디감마 함수

수학에서 digamma 함수는 감마함수의 로그파생물로 정의된다.^[1][2]

${\displaystyle \psi(x)={\frac {d}}{dx}\ln {\big (}\Gamma (x)}={\frac {n(x)}}{\prac {1}{2x}}}.}$

다감마 기능 중 첫 번째다.

digamma 함수는 종종 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$ ) ,${\displaystyle {\mathrm{\psi }}^{}}$( ${\displaystyle 0{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)})$ 또는$$ ϝ^[3](이중감마를 의미하는 고대 그리스어 자음 digamma의 대문자 형태)로 표시된다.

조화수와의 관계

감마함수는 방정식에 따른다.

$\displaystyle \감마(z+1)=z\감마(z).\,}$

z와 관련하여 파생상품을 채택하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

$\displaystyle \감마 '(z+1)=z\감마 '(z)+\감마(z)\,}$

γ(z + 1) 또는 등가 Zγ(z)로 나누면 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\Gamma '(z+1)}{\감마(z+1)}={\frac {\gamma '(z)}{\Gamma(z)}}+{\frac {1}{z}}}}}$

또는:

${\displaystyle \property (z+1)=\frac(z)+{\frac {1}{z}}}$

고조파 숫자는 양의 정수에 대해 정의되므로 n은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k},}$

digamma 함수는 다음에 의해 그들과 관련된다.

$[\displaystyle \cHB(n)=H_{n-1}-\gamma ,}$

여기서₀ H = 0이고, is은 오일러-마스케로니 상수다. 반정수 인수의 경우 digamma 함수는 값을 취함

${\displaystyle \left(n+{\tfrac {1}{1}{2}}\오른쪽)=-\display -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}}}}}$

적분표현

z의 실제 부분이 양의 경우, Digamma 함수는 Gauss로 인해 다음과 같은 적분 표현을 가진다.^[4]

${\displaystyle \j)=\int_{0}^{0}{0}^{\inflt}\e^{-t}}{e^{-t}}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}\,dt.}$

이 식을 오일러-마스케로니 상수 ${\displaystyle \gamma}$에 대한 일체형 ID와 결합하면 다음과 같은 결과가 나온다$$.

${\displaystyle \property (z+1)=-\buffer +\int _{0}^{1}{1-t^{z}}\{1-t}\오른쪽)\,dt.}$

적분은 오일러의 조화수 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$이므로 이전 공식도 쓸 수 있다.

$\displaystyle \cHB(z+1)=\cHB(1)+H_{z}}$

그 결과는 다음과 같은 재발관계의 일반화다.

$[\displaystyle \property (w+1)-\properties (z+1)=H_{w}-H_{z}}$

디리클레로 인한 본질적인 표현은 다음과 같다.^[4]

${\displaystyle \j)=\int _{0}^{\inflt }\{0}-{-{-}-{\frac {1}{1+t}^{z}}\, {\frac {dt}{t}}}}.}$

가우스의 적분 표현을 조작하여 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$의 점근 확장을 시작할 수 있다$.$^[5]

${\displaystyle \j)=\log z-{{\frac {1}{2z}-\int_{0}^{0}}{{0}}}{{0}}}\frac {1}{1}-{1}+{e^{t}-1}\right)e^{-t},dt},dt.}$

이 공식은 또한 감마함수에 대한 비넷의 첫 번째 적분의 결과물이다. 적분은 라플라스 변환으로 인식될 수 있다.

감마함수에 대한 비넷의 두 번째 적분은 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$에 대해 다른 공식을 제공하며, 이$$ 공식을 통해 처음 몇 개 항에 증상이 나타나지 않는 확장도 볼 수 있다.^[6]

${\displaystyle \j)=\log z-{\frac {1}{2z}-2\int _{0}^{0}{0}^{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2}){e^{2\pi t}-1)}}}}.}$

$\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$의 정의와$$ 감마 함수의 적분 표현으로부터 obtains을 얻는다.

${\displaystyle \psi(z)={\frac {1}{\감마(z)}}\int _{0}^{0}{0}^{}}\n(t)^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt,}$

> ${\displaystyle \Re$ z$>0}$ 포함^[7]

무한 제품 표현

함수 $\psi {\displaystyle }$(${\displaystyle z}$) / ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \psi (z)/\Gamma (z)}$는 전체 함수로서$$ 무한 제품으로 나타낼 수 있다.^[8]

${\displaystyle {\frac {\psi (z)}{\\gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}{k=0}}\prod(1-{\frac {z}{x_{k}}}\rig)e^{\frac {x_{{x_{k}}}}.}$

여기서 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 $\psi$ ${\displaystyle \psi }$의 k번째 영이고(아래 참조),$$ $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaysty \gamma}$은 euler-Mascheroni 상수다.

Note: This is also equal to ${\displaystyle -{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ due to the definition of the digamma function: ${\displaystyle {\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)}$.

시리즈 표현

직렬식

감마함수에 대한 오일러의 제품 공식은 함수 방정식 및 오일러-마스케로니 상수에 대한 아이덴티티와 결합되어 디감마 함수에 대해 다음과 같은 식을 산출하며 음의 정수 바깥쪽의 복잡한 평면에서 유효하다(Abramowitz와 Stegun 6.3.16).^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z+1)&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots .\end{aligned}}}$

동등하게,

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z)&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)}},\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\\end{aligned}}}$

합리적인 함수의 합계에 대한 평가

위의 ID를 사용하여 폼의 합계를 평가할 수 있다.

${\displaystyle \sum \{n=0}^{n_{n}=\sum _{n=0}^{n=0}^{\frac {p(n)}{q(n)}},}$

여기서 p(n)와 q(n)는 n의 다항식이다.

q(n)의 모든 뿌리가 단순한 뿌리일 경우, 복합 분야에서 u에_n 부분분수를 실시한다.

${\displaystyle u_{n}={\frac {p(n)}}{q(n)}}}}}}\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}{n+b_{k}}}}}}.}$

시리즈가 수렴하기 위해서는

${\displaystyle \lim _{n\to \ft }nu_{n}=0,}$

그렇지 않으면 시리즈가 고조파 시리즈보다 크므로 분산된다. 그러므로

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a_{k}=0,}$

그리고

${\displaystyle {\regated}\sum _{n=0}^{\inflat u_{n}&=\sum _{n=0}^{n=0}^{n=1}sum _{k=1}{n+b}{k}}\frac {a_{n+b_{k}}{k}{k_{k_{k_{k_{k_{k_{k}}k}}}}}}}}}}}}}k.}}\\&=\sum _{n=0}^{n=0}^}\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left_frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}\right)\\\&=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k}).\end{정렬}}}$

상위 등급의 다감마 함수의 직렬 확장으로 일반화된 공식은 다음과 같이 주어질 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}}a_{k}\cHB ^{(r_{k}-1)}(b_{k}),}$

좌측의 연속이 수렴될 경우.

테일러 시리즈

디감마는 테일러 시리즈가 z = 1로 준 합리적인 제타 시리즈를 가지고 있다. 이것은

${\displaystyle \property (z+1)=-\sum _{k=1}^{\infit }\제타(k+1)(-z)^{k}}}$

z < 1을 위해 수렴한다. 여기서 ζ(n)은 리만 제타 함수다. 이 시리즈는 후르비츠 제타 기능에 해당하는 테일러의 시리즈에서 쉽게 파생된다.

뉴턴 시리즈

디감마에 대한 뉴턴 시리즈는 때때로 스턴 시리즈라고 불리며 ^[9][10]읽는다.

${\displaystyle \property(s+1)=-\sum _{k=1}^{{k=1}{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s}}}}}}$

여기서()^s
_k는 이항 계수다. 에 일반화될 수도 있다.

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re (s)>-1,}$

여기서 m = 2,3,4,...^[10]

그레고리의 계수, 카우치 수, 제2종 베르누이 다항식 등이 있는 시리즈

이성적인 주장만을 위한 합리적 계수를 포함하는 디감마에는 다양한 시리즈가 존재한다. 특히 그레고리의 계수 G가_n 있는 시리즈는

${\displaystyle \psi(v)=\ln v-\sum _{n=1}^{n1}{\frac {{\big }G_{n}{\big }{{{n-1}!}{(v)}},\qquad \re(v)0,},}$

${\displaystyle \psi (v)=2\ln \Gamma (v)-2v\ln v+2v+2\ln v-\ln 2\pi -2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big }G_{n}(2){\big }}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

${\displaystyle \psi (v)=3\ln \Gamma (v)-6\zeta '(-1,v)+3v^{2}\ln {v}-{\frac {3}{2}}v^{2}-6v\ln(v)+3v+3\ln {v}-{\frac {3}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{2}}-3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big }G_{n}(3){\big }}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

여기서 (v)_n는 상승 요인(v)_n = v(v+1)(v+1) ...(v+n-1)이고_n, G(k)는_n G(1) = G로_n, γ은 감마함수, ζ은 후르비츠 제타함수로 상위 순서의 그레고리 계수다.^[11][10] 두 번째 종류의_n C 읽기의^[11][10] Cauchy 번호와 유사한 시리즈

${\displaystyle \psi(v)=\ln(v-1)+\sum _{n=1}^{\inflat }{\frac {C_{n}(n-1)!}{{(v)_{n}}}},\qquad \re(v)1,}$

제2종 베르누이 다항식 시리즈는 다음과 같은 형식을^[10] 가지고 있다.

${\displaystyle \psi(v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{n1}{n1}^{n1}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}},\qad \Re(v)-a,},}$

여기서 ψ_n(a)는 발생 방정식에 의해 정의된 두 번째 종류의 베르누이 다항식이다.

${\displaystyle {\frac{z(1+z)^{a}{\ln(1+z)}}}}=\sum _{n=0}^{\n}\inflt _{n}\n(a)\\\qquad z <1\}}$

에 일반화될 수 있다.

${\displaystyle \cHB(v)={\frac {1}{r}\sum _{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l)+{\frac{1}{r}\sum _{n=1}^{\inflat }{{n_{n,r}(a)-}{{n1}}{{{n1}-}}{{{{n}}}},\qquad \re(v)-,\quad r=1,2,3,\ldots}}}}}}$

여기서 다항식 N_n,r(a)은 다음과 같은 생성 방정식에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\frac {(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}}}{n=0}}}}}\sum _{n=0}^{n_{n,m(a)^{n}},\qquad z <1,}$

N_n,1(a) = ψ_n(a)^[10]가 되도록. 감마함수의 로그와 유사한 표현식은 이러한 공식을^[10] 포함한다.

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{v+a-{\tfrac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \re(v)]-a,}$

그리고

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}r+v+a-1}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{r-2}(r-n-1)\ln(v+a+n)+{\frac {1}{r}\sum _{n=1}^{\n=1}^{\frac {(-1)^{n_{n+1,r}(a)}{(v)_{n1}}}}(n-1)!\right\}}$

서 ()>- ${\displaystyle \Re (v)-a}$ $및$ r${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$3,${\displaystyle 4}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle r=2,3,4,\ldots$ $\}.$

반사식

디감마 함수는 감마 함수와 유사한 반사 공식을 만족한다.

$\displaystyle \pi(1-x)-\pi=\pi \pi x}$

재발식 및 특성화

digamma 함수는 반복 관계를 만족한다.

${\displaystyle \property (x+1)=\frac(x)+{\frac {1}{x}}.}$

그러므로, 그것은 "텔레스코프" 1 / x라고 말할 수 있다.

${\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}}$

여기서 Δ는 전방차 측정 시스템이다. 이는 고조파 계열의 부분 합계의 반복 관계를 만족시켜 공식을 암시한다.

$[\displaystyle \cHB(n)=H_{n-1}-\gamma ,}$

여기서 γ은 오일러-마스케로니 상수다.

보다 일반적으로, 사람은

${\displaystyle \property (1+z)=-\cHB +\sum _{k=1}^{{k}\frac {1}{k}-{\frac{1}{z+k}}\오른쪽).}$

( )> 0 ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0$ 또 다른 시리즈 확장:

${\displaystyle \psi (1+z)=\ln(z)+{\frac {1}{2z}}-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {B_{2j}}{2jz^{2j}}}}$,

여기서 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2j}}_{}}$ ${\$는 베르누이 숫자다$$. 이 시리즈는 모든 z에서 분산되며 스털링 시리즈로 알려져 있다.

사실 equation은 함수 방정식의 유일한 해법이다.

${\displaystyle F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}}$

즉⁺, R에서 단조롭고 F(1) = -1998을 만족한다. 이 사실은 Ⅱ함수의 재발방정식과 볼록성 제한으로 볼 때 Ⅱ함수의 고유성에서 바로 나타난다. 이는 유용한 차이 방정식을 의미한다.

${\displaystyle \psi(x+N)-\psi(x)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {1}{x+k}}}}}}$

디감마 함수와 관련된 일부 유한 합

디감마 함수에 대한 수많은 유한 합계 공식들이 있다. 다음과 같은 기본 합계 공식

${\displaystyle \sum \{r=1}^{m}\frac {r}{m}\right)=-m(\m(\reason +\ln m),}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m.}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum \{r=1}^{m-1}\reflac\frac {r}{r}}\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}}={\pi }{2}}({k-m),\qquad k=1,2,ldots,m-1}$

가우스 ^[12][13]때문이야 다음과 같은 복잡한 공식

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum \{r=0}^{m-1}\reflac\frac {2r+1}{2m}\right)\cdot \sin {\dfrac {\dfrac{(2r+1)k\pi }}}}}}}}=-{{{{{\pim}}}}}}}}}}}}}}}}={{{{{{{{{{{{{{}}},\qquad k=1,2,2},\qquad k=1,$

${\displaystyle \sum \{r=1}^{m-1}\frac\frac {r}{r}\cdot \frac {\pi r}{m}}}=-{\frac {\pi(m-1)(m-2)}{6}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}}$

특정 현대 작가의 작품 때문이다(예: 참조). Blagouchine(2014)^[14]의 부록 B.

가우스의 디감마 정리

양의 정수 r과 m(r < m)의 경우, 디감마 함수는 오일러의 상수와 유한한 수의 기초 함수로 표현될 수 있다.

${\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)}$

모든 이성적인 논쟁에 대해 반복 방정식 때문에.

점근팽창

디감마 함수는 점증적 팽창이 있다.

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-{\frac {1}{2z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{z^{2n}}}=\ln z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}},}$

여기서 B는_k K번째 베르누이 수이고 ζ은 리만 제타 함수다. 이러한 확장의 처음 몇 가지 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle \psi (z)\approx \ln z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+{\frac {1}{240z^{8}}}-{\frac {1}{132z^{10}}}+{\frac {691}{32760z^{12}}}-{\frac {1}{12z^{14}}}+\cdots .}$

무한 합은 어떤 z에 대해 수렴하지 않지만, 어떤 유한 부분 합은 z가 증가함에 따라 점점 정확해진다.

그 팽창은 오일러-마클라우린 공식을 합에^[15] 적용하면 알 수 있다.

${\displaystyle \sum \{n=1}^{\inflt }\왼쪽 사진\frac {1}{n1}-{n1}{z+n}\오른쪽)}$

또한 팽창은 감마함수에 대한 Binet의 두 번째 적분 공식에서 오는 적분 표현에서 도출될 수 있다. $t{\displaystyle }$/ (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ z ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle t/(t^{2}+z^{2}}}}}$을(를) 기하학적 시리즈로$$ 확장하고 베르누이 숫자의 적분 표현을 대체하면 위와 같은 점증상 시리즈로 이어진다. 또한 시리즈 중 미세하게 많은 용어만 확장하면 다음과 같은 명백한 오차항이 있는 공식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \psi(z)=\ln z-{1}{{2}-\sum _{n=1}^{N}{{N}{{2n}}{2nz^{2n}}+(-1)^{{N+1}{\frac {2}{z^{2}{2}{z^{2}{2}{2}N}}}\int _{0}^{{0}^{\nflac {t^{2N+1}\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}}}}$

불평등

x > 0일 때 함수

${\displaystyle \log x-{\frac {1}{2x}-\properties (x)}$

완전히 단조롭고 특히 긍정적이다. 이는 감마함수에 대한 비네의 첫 번째 적분에서 오는 적분표현에 적용된 번스타인의 모노톤 함수에 대한 정리의 결과다. 또한 볼록성 불평등 $1{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle e^{}}$ t ${\$에 의해 이 표현에서 통합 및 $통합$은${\displaystyle {}^{}}$e - ${\displaystyle t^{}}$z / ${\displaystyle 2\mathrm{}}${\$displaystyle e^{-tz}/2}$에 의해 위에 경계된다$.$ 결과적으로

${\displaystyle {\frac {1}{x}-\log x+\properties (x)}$

또한 완전히 단조롭다. 그것은 모든 x > 0에 대해 그 뒤를 따른다.

${\displaystyle \log x-{\frac {1}{1}{x}}\leq \req \log x-{\frac {1}{2x}}.}$

이것은 호르스트 알저의 정리를 되찾는다.^[16] Alzer는 또한 s 0 (0, 1)에 대해,

${\displaystyle {\frac {1-s}{x+s}<\cHB(x+1)-\cHB(x+s),}$

관련 경계는 엘레조비치, 지오다노, 페카릭에 의해 얻어졌는데, 그는 x > 0에 대해 그 사실을 증명했다.

${\displaystyle \log(x+{\tfrac {1}{1}:{2}}:-{\frac {1}{1}{x}}}<\log(x+e^{-\fract })-{\frac {1},}$

여기서 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은(는) 오일러-마스케로니 상수다.^[17] 이러한 한계에서 나타나는 상수가 가장 좋다.^[18]

평균값 정리는 고츠치의 불평등과 다음과 같은 아날로그를 내포하고 있다:만약 x > c, 여기서 c ≈ 1.461은 디감마함수의 고유한 양의 진짜 뿌리, 그리고 s > 0이면 그 다음이다.

${\displaystyle \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+1)}{\psi (x+1)}}\right)\leq {\frac {\psi (x+1)}{\psi (x+s)}}\leq \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+s)}{\psi (x+s)}}\right).}$

더욱이, 평등은 s = 1인 경우에만 유지된다.^[19]

고전 감마함수에 대한 조화 평균값 불평등에서 영감을 받은 호르츠 알저와 그레이엄 제임슨은 무엇보다도 디감마 함수에 대한 조화 평균값 불평등을 증명했다.

${\displaystyle }$$-$${\displaystyle }$${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{(}{x}}$ )${\displaystyle \frac{}{}}$+ (${\displaystyle \frac{}{}}$1 x${\displaystyle \frac{}{}}$) +${\displaystyle \frac{\psi }{}}$( 1 ${\displaystyle \frac{\frac{x}{}}{}}$ ) { (${\displaystyle \frac{1\frac{\mathrm{}}{}}{}}$ x${\displaystyle \frac{}{}}$) { (1 x )$${ (1 x ) $\leq {\frac {2\$( ($x)\psi({x$})}{\frac (\frac{1$}{x})}}}}}}{\prac ({$$1})}}}}}}}})}}}}}}}}}}}}}}}}}})}}}}}}}}}}}}}})}}}}}}}}}}$

동일성은 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x=1}$인 경우에만 유지된다$.$^[20]

계산 및 근사치

무증상 팽창은 x의 실제 부분이 클 때 ((x)를 쉽게 계산할 수 있는 방법을 제공한다. 작은 x에 대해 ψ(x)를 계산하려면, 반복 관계

${\displaystyle \property (x+1)={\frac {1}{x}+\properties (x)}$

x의 값을 더 높은 값으로 바꾸는 데 사용될 수 있다. 비알은^[21] 위의 반복을 사용하여 x를 6보다 큰 값으로 이동한 다음 x 컷오프¹⁴ 이상의 항으로 위의 확장을 적용하여 "충분한 정밀도 이상"(영점 근처를 제외하고 최소 12자리)을 산출할 것을 제안한다.

As x goes to infinity, ψ(x) gets arbitrarily close to both ln(x − 1/2) and ln x. Going down from x + 1 to x, ψ decreases by 1 / x, ln(x − 1/2) decreases by ln (x + 1/2) / (x − 1/2), which is more than 1 / x, and ln x decreases by ln (1 + 1 / x), which is less than 1 / x. From this we see that for any positive x greater than 1/2,

${\displaystyle \in \left(\ln \ln \left(x-{\tfrac {1}{1}:{1}오른쪽),\ln x\right)}$

아니면, 어떤 긍정적인 x에 대해서도,

${\displaystyle \exp \exp \ex(x)\in \left(x-{\tfrac {1}{1}{2}},x\right)).}$

지수 exp ψ(x)는 large x의 경우 대략 x - 1/2이지만, 작은 x에서는 x에 가까워지고, x = 0에서 0에 가까워진다.

x < 1의 경우, 1과 2사이에 ψ(x) ∈ [-γ, 1 - γ] 사이라는 사실에 근거하여 한계를 계산할 수 있다.

${\displaystyle \cHB(x)\in \lefted{1}{x}-\frac, 1-{\frac {1}{x}-\fract \right)\put x\in(0,1)}$

또는

${\displaystyle \exp \exp(\exp \exproc{1}-\frac {1}-\properties \right), e\exp \exp \refac{1}{x}-\flict \right)\right).}$

위의 ψ에 대한 점증상 시리즈에서 exp(-ψ)(x)에 대한 점증상 시리즈를 도출할 수 있다. 이 시리즈는 전체적인 행동과 잘 일치한다. 즉, 큰 논쟁에서 필요한 것처럼 점증적으로 행동하며, 원점에서도 무한의 다중성이 0이다.

${\displaystyle {\frac {1}{\exp \psi (x)}}\sim {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2\cdot x^{2}}}+{\frac {5}{4\cdot 3!\cdot x^{3}}}+{\frac {3}{2\cdot 4!\cdot x^{4}}}+{\frac {47}{48\cdot 5!\cdot x^{5}}}-{\frac {5}{16\cdot 6!\cdot x^{6}}}+\cdots }$

이는 taylor가 exp(1/y)를 y = 0으로 확장한 것과 유사하지만 수렴하지 않는다.^[22] (함수는 무한대에서 분석되지 않는다.) ${\displaystyle \exp (}$exp)(x)(${\displaystyle x)(x}$ )${\displaystyle ~}$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{2}{}}$. $\$displaystyle \$exp \psi (x)\sim x-{\frac {1}{2}.$로 시작하는 exp(x)에도 유사한 시리즈가 존재한다.$}$

ψ(x+1/2)에 대한 점증상 계열을 계산하면 x의 괴력(x항⁻¹ 없음)이 없는 것으로 나타난다. 이는 다음과 같은 점증적 확장으로 이어져 균등한 순서의 연산 조건을 절약한다.

${\displaystyle \exp \exp \efrac \left(x+{\tfrac {1}{1}오른쪽)\심 x+{\frac {1}{4!\cdot x}-{}-{8\cdot 6!\cdot x^{3}+{\frac{72\cdot 8!\cdot x^{5}-{\frac {5509121}{384\cdot 10!\cdot x^{7}}}+\cdots}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}cdots}}}}cdots}}cdots}}}}}}}}}}}}}}$

특수값

디감마 함수는 가우스의 디감마 정리 결과 합리적인 숫자에 대해 닫힌 형태로 값을 가진다. 일부는 아래에 나열되어 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\psi(1)&, =-\gamma\\\psi \left({\tfrac{1}{2}}\right)&, =-2\ln{2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac{1}{3}}\right)&, =-{\frac{\pi}{2{\sqrt{3}}}}-{\frac{3\ln{3}}{2}};=-{\frac{\pi}{2}}{2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac{1}{6}}\right)& -3\ln, =-{\frac{\pi{\sqrt{3\\\psi \left({\tfrac{1}{4}}\right)& -\gamma.}}}{2}}-2\ln{\f{2}-rac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{8}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\pi +\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)-\ln \left({\sqrt {2}}-1\right)}{\sqrt {2}}}-\gamma .\end{정렬}}}$

$더욱이{\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma \mathrm{}}$(${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle i}$) 2 ${\$(${\displaystyle \mathrm{bi})}$$^{2$}} 또는$$ ${\displaystyle \gamma \mathrm{}}$(${\displaystyle 1}$ 2 + b i) ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\$2$}}$ b {\$displaysty b}$의 로그파생산을 실제 값에서$$$$ 쉽게 추론할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi(bi)={\frac {1}{2b}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi b),}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi({\tfrac {1}{2}}+bi)={\frac {\pi }{2}}\tanh(\pi b).}$

가우스의 디감마 정리와는 별도로, 그러한 닫힌 공식은 일반적으로 실제 부분에 대해 알려져 있지 않다. 예를 들어, 상상 단위에 수치 근사치가 있다.

${\displaystyle \operatorname {Re} \psi(i)=-\gamma -\sum _{n=0}^{n-1}{n-1}{n-1}{3}+n^{2}+n+1}}}}}\ 약 0.09465.}$

디감마 함수의 뿌리

디감마 함수의 뿌리는 복합값 감마함수의 안장점이다. 따라서 그들은 모두 실제 축에 놓여 있다. 양의 실제 축에 있는 유일한 것은 x₀ = 1.46163214496836234126에서 R에⁺ 대한 실제 값 감마 함수의 고유한 최소값이다. 다른 모든 것은 음축의 극 사이에서 단일하게 발생한다.

x₁ = −0.50408300826445540925...

x₂ = −1.57349847316239045877...

x₃ = -2.16872086844414465000...

x₄ = −3.63529336643690109783...

$\displaystyle \vdots }$

이미 1881년에 찰스 에르미테는 다음과 같은 것을 관찰했다^[23].

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\lnn}}+O\좌측({\frac {1}{{\ln)^{2}}\우측)}}$

점증적으로 보유하다 뿌리의 위치에 대한 더 나은 근사치는 다음과 같다.

${\displaystyle x_{n}\대략 -n+{\frac {1}{\pi }}}\arctan \leftan \pi }{\lnn}\오른쪽)\qquad n\geq 2}$

그리고 더 많은 용어를 사용하는 것은 여전히 더 나아진다.

${\displaystyle x_{n}\대략 -n+{\frac {1}{\pi }}\refractan \reflac {}{\ln+{1}{8n}\pi }\quad n\geq 1}$

둘 다 반사 공식에서 나오는 것은

${\displaystyle 0=\pi(1-x_{n})=\pi(x_{n})+{\frac {\pi }{\tan \pi x_{n}}}}}}}}}}}$

ψ(x_n)를 수렴성 점근성 확장이 아닌 것으로 대체한다. 이 팽창의 정확한 두 번째 학기는 1/2n이며, 여기서 주어진 학기는 작은 n으로 근원을 추정하기에 좋다.

헤르미테 공식의 또 다른 개선점은 다음과 같다.^[8]

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\log n}-{1}{{2n(\log n)^{2}}+O\좌측({\frac {1}{n^{n^{2}(\log n)^{2}}}\우측).}$

0에 관해서, 다음과 같은 무한대의 정체성은 최근 이스tvan 메쯔와 마이클 호프만에^[8] 의해 증명되었다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\sum _{n=0}^{\infty}{\frac{1}{x_{n}^{2}}}&=\gamma ^{2}+{\frac{\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty}{\frac{1}{x_{n}^{3}}}&=-4\zeta(3)-\gamma ^{3}-{\frac{\gamma\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty}{\frac{1}{x_{n}^{4}}}&=\gamma ^{4}+{\frac{\pi ^{4}}{9}}+{\frac{2}{3}}\gamma ^{2}\pi ^{2}+4\gamma \zeta.(3).\end{정렬}}}$

일반적으로 함수는

${\displaystyle Z(k)=\sum _{n=0}^{\nflac{1}{x_{n}^{k}}}}}}}}}}$

인용된 저자에 의해 결정되고 상세하게 연구될 수 있다.

다음 결과^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}+x_{n}}}&=-2,\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}-x_{n}}}&=\gamma +{\frac {\pi ^{2}}{6\gamma }}\end{aligned}}}$

또한 진실이다.

여기 γ은 오일러-마스케로니 상수다.

정규화

디감마 함수는 다이버전트 통합의 정규화에 나타난다.

${\displaystyle \int _{0}^{\inflt }{\frac {dx}{x+a},}$

이 적분은 다이버전트 일반 하모니 시리즈로 근사치를 구할 수 있지만, 다음 값은 시리즈에 부착할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {1}{n+a}}=-\property (a)}$

참고 항목

• 다감마함수
• 삼각함수
• 체비셰프 디감마 함수의 확장 Wimp, Jet (1961). "Polynomial approximations to integral transforms". Math. Comp. 15 (74): 174–178. doi:10.1090/S0025-5718-61-99221-3.

참조

외부 링크

• OEIS 시퀀스 A020759(-1)*감마'(1/2)/감마(1/2)의 십진 확장, 여기서 감마(x)는 감마 함수를 나타낸다—psi(1/2)

OEIS: A04787 psi(1/3), OEIS: A200064 psi(2/3), OEIS: A020777 psi(1/4), OEIS: A200135 ~ OEIS: A200138 psi(1/5) ~ Psi(4/5)