드 모건 대수

De Morgan algebra

수학에서 De Morgan 대수학(영국 수학자 겸 논리학자 아우구스투스 드 모건의 이름을 따서 명명)은 다음과 같은 구조 A = (A, ∨, ∨, 0, 1, ¬)이다.

드 모건 대수학에서 법칙은

꼭 잡고 있는 것은 아니다드 모건 법칙이 존재한다면 어느 법칙이든 다른 법칙을 내포하고, 이를 만족시키는 대수학은 부울대수가 된다.

비고: ¬(x ∨ y y) = ∧x ∧y, =1 = 0, =0 = 1(예: =1 = 11 ∨0 = 11 =0 = ¬1 =0 = ¬1 ¬) = =0 = ¬1 ¬1 =(1 = ¬0) = ¬0 = 00 = 0 follows follows)의 뒤에 있다.따라서 ¬은 (A, ∨, ∧, 0, 1)의 이중 자동형성이다.

만일 격자가 대신 순서에 따라 정의되는 경우, 즉 (A, ))는 모든 원소 쌍에 대해 최소 상한과 최대 하한을 갖는 경계 부분 순서로서, 그렇게 정의한 만남과 결합 작전이 분배 법칙을 충족한다면, 그 보완은 또한 비자발적인 반자극주의, 즉 구조로 정의될 수 있다.A = (A, ≤, ¬) 다음과 같은 경우:

  • (A, ≤)은 한정된 분배 격자이며,
  • ¬¬x = x, 그리고
  • x ≤ y → ¬y ≤x.

드 모건 알헤브라는 비록 0과 1의 제한은 없지만,[2] 1935년경에 그리고르 모이스일에[1][2] 의해 소개되었다.[3]그 후 폴란드 학교에서는 라시오와에 의해, 그리고 J. A. Kalman에 의해 분배 i-레이츠에 의해 다양하게 준부울 알헤브라로 불렸다.[2](i-lattice는 비자발적인 격자의 약자임)그들은 안토니오 몬테이로의 아르헨티나 대수 논리학 학교에서 더 연구되어 왔다.[1][2]

De Morgan Algebras는 퍼지 논리의 수학적 측면의 연구를 위해 중요하다.표준 퍼지 대수 F = ([0, 1], max(x, y), min(x, y), 0, 1, 1 - x)은 제외된 중간 및 비대조성의 법칙이 적용되지 않는 De Morgan 대수학의 예다.

또 다른 예로, 거짓 < 참도 거짓도 거짓도 참도 거짓도 참도 거짓도 참도 참도 거짓도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 참도 거짓도 비교도 안 된다는 던의 4가 논리다.[2]

클레인 대수

만약 De Morgan 대수학에서 x x x ≤x ¬ y additionallyy를 추가로 만족시킨다면, 클레인 대수학이라고 불린다.([1][3]이 개념은 정규 표현을 일반화하는 다른 클레인 대수학과는 혼동되어서는 안 된다.)이 개념은 칼만(Kalman)에 의해 정상적인 i-lattice라고도 불려왔다.

위에서 정의한 의미에서 클레네 알헤브라의 예로는 격자 순서가 지정된 집단, 포스트 알헤브라와 우카시위츠 알헤브라가 있다.[3]부울 알헤브라는 또한 enex definition x = 0을 만족하는 데 모건 대수가 그렇듯이 클레네 대수학의 정의를 충족한다.부울이 아닌 가장 단순한 클레인 대수로는 클린의 3가지 가치 논리 K3.[4] K.가3 클린의 서수 번호 표기법(1938년)에 처음으로 등장했다.[5]대수학은 브리그놀과 몬테이로에 의해 클레네의 이름을 따서 명명되었다.[6]

관련 개념

드 모건 알헤브라는 부울 알헤브라를 일반화하는 유일한 그럴듯한 방법이 아니다.또 다른 방법은 ¬x ∧ x = 0(즉, 비대조성의 법칙)은 유지하되, 배제된 중간 법칙과 이중 부정의 법칙은 삭제하는 것이다.이 접근법(세미콤플렉스라고 함)은 (미트) 반밀도에도 잘 정의되어 있는데, 만약 반밀도 집합이 가장 큰 요소를 가지고 있다면 대개 유사콤플렉스라고 한다.가성비가 제외된 중간의 법칙을 만족하면 결과 대수학도 부울이다.그러나 만약 약한 법칙 xx ¬xx = 1만 요구한다면, 이는 스톤 알제브라를 낳게 된다.[1]더 일반적으로, 드 모건과 스톤 알헤브라는 모두 오캄 알헤브라의 적절한 하위급이다.

참고 항목

참조

  1. ^ a b c d Blyth, T. S.; Varlet, J. C. (1994). Ockham algebras. Oxford University Press. pp. 4–5. ISBN 978-0-19-859938-8.
  2. ^ a b c d e Béziau, Jean-Yves (2012). "A History of Truth-Values". In Gabbay, Dov M.; Pelletier, Francis Jeffry; Woods, John (eds.). Logic: A History of its Central Concepts. North Holland (an imprint of Elsevier). pp. 280–281. ISBN 978-0-08-093170-8.
  3. ^ a b c Cignoli, Roberto (1975). "Injective de Morgan and Kleene Algebras" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 47 (2): 269–278. doi:10.1090/S0002-9939-1975-0357259-4. JSTOR 2039730.
  4. ^ Kaarli, Kalle; Pixley, Alden F. (21 July 2000). Polynomial Completeness in Algebraic Systems. CRC Press. pp. 297–. ISBN 978-1-58488-203-9.
  5. ^ Kleene, S. C. (1938). "On Notation for Ordinal Numbers". The Journal of Symbolic Logic. 3 (4): 150–155. doi:10.2307/2267778. JSTOR 2267778.
  6. ^ Brignole, D, 몬테 이루, A(1964년)."Caracterisation 데 algèbres 드 넬슨 파 282 타 데 egalités".Notas 드 Logica Matematica.Instituto 드 Matematica 멕시코(제공하는 바이아블랑카.. 20. 이 논문의(아마도 단축된)버전은 나중에 일본 아카데미 회보에 나타난 Brignole, 다이애나, 몬테 이루, 안토니오(1967년).일본 아카데미 시리즈 A, 수리 과학의"Caracterisation 데 algèbres 드 넬슨 par 데 egalités, 나는". 논문집. 43(4). doi:10.3792/pja/1195521624, Brignole, 다이애나, 몬테 이루, 안토니오(1967년).일본 아카데미 시리즈 A, 수리 과학의"Caracterisation 데 algèbres 드 넬슨 par 데 egalités, II". 논문집. 43(4). doi:10.3792/pja/1195521625.

추가 읽기

  • Balbes, Raymond; Dwinger, Philip (1975). "Chapter IX. De Morgan Algebras and Lukasiewicz Algebras". Distributive lattices. University of Missouri Press. ISBN 978-0-8262-0163-8.
  • Birkhoff, G. (1936). "Reviews: Moisil Gr. C.. Recherches sur l'algèbre de la logique. Annales scientifiques de l'Université de Jassy, vol. 22 (1936), pp. 1–118". The Journal of Symbolic Logic. 1 (2): 63. doi:10.2307/2268551. JSTOR 2268551.
  • Batyrshin, I.Z. (1990). "On fuzzinesstic measures of entropy on Kleene algebras". Fuzzy Sets and Systems. 34 (1): 47–60. doi:10.1016/0165-0114(90)90126-Q.
  • Kalman, J. A. (1958). "Lattices with involution" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 87 (2): 485–491. doi:10.1090/S0002-9947-1958-0095135-X. JSTOR 1993112.
  • Pagliani, Piero; Chakraborty, Mihir (2008). A Geometry of Approximation: Rough Set Theory: Logic, Algebra and Topology of Conceptual Patterns. Springer Science & Business Media. Part II. Chapter 6. Basic Logico-Algebraic Structures, pp. 193-210. ISBN 978-1-4020-8622-9.
  • Cattaneo, G.; Ciucci, D. (2009). "Lattices with Interior and Closure Operators and Abstract Approximation Spaces". Transactions on Rough Sets X. Lecture Notes in Computer Science 67–116. Vol. 5656. pp. 67–116. doi:10.1007/978-3-642-03281-3_3. ISBN 978-3-642-03280-6.
  • Gehrke, M.; Walker, C.; Walker, E. (2003). "Fuzzy Logics Arising From Strict De Morgan Systems". In Rodabaugh, S. E.; Klement, E. P. (eds.). Topological and Algebraic Structures in Fuzzy Sets: A Handbook of Recent Developments in the Mathematics of Fuzzy Sets. Springer. ISBN 978-1-4020-1515-1.
  • Dalla Chiara, Maria Luisa; Giuntini, Roberto; Greechie, Richard (2004). Reasoning in Quantum Theory: Sharp and Unsharp Quantum Logics. Springer. ISBN 978-1-4020-1978-4.