렌츠 알고리즘

Lentz's algorithm

수학에서 렌츠 알고리즘은 연속 분율을 평가하고 [1]구면 베셀 함수의 표를 계산하는 알고리즘이다.

역사

이 아이디어는 1973년 윌리엄 렌츠에[1] 의해 도입되었고 1982년 [2]그에 의해 단순화되었다.렌츠는 복잡한 인수의 구면 베셀 함수의 비율을 계산하는 것이 어려울 수 있다고 제안했다.그는 그것들을 계산하기 위한 새로운 연속 분수 기법을 개발했다.이 방법은 특정 용어의 오류를 제거하거나 결과적으로 0을 제공하므로 다른 방법에 비해 개선되었습니다.원래 알고리즘에서는 실행 중에 발생하는 분모가 0이 아닌 상태로 유지된다고 가정합니다.이 한계를 극복하기 위한 개선사항으로는 1981년 자스켈라이넨과 루스카넨이 제안한 재발 관계[3] 변경이나 1986년 [4]톰슨과 바넷이 제안한 아주 적은 수의 분모 이동 등이 있다.

초기 작업

이 이론은 렌츠가 미에 산란을 위해 필요한 베셀 함수의 비율을 계산했을 때 처음에 그의 다른 연구에 의해 동기 부여되었다.그는 알고리즘이 꼬리가 아니라 처음부터 시작하는 연속 분율을 평가하는 기술을 사용한다는 것을 증명했다.또한 연속 차수의 베셀 함수와 구면 베셀 함수의 비율에 대한 연속 분수 표현은 렌츠의 [5]알고리즘으로 계산할 수 있다.알고리즘은 - j - ({ 상대적으로 [6]작을 연속분수 평가를 종료할 수 있음을 시사했다.

알고리즘.

렌츠의 알고리즘은 월리스-울러 관계를 기반으로 합니다.한다면

또는 빅K 표기법을 사용하는 경우

n(n)은f(f)로 수렴됩니다.

서 A Wallis-Uler 반복 관계에 의해 지정됩니다.

Lenz의 방법은 다음을 정의합니다.

컨버전스는

반복 관계를 사용합니다.

nn의 증가에 따라 통합에 fn{f}_{이 f f[7])로 수렴되어 있을 입니다.

적용들

렌츠의 알고리즘은 20세기 후반에 널리 사용되었다.에러 전파에 대한 엄밀한 분석이 없는 것으로 나타났다.그러나 몇 가지 실증 테스트에 따르면 이 방법은 다른 방법만큼 우수합니다.예를 들어, 지수 적분 함수를 평가하기 위해 적용되었습니다.그 후, 이 애플리케이션은 수정 Rentz [8]알고리즘이라고 불렸습니다.또한 렌츠 알고리즘이 모든 계산에 적용되는 것은 아니며, 일부 연속된 분수에 대해서는 수렴이 매우 빠를 수 있습니다.[9]

레퍼런스

  1. ^ a b Lentz, W. J. (1973-09-01). "A Method of Computing Spherical Bessel Functions of Complex Argument with Tables". Fort Belvoir, VA. doi:10.21236/ad0767223. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)
  2. ^ J., Lentz, W. (August 1982). A Simplification of Lentz's Algorithm. Defense Technical Information Center. OCLC 227549426.
  3. ^ Jaaskelainen, T.; Ruuskanen, J. (1981-10-01). "Note on Lentz's algorithm". Applied Optics. 20 (19): 3289–3290. Bibcode:1981ApOpt..20.3289J. doi:10.1364/ao.20.003289. ISSN 0003-6935. PMID 20333144.
  4. ^ Thompson, I.J.; Barnett, A.R. (1986). "Coulomb and Bessel functions of complex arguments and order". Journal of Computational Physics. 64 (2): 490–509. Bibcode:1986JCoPh..64..490T. doi:10.1016/0021-9991(86)90046-x. ISSN 0021-9991.
  5. ^ Lentz, William J. (1976-03-01). "Generating Bessel functions in Mie scattering calculations using continued fractions". Applied Optics. 15 (3): 668–671. Bibcode:1976ApOpt..15..668L. doi:10.1364/ao.15.000668. ISSN 0003-6935. PMID 20165036.
  6. ^ Masmoudi, Atef; Bouhlel, Med Salim; Puech, William (March 2012). "Image encryption using chaotic standard map and engle continued fractions map". 2012 6th International Conference on Sciences of Electronics, Technologies of Information and Telecommunications (SETIT). IEEE: 474–480. doi:10.1109/setit.2012.6481959. ISBN 978-1-4673-1658-3. S2CID 15380706.
  7. ^ Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B. P. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). Cambridge University Press. pp. 207–208.
  8. ^ Press, William H.; Teukolsky, Saul A. (1988). "Evaluating Continued Fractions and Computing Exponential Integrals". Computers in Physics. 2 (5): 88. Bibcode:1988ComPh...2...88P. doi:10.1063/1.4822777. ISSN 0894-1866.
  9. ^ Wand, Matt P.; Ormerod, John T. (2012-09-18). "Continued fraction enhancement of Bayesian computing". Stat. 1 (1): 31–41. doi:10.1002/sta4.4. ISSN 2049-1573. S2CID 119636237.