쿠메르 합

수학에서, Kummer sum은 primary modulus p에 대한 특정 세제곱 Gauss 합에 주어진 이름이고, p는 1 modulo 3이다.이들은 자신들의 주장의 통계적 특성에 대해 추측한 에른스트 쿠머의 이름을 복합적인 숫자로 명명했다.이러한 합은 사이클론에서 쿠메르 이전에 알려져 사용되기도 했다.

정의

따라서 금메르 합은 유한한 합이다.

${\displaystyle \sum \chi(r)e(r/p)=G(\chi )}$

r modulo p를 인수하며, 여기서 χ은 통일의 큐브 뿌리에서 값을 취하는 디리클레 문자, e(x)는 지수함수 exp(2πix)이다.필요한 양식의 p를 주어보면, 그런 두 개의 문자와 사소한 문자가 함께 있다.

다음과 같이 정의된 입방 지수 합 K(n,p)

${\displaystyle K(n,p)=\sum _{x=1}^{p}e(nx^{3}/p)}$

쿠메르 합계의 선형 결합으로 쉽게 볼 수 있다.실제로 P는 3P이며, 여기서 P는 곱셈에서 잔존물 mod p의 지수 3의 부분군에 대한 가우스 기간 중 하나이고, 가우스 합계는 단일성의 입방근을 계수로 하는 P의 선형 결합이다.그러나 그것은 대수적 특성이 가지고 있는 가우스 합이다.그러한 입방 지수 합은 현재 쿠메르 합이라고도 불린다.

통계질문

라는 것은 가우스 총론에서 알 수 있다.

${\displaystyle G(\chi ) ={\sqrt {p}.\,}$

사실 그것이 자연적으로 존재하는 사이클로토믹 분야에서 G(G)의 원시적인 분해는 알려져 있어 더 강한 형태를 준다.쿠머가 염려한 것은 논쟁이었다.

$\displaystyle \theta _{p}\,}$

G(제곱)가우스섬의 제곱이 알려져 있고 정확한 제곱근은 가우스에 의해 결정되었던 2차적 경우와 달리, 여기 G(χ)의 정육면체는 아이젠슈타인 정수에 놓여 있지만, 그 주장은 그 분야에서 갈라지는 아이젠슈타인 프라임 분할 p에 의해 결정된다.

쿠메르는 θ과_p 그 분포모듈로 2π(즉, 단위 서클에 있는 쿠메르 합에 대한 주장에 대해)에 대해 통계적 추측을 했다.그 말이 되려면 가능한 두 개의 χ 중에서 선택해야 한다. 즉, 입방 잔여물 기호에 기초하여 구별되는 선택이 있다.쿠머는 p 500까지 이용 가능한 수치 데이터를 사용했다(이것은 1892년 조지 B의 "숫자 이론"에 설명되어 있다). 매튜스.그러나 '소수의 법칙'이 작용했는데, 이는 균일한 분포가 결여된 쿠머의 원래 추측이 소수의 편견에 시달렸다는 것을 의미한다.1952년 존 폰 노이만과 헤르만 골드스틴은 ENIAC에서 쿠메르의 연산을 확장했다.^[1]

20세기에 마침내 100년 넘게 손대지 않은 이 문제에 대한 진전이 이루어졌다.1978년 구보타 토미오, S. J. 패터슨, 로저 히스 브라운의 작품을 바탕으로 한 것은 쿠메르 추측을 반증하고, 변형된 형태의 쿠메르 추측을 증명했다.^[2][3]사실 그들은 θ의_p 균등분배가 있다는 것을 보여주었다.이 작업에는 메타폴릭 집단을 위한 자동형식과 본의 분석수 이론 보조기가 포함되었다.

캐슬의 추측

쿠보타 토미오의 이전 사상을 바탕으로 한 J. W. S. Cassels에 의해 쿠메르 합계에 대한 두 번째 추측이 이루어졌다.이것은 아이젠슈타인 정수에 의한 복잡한 곱셈을 갖는 타원함수의 측면에서 제품 공식이었다.^[4]그 추측은 1978년 찰스 매튜스에 의해 증명되었다.^[5]

참조

• Bredikhin, B.M. (2001) [1994], "Kummer hypothesis", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press