바이즈만 컨버전스

위즈만 컨버전스는 한이 없는 세트로 작업에 적합한 하우스도르프 컨버전스의 변형이다.직관적으로, 위즈만 수렴은 Hausdorff 측정지표의 수렴과 같다. 포인트와이즈의 수렴은 균일한 수렴과 같다.

역사

그 융합은 로버트 비즈먼에 의해 정의되었다.^[1]같은 정의가 일찍이 즈데닉 프롤릭에 의해 사용되었다.^[2]그러나 이전에 하우스도르프는 그의 저서인 Grundzüge der Mengenlehre에서 폐쇄한 한계라고 정의했다. 적절한 측정 공간은 비즈만 수렴과 같다.

(X, d) 메트릭 공간이 되고 Cl(X)이 X의 모든 d 닫힌 하위 집합의 컬렉션을 나타내도록 한다.점 x ∈ X 및 세트 A cl Cl(X)에 대해 설정

d(x,A)=\inf _{a\inf _{a\in a}d(x,a).

A_i ∈ Cl(X) 세트의 순서(또는 그물)는 각 x ∈ X에 대해 A ∈ Cl(X)에 수렴하는 바이즈만이라고 한다.

d(x,A_{i})\to d(x,A).

위즈만 수렴은 위즈만 위상이라고 알려진 Cl(X)에 위상을 유도한다.

위즈만 위상은 미터법 d에 매우 강하게 의존한다.두 지표가 균일하게 동등하더라도 서로 다른 위상들을 생성할 수 있다.
맥주의 정리: (X, d)가 완전하고 분리 가능한 메트릭스 공간이라면, 위즈만 위상이 있는 Cl(X)은 폴란드 공간, 즉 완전한 메트릭스(metric)로 분리가 가능하고 메트리징이 가능하다.
위즈만 위상이 있는 Cl(X)은 언제나 타이코노프 공간이다.더욱이 한 사람은 레비 레치키 정리(X, d)를 가지고 있다: (X, d)는 Cl(X)이 메트리저블(metrizable), 1번 카운트(first countable). 또는 2번 카운트(secountable)일 경우에만 분리가 가능하다.
만약 위즈만 수렴의 점적 정합화가 균일한 수렴(x의 균일화)으로 대체된다면, 하우스도르프 수렴을 얻는데, 여기서 하우스도르프 측정기준은 다음과 같이 주어진다.

d_{\mathrm {H}}}(A,B)=\supp_{x\in X}{\big }d(x,A)-d(x,B){\big }}

Cl(X)의 Hausdorff와 Wijsman 토폴로지는 (X, d)가 완전히 경계된 공간인 경우에만 일치한다.

^ Wijsman, Robert A. (1966). "Convergence of sequences of convex sets, cones and functions. II". Trans. Amer. Math. Soc. American Mathematical Society. 123 (1): 32–45. doi:10.2307/1994611. JSTOR 1994611. 미스터0196599
^ Z. Frolik, 집합의 위상학 융합에 관하여, 체코스코바크 수학. J. 10 (1960), 168–180

Beer, Gerald (1993). Topologies on closed and closed convex sets. Mathematics and its Applications 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. xii+340. ISBN 0-7923-2531-1. 미스터1269778
Beer, Gerald (1994). "Wijsman convergence: a survey". Set-Valued Anal. 2 (1–2): 77–94. doi:10.1007/BF01027094. 미스터1285822