하리토노프의 정리

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하리토노프의 정리는 시스템의 물리적 파라미터를 정확하게 알 수 없을 때 역동적인 시스템의 안정성을 평가하기 위해 제어 이론에 사용되는 결과물이다.특성 다항식의 계수가 알려지면 루스-허위츠 안정성 기준을 사용하여 시스템이 안정적인지 여부(즉, 모든 뿌리가 음의 실제 부품을 가지고 있는 경우)를 확인할 수 있다.하리토노프의 정리는 계수가 지정된 범위 내에 있다고만 알려진 경우에 사용할 수 있다.루스-허위츠는 일반적인 다항식(다항식)과 관계되는 반면, 이른바 간격 다항식의 안정성 시험을 제공한다.

정의

구간 다항식은 모든 다항식의 집합이다.

${\displaystyle p(s)=a_{0}+a_{1}s^{1}+a_{2}s^{2}s^{2}++...+a_{n}s^{n}}}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 각 계수 $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a_{i}\in R}$은(는) 지정된 간격의 값을 취할 수 있다$$.

${\displaystyle l_{i}\leq a_{i}\leq u_{i}.}$

또한 선행 계수는 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \notin }$[ ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{u}_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0\notin [l_{n},u_{n}}}$이(가) 될 수 없다고 가정한다$.$

정리

4개의 소위 Kharitonov 다항식인 경우에만 간격 다항식이 안정적이다(즉, 가족의 모든 구성원이 안정적이다).

${\displaystyle k_{0}=l_{0}+l_{1}s^{1}{1}{1}s^{1}+u_{2}s^{2}+u_{3}s^{3}+l_{4}s^{4}+l_{5}s^{5}+{5}s^{5}+\codots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle k_{0}=u_{0}+u_{1}s^{1}+l_{2}s^{2}l_{3}s^{3}+u_{4}s^{4}s^{4}+u_{5}s^{5}}s^{5}+}+}\codots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle k_{3}=l_{0}+u_{1}s^{1}+u_{1}s^{1}{2}s^{2}+l_{3}s^{3}+l_{4}s^{4}+u_{5}s^{5}s^{5}+}+}+\codots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

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안정되어 있다

Kharitonov의 결과에 대해 다소 놀라운 것은 비록 원칙적으로 우리가 안정성을 위해 무한한 수의 다항식들을 시험하고 있지만, 사실 우리는 단지 4개의 시험만 하면 된다는 것이다.루스-허비츠나 다른 방법을 쓰면 돼따라서 한 개의 일반적인 다항식을 시험하여 안정성을 시험할 때보다 간격 다항식의 안정성에 대해 알리는 데 4배 이상의 작업이 필요할 뿐이다.

하리토노프의 정리는 측정 오류로 인한 구성요소 거동의 불확실성에도 불구하고 잘 작동할 시스템 설계를 추구하는 강력한 제어 분야에서 유용하다.

참조

• V. L. Kharitonov, "미분방정식 계열의 평형 위치의 아섬프토틱 안정성", Differentialnye uravneniya, 14 (1978), 2086-2088. (러시아어)
• 교수님의 학술 홈 페이지V. L. Kharitonov