양-오이스티드 소용돌이

유체 역학에서, Lamb-Oisened vortex는 점성으로 인해 소멸되는 선 vortex를 모델링한다.이 소용돌이는 호레이스 램과 칼 빌헬름 오아인의 이름을 따서 지어졌다.^[1][2]

수학적 설명

오인스는 나비에를 위한 해결책을 찾았다.–원통형$$ 좌표$({\displaystyle r,}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$z${\displaystyle }$) ${\displaystyle(r,\theta ,z)$ 및 속도$$ 구성 요소$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ v ${\displaystyle {\theta }_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$)$${\$displaystyle(v_{r_},v_{\theta }}) 형식의 스톡스$ 방정식

${\displaystyle v_{r}=0,\quad v_{\teta }={\frac {\\pi r}g(r,t),\quad v_{z}=0.}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은(는) 소용돌이 코어의 순환이다.Navier-Stokes 방정식을 다음으로 유도

${\displaystyle {\fract g}{\fract t}=\nu \left \frac\frac}{{2}g}-{\frac {1}{r}{\fract g}{\fract r}}\right)}}$

${\displaystyle \mathrm{r}}$= 0 ${\displaystyle r=0}$에서 규칙적인 조건을 적용하고$$ $r{\displaystyle }$ →${\displaystyle \mathrm{}\to }$ ${\displaystyle r\rightarrow \infty$ $\}$에 따라^[3] 단일화될 때

${\displaystyle g(r,t)=1-\mathrm {e}^{-r^{2}/4\nu t}}$

여기서 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$은(는) 유체의 키네마틱 점성이다.$t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0}$일$$때 $z{\displaystyle }${\$displaystyle z$}축에$$ vorticity가 집중된 잠재적 소용돌이가 있으며, 이 vorticity는 시간이 지날수록 분산된다.

0이 아닌 유일한 vorticity 구성 요소는 $다음$과 같이 z ${\displaystyle$ z$}$ 방향에$$ 있음

${\displaystyle \omega _{z}(r,t)={\frac {\Gamma }{4\pi \nu t}\mathrm {e}^{-r^{r^{2}/4\nu t}.}$

압력장은 단순히 소용돌이가 원주 방향으로 회전하도록 하고 구심력을 제공한다.

${\displaystyle {\displayp p \over \cHB r}=\rho {v^{2} \over r}}}$

여기서 ρ은 일정한 밀도다^[4].

일반화된 오이스티드 소용돌이

일반화된 오이스티드 소용돌이는 형태의 해결책을 찾음으로써 얻을 수 있다.

${\displaystyle v_{r}=-\gamma(t)r,\quad v_{\data }={\frac {\pi r}g(r,t),\quad v_{z}=2\gma(t)z}$

그게 방정식으로 이어지는 거야

${\displaystyle {\fract g}{\frac}-\property r}-\fract r{\frac}{\property r}=\nu \leftput\frac}{2}-{\frac{1}-{\frac {\fract g}}}}\rig\rig}오른쪽).}$

Self-similar solution exists for the coordinate ${\displaystyle \eta =r/\varphi (t)}$, provided ${\displaystyle \varphi \varphi '+\gamma \varphi ^{2}=a}$, where ${\displaystyle a}$ is a constant, in which case ${\displaystyle g=1-\mathrm {e} ^{-a\$$eta ^{2}/2\nu$ $\}\}.$$\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \varphi (t)}$에 대한 솔루션은 로트 (1958)에 따라 다음과 같이 작성할$$ 수 있다.^[5]

${\displaystyle \varphi ^{2}=2a\exp \left(-2\int _{0}^{t}\gamma (s)\,\mathrm {d} s\right)\int _{c}^{t}\exp \left(2\int _{0}^{u}\gamma (s)\,\mathrm {d} s\right)\,\mathrm {d} u,}$

$여기$서 c ${\displaystyle c}$은(는) 임의 상수입니다.$\gamma {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \gamma =0}$의 경우 고전적인 람-오인 소용돌이가 복구된다$.$사례 $\gamma {\displaystyle }$= ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma =k}$은(는) 축대칭 정체점 흐름에 해당하며$$ $여기$서 k ${\displaystyle k}$은 상수다.$c{\displaystyle }$= -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ c$=-\infit },$$\phi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle a}$/ k ${\displaystyle \varphi ^{2}=a/k$ 버거 소용돌이는 획득된 값이다.임의 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$의 경우$$용액은 β ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{a}}$(${\displaystyle }$1 + ${\displaystyle {}^{}}$e - ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ t${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle k}${\$displaystyle \varphi$^{$2}=a$(1$+\\beta \mathrm {e} ^{-2kt}/k$ 여기서 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystylease \beta$ \beta $}$은 임의$$ 상수가 된다.$t{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle t\\rightarrow \infit$ 버거 소용돌이가 복구된다.

참고 항목

• 랭킨 소용돌이와 카우프만(스컬리) 소용돌이는 점성 소용돌이에 대한 일반적인 단순화된 근사값이다.

참조