] codecogs.com에서 켈빈 함수 계산을 위한 GPL 라이센스 C/C++ 소스 코드: [2] 
![{\displaystyle \mathrm {ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0cd93458b54421e6ad2cc1a1d7642427b33221)
![\mathrm{ber}(x) = 1 + \sum_{k \geq 1} \frac{(-1)^k}{[(2k)!]^2} \left(\frac{x}{2} \right )^{4k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b0382d07ebb15b81d9f6d57b4a4c39d727bd7dd)
![{\displaystyle \mathrm {bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08343a9ce9fef41ac36a7add2de1ef813cc3ec3)
![\mathrm{bei}(x) = \sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^k }{[(2k+1)!]^2} \left(\frac{x}{2} \right )^{4k+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69dab8cb68e3d5e5a8dccfdf3f6c798775a0490)
![\mathrm{bei}(x) \sim \frac{e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}}{\sqrt{2 \pi x}} [f_1(x) \sin \alpha - g_1(x) \cos \alpha] - \frac{\mathrm{ker}(x)}{\pi},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ac7c7ceb46b3e4f8fe6307064ff05eeb980e04)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {ker} _{n}(x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {bei} _{n}(x)\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c861946c574b893b798807b4d330a08838a82c03)
![\mathrm{ker}(x) = -\ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{ber}(x) + \frac{\pi}{4}\mathrm{bei}(x) + \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\psi(2k + 1)}{[(2k)!]^2} \left(\frac{x^2}{4}\right)^{2k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e620fcd5ca5f6cba6b4ba993439a8e6878b3505c)
![\mathrm{ker}(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-\frac{x}{\sqrt{2}}} [f_2(x) \cos \beta + g_2(x) \sin \beta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6156e93597225fc773d61fff4b8c7b9b2ddc16f2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {kei} _{n}(x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {ber} _{n}(x)\\&-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a32a3a0932238e7433d48965287b3ab97f0f245)
![\mathrm{kei}(x) = -\ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{bei}(x) - \frac{\pi}{4}\mathrm{ber}(x) + \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\psi(2k + 2)}{[(2k+1)!]^2} \left(\frac{x^2}{4}\right)^{2k+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a84894452aa4ac878be50e50a42b2a91bd3bce86)
![\mathrm{kei}(x) \sim -\sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-\frac{x}{\sqrt{2}}} [f_2(x) \sin \beta + g_2(x) \cos \beta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb3fd63059e08690345a00b76f7425ba1bcc768)
