네트(수학)

수학에서, 좀 더 구체적으로 일반 위상과 관련 분기에서, 그물 또는 무어-스미스 수열은 수열의 개념을 일반화한 것이다.본질적으로 수열은 자연수가 되는 영역을 가진 함수다.이 함수의 코도메인은 보통 위상학적 공간이다.

시퀀스 개념을 일반화하는 동기는 위상적 맥락에서 시퀀스가 위상학적 공간 사이의 기능에 대한 모든 정보를 완전히 인코딩하지 않기 때문이다.특히 다음 두 조건은 일반적으로 위상학적 공간 X와 Y 사이의 지도 f에 대해 동등하지 않다.

1. 지도 f는 위상학적으로 연속적이다.
2. X의 어떤 점 X와 X의 어떤 시퀀스가 x에 수렴하면, 이 시퀀스를 가진 f의 구성은 f(x)로 수렴된다(순차적 의미에서는 연속적).

조건 1이 조건 2를 암시하는 것은 반드시 사실이지만 위상학적 공간이 둘 다 먼저 계산할 수 없는 경우에는 역 함축이 반드시 사실인 것은 아니다.특히 이 두 조건은 미터법 공간과 동일하다.

1922년 E. H. Moore와 Herman L. Smith에 의해 처음 도입된 망의 개념은 위의 조건(조건 2에서 "순서"가 "순서"로 대체됨)이 사실 위상적 공간의 모든 지도에 동등하도록 시퀀스 개념을 일반화하는 것이다.^[1]특히, 셀 수 있는 선형 순서의 집합에서 정의되는 것이 아니라, 임의의 지시 집합에서 그물을 정의한다.이것은 위의 조건 1과 2가 반드시 점 주위에 카운트 가능하거나 선형적으로 정렬된 인접성 근거를 가지고 있지 않은 위상학적 공간의 맥락에서 보유하는 것과 동등하다는 주장과 유사한 이론들을 허용한다.따라서, 위상학적 공간 사이의 기능에 대한 충분한 정보를 시퀀스가 인코딩하지 않는 반면, 그물은 위상학적 공간에 있는 열린 집합의 집합은 행동에서 지시된 집합과 매우 유사하기 때문에 인코딩은 위상학적 공간 사이의 함수에 대한 충분한 정보를 인코딩하지 않는다.그물이라는 용어는 존 L. 켈리에 의해 만들어졌다.^[2][3]

그물은 미터법 공간의 맥락에서만 충분히 일반적일 수 있는 특정 개념을 일반화하기 위해 위상에 사용되는 많은 도구들 중 하나이다.필터와 관련된 개념은 1937년 앙리 카르탄에 의해 개발되었다.

정의들

도메인이 지시된 집합인 함수를 네트라고 하는데, 여기서 이 함수가 어떤 집합 $X$에서 값을 가져간다면$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$에서도 네트라고 할 수 있다$.$ 망 도메인의 요소를 인덱스라고 한다.명시적으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 그물은 ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle A}$→ X ${\displaystyle f:$$A\to X}$ 여기서$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) 지시된 집합이다.지시된 세트는 사전 주문과 함께$$ 비어 있지 않은 $세트{\displaystyle }$ A ${\displaystyle$A}이며, 일반적으로 ${\displaystyle \{}${\$displaystyle$\,\$leq$\}($$다른 표시가 없는 경우)에 의해 지시된 속성과 함께 (위로) 지시된 것으로 간주되며, 이는 $모든{\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$, ${\displaystystystylease a, 일부분$이 있음을$$ 의미한다.${\displaystyle c\in A}$ such that ${\displaystyle a\leq c}$ and ${\displaystyle b\leq c.}$ In words, this property means that given any two elements (of ${\displaystyle A}$), there is always some element that is "above" both of them (i.e. that is greater than or equal to each of them); in this way, directed는 수학적으로 엄격한 방법으로 "방향"의 개념을 일반화한다.$자연수{\displaystyle \mathbb{}}$N {\$displaystyle \mathb${N$}$과(와) 일반적인 정수 비교$\$ {\$displaystyle$\,\$leq \,}$과(와$$$$) 함께 지시된 집합의 전형적인 예가 된다.$실제로{\displaystyle }$ X ${\$$displaystyle$ $X}$의 순서는 $정의상{\displaystyle \mathbb{}}$ N${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2,${\displaystyle }$… ${\displaystyle \mathb {N} =\1,2,\$$ldots$ $\}$의 함수일$$ 뿐이므로 자연수가 되는 순서는 순서가 된다$.$ 이러한$$ 방식으로 그물은 순서의 일반화다.그러나 중요한 것은, 자연적인 숫자와는 달리 방향 집합이 총 주문 또는 부분 주문일 필요는 없다는 점이다.게다가이면 세트 큰 요소 및/또는 때 그물을 사용할 때 이 유도 엄격한 preorder를 사용하여 왜, 주의를 주도록 권고된 이유 최대 요소를 갖게 되고, 특히{\displaystyle \,<, \,}원본(non-strict)preorder ≤{\displaystyle \,\leq}대신에, 만약 연출한 세트(, 허용된다.≤)${\displaystyle (A,\leq )}$ has a greatest element ${\displaystyle a\in A}$ then there does not exist any ${\displaystyle b\in A}$ such that ${\displaystyle a<b}$ (in contrast, there always exists some ${\displaystyle b\in A}$ such that ${\displaystyle a\leq b}$).

그물은 종종 시퀀스와 함께 사용된 것과 유사한 (그리고 영감을 받은) 표기법을 사용하여 표시된다.A net in ${\displaystyle X}$ may be denoted by ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A},}$ where unless there is reason to think otherwise, it should automatically be assumed that the set ${\displaystyle A}$ is directed and that its associated preorder is denoted by ${\displaystyle \,\l$$eq .}$ 그러나$$ 그물에 대한 표기법은 일부 저자에 따라 달라지는데, 예를 들어, 각이 있는 괄호 ${\displaystyle {\mathrm{brackets}}_{}}{\displaystyle {a_{}}_{}}$ a${\displaystyle {}_{}}$∈ a ∈ a $∈$ \ \ $\left\langle x_{a}\rigle _{a\in A}$을 괄호대 대신$$ 사용한다.A net in ${\displaystyle X}$ may also be written as ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A},}$ which expresses the fact that this net ${\displaystyle x_{\bullet }}$ is a function ${\displaystyle x_{\bullet }:$일반적으로 함수와 함께 사용되는 일반적인$$ 괄호 $표기법{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {\bullet }_{}}$($$) {\$displaystyle x_{\bullet }(a)$ 대신 해당$$ ${\displaystyle {영역}_{}}$의 요소$$ a ${\displaystyle a}$에서 $값$이 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\$로 표시되는$$ $A\to X}$대수적 위상 분야에서와 같이, 채워진 디스크나 "bullet"은 네트에 대한 인수($즉{\displaystyle }$, 네트의 도메인에서$$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in$ A$})$가 배치되는 위치를 나타낸다. 이는 네트가 함수라는 것을 강조하는데 도움이 되며, 또한 그것을 늦게 언급할 때 작성되어야 하는 인덱스 및 기타 기호의 수를 감소시킨다.r

그물은 주로 분석과 토폴로지의 분야에서 사용되는데, 분석과 토폴로지의 분야에서는 (일반적으로) 시퀀스들이 특성화할 수 없는 많은 중요한 위상적 특성들을 특성화하는 데 사용된다(이러한 시퀀스의 단점은 순차적 공간과 프리셰트-우린 공간의 연구에 동기를 부여했다).그물은 위상에서도 자주 사용되는 필터와 밀접하게 관련되어 있다.모든 네트는 필터와 연결될 수 있으며 모든 필터는 이러한 연결된 객체의 속성이 서로 밀접하게 연결되어 있는 네트와 연결될 수 있다(자세한 내용은 위상에서의 필터에 대한 기사 참조).네트는 직접 시퀀스를 일반화하며 시퀀스와 매우 유사하게 사용될 수 있다.결과적으로, 그물망 사용에 대한 학습 곡선은 일반적으로 필터에 비해 훨씬 덜 가파르므로, 많은 수학자들, 특히 분석가들이 필터보다 더 선호한다.그러나 필터, 특히 초박막 필터는 궁극적으로 분석 및 토폴로지 영역 밖의 필터보다 훨씬 적은 수의 네트와 마주치는 결과를 초래하는 네트에 비해 중요한 기술적 이점을 가지고 있다.

서브넷은 단순히 $네트워크{\displaystyle }$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) A${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle$ A$;}$의 지시된 하위 집합으로$$ 제한한 것이 아니다. 정의는 링크된 페이지를$$ 참조하십시오.

그물 예

비어 있지 않은 모든 주문 세트가 지시된다.따라서 그러한 집합의 모든 기능은 망이다.특히 평소의 순서가 있는 자연수는 그런 집합체를 이루고, 순서는 자연수에 대한 함수이므로 모든 순서는 그물망이다.

또 다른 중요한 예는 다음과 같다.위상학적 공간에$$ 점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 지정되면 N ${\displaystyle x_{}}$ ${\$은(는) $x{\displaystyle }$. ${\displaystyle x.}$을(를) 포함하는 모든 인접 영역의 집합을 나타내도록$$ 하십시오.$$ Then ${\displaystyle N_{x}}$ is a directed set, where the direction is given by reverse inclusion, so that ${\displaystyle S\geq T}$ if and only if ${\displaystyle S}$ is contained in ${\displaystyle T.}$ For ${\displaystyle S\in N_{x},}$ let ${\displaystyle x_{S}}$ be$S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle S.}$의 한 지점$$. 그러면${\displaystyle }$( ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\$이(가) 그물이다.$S{\displaystyle }$${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ S}이$($가$)$q , ${\displaystyle$ \,\geq ,}에 대해 증가함에$$ 따라, 네트에 있는$$ $x$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\\$ $x_$${S$$}$은${\displaystyle (}$는$)$ x , {\$displaystyty$ x, ${\}$의 인접성을 감소시킬 수 밖에 없기 때문에$$ 직관적으로 $우리$는 x ${\$을 지향해야 한다는$$ 생각을 하게 된다.${\displaystyle \mathrm{어떤}}$ 의미에서는$$ x$[\displaystyle x]$우리는 이 제한적인 개념을 정확하게 만들 수 있다.

시퀀스의 서브넷이 반드시 시퀀스인 것은 아니다.^[4]For an example, let ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ and let ${\displaystyle x_{i}=0}$ for every ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$ so that ${\displaystyle x_{\bullet }=(0)_{i\in \mathbb {N} }:\mathbb {N} \to X}$ is the constant zero sequence.Let ${\displaystyle I=\{r\in \mathbb {R} :r>0\}}$ be directed by the usual order ${\displaystyle \,\leq \,}$ and let ${\displaystyle s_{r}=0}$ for each ${\displaystyle r\in R.}$ Define ${\displaystyle \varphi :$$\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \lceil }$ r${\displaystyle }$⌉ ${\displaystyle \varphi(r)=\lceil$ r$\rceil }}$을(를$)$의 천장이 되도록$$ 하여$$ $I\to$\mathb ${N$${\displaystyle \}\}.}$ ${\displaystyle 지도\mathbb{}}\phi {\displaystyle }$ : ${\displaystyle I}$ → N →$displaystyle$$\varphi$ :$I\to \mathbb {N} }$ is an order morphism whose image is cofinal in its codomain and ${\displaystyle \left(x_{\bullet }\circ \varphi \right)(r)=x_{\varphi (r)}=0=s_{r}}$ holds for every ${\displaystyle r\in R.}$ This shows that ${\$$displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in R}=x_{\bullet }\circ \varphi }$ is a subnet of the sequence ${\displaystyle x_{\bullet }}$ (where this subnet is not a subsequence of ${\displaystyle x_{\bullet }}$ because it is not even a sequence since its domain is an uncountable set).

그물의 한계

If ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ is a net from a directed set ${\displaystyle A}$ into ${\displaystyle X,}$ and if ${\displaystyle S}$ is a subset of ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle x_{\bullet }}$ is said to be eventually in ${\displaystyle S}$ (or residually in ${\displaystyle S}$) if there exists some ${\displaystyle a\in A}$ such that for every ${\displaystyle b\in A}$ with ${\displaystyle b\geq a,}$ the point ${\displaystyle x_{b}\in S.}$ A point ${\displaystyle x\in X}$ is c$X$ ${\displaystyle X}$에서 net $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$ ${\$의 한계점 또는 한계점(및 해당) 포함

$열려{\displaystyle }$ 있는 $모든{\displaystyle }$ 이웃 U {\$displaystyle$ x$$}, ${\displaystyle$ x,}에 대해$$$net{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {\bullet }_{}}$ ${\$은(는) 결국 $U{\displaystyle }$,$${\$displaystystyle$ U$,}$에 있게$$ 된다.

이 경우, 이 네트는 $x{\displaystyle }${\$displaystyle x$}에 수렴/축소하고$$x {\$displaystyle$ x}을$($를) 한계로 갖는다고도 한다.

직관적으로 이 네트의 정합성은 $값{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ a$${\$displaystyle x_{a$$}$가 충분히 $큰{\displaystyle }$.$$${\$$displaystyle a.}$에 대해 $원하는{\displaystyle }$ 만큼 가깝게 유지됨을 의미한다.$$ 점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 근린 시스템에 대해 위에서 제시한 예제는 실제로 이 정의에 $따라$ x ${\displaystyle$ x$}$에 수렴된다$$.

표기법

순 $x{\displaystyle {}_{}}$ $∙{\$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에서 포인트 ${\displaystyle x}${ X ${\displaystyle x\in$ X$}$로 수렴되는$$$$ 경우$$, 이 사실은 다음 중 하나를 써서 나타낼 수 있다.

${\displaystyle{\begin{alignedat}{4}&, x_{\bullet}&,&\to\;&,&x&,&\와 같이^;{\text{에}}X\\&, x_{를}&,&\to\;&,&x&,&\와 같이^;{\text{에}}X\\\lim _{}\,&x_{\bullet}&,&\to\;&,&x&,&\와 같이^;{\text{에}}X\\\lim _{Aa\in}\,&x_{를}&,&\to\;&,&x&,&\와 같이^;{\text{에}}X\\\lim다.{}{}_{를}\,&x_{를}&,&\to\;&,&x&,&\와 같이^;{\text{에}}X\\\end{alignedat}}}$

위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 컨텍스트에서 명확할$$ 경우 "$X{\displaystyle }${\$displaystyle$ X$\}"$라는 문구가 생략될 수 있다.

If ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ in ${\displaystyle X}$ and if this limit in ${\displaystyle X}$ is unique (uniqueness in ${\displaystyle X}$ means that if ${\displaystyle y\in X}$ is such that ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to y,}$ then ne$즉{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}${\$displaystyle x=y$ 그러면 이 사실을 글로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \underset{}{im}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}{}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lim _{}x_$${\$$bullet }=x}$ 또는$$ ${\displaystyle {im}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}{}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lim$ \{$a}$$x_{a}=$$x}$ 또는$$${\displaystyle \underset{}{\mathrm{im}}}$ ${\displaystyle \underset{}{a}}$ = ${\displaystyle x}$ = x ${\displaystystylem$\in $\im_{a_{a}=x}$

여기서 화살표 대신 동등의 기호가 사용된다${\displaystyle }$→ .${\displaystyle }$. . ${\displaystyle \to.}$ 하우스도르프 공간에서는^[5] 모든 네트에 최대 한 개의 한계가 있으므로 하우스도르프 공간에서 수렴 그물의 한계는 항상 고유하다.^[5]일부 저자는 대신 "${\displaystyle \mathrm{im}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}{}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$= x ${\$$displaystyle$ $\lim _{}$${\displaystyle \mathrm{x\_}}$${\bullet }=x$라는 표기법을 사용하여 제한도 고유할 필요 없이$$ ${\displaystyle \underset{}{im}{}_{}}$ x ${\displaystyle {\bullet }_{}}$→ x ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$를 의미하지만, 이 표기법이 정의되면 동일한${\displaystyle }$부호가$$더 이상 구가 아니다$$$.$타동적인 관계를 의미하기 때문에 더 이상 평등을 의미하지 않는다.Specifically, without the uniqueness requirement, if ${\displaystyle x,y\in X}$ are distinct and if each is also a limit of ${\displaystyle x_{\bullet }}$ in ${\displaystyle X}$ then ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }=x}$ and ${\displaystyle \lim _{}x_{\bull$$et }=y}$은(는) ${\displaystyle x}$= y ${\displaystyle x=y}$이(가) 거짓임에도 불구하고 쓸 수 있다(동등$$ 기호 =${\displaystyle$ $=\}).$

베이스 및 서브베이스

Given a subbase ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ for the topology on ${\displaystyle X}$ (where note that every base for a topology is also a subbase) and given a point ${\displaystyle x\in X,}$ a net ${\displaystyle x_{\bullet }}$ in ${\displaystyle X}$ converges to ${\displaystyle x}$$$ 만약 그리고 그것이 결국 모든 ${\displaystyle 이웃\mathcal{}}$ $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ B ${\$의 x${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$.}$에 있는 경우에만.$$ 이러한 특성은 지정된 점 $x{\displaystyle }$. ${\displaystyle x.}$의 근린 하위 영역(및 근린 기반)까지 확장된다.

미터법 공간의 수렴

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle d}$) ${\d$ 디스플레이 스타일$(X,d)}$이(가) 메트릭 공간(또는 유사 공간)이고$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 메트릭 토폴로지와 함께 부여된다고$$ 가정하십시오.If ${\displaystyle x\in X}$ is a point and ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{a\in A}}$ is a net, then ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ in ${\displaystyle (X,d)}$ if and only if ${\displaystyle d\left(x,x_{\bullet$$}\\right)\to 0$$($$R$), ${\$displaystyle \$mathb {R},}$ $여기$서 d$x$,${\displaystyle {}_{}}$x$∙$ ) ${\displaystyle d_{}}$ ( x${\displaystyle {,}_{}}$) A$(x$,x_${\bullet$$=\좌(d\좌)(x,x_{a}\우)\우)_{a\in$ A$}}$은(는) 실수의 그물이다.평이한 영어에서, 이 특성화는 네트와 포인트 사이의 거리가 0으로 수렴되는 경우에만 그물이 미터 공간의 한 점으로 수렴된다고 말한다.If ${\displaystyle (X,\ \cdot \ )}$ is a normed space (or a seminormed space) then ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ in ${\displaystyle (X,\ \cdot \ )}$ if and only if ${\displaystyle \left\ x-x_{\bullet }\right\ \to 0}$ in ${\displaystyle \mathbb$${R} ,}$ 여기서$$ $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}=}$ :=${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {-}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ - ${\displaystyle {x_{}}_{}}$ a${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ) ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$.${\displaystyle {}_{}}$∈. \. \. $\\\\displaystyle$\\ \$reft\ x-x_{a$}\right$\=\\\좌(\\좌측\x_{a}\우측)_{a\$in A$}.$$}$

위상학적 하위 영역의 수렴

If the set ${\displaystyle S:=\{x\}\cup \left\{x_{a}:a\in A\right\}}$ is endowed with the subspace topology induced on it by ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ in ${\displaystyle X}$ if and only if ${\di$$splaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ in ${\displaystyle S.}$ In this way, the question of whether or not the net ${\displaystyle x_{\bullet }}$ converges to the given point ${\displaystyle x}$ is depends solely on this topological subspace ${\displaystyle S}$ consisting of ${\displaystyle x}$ and t그는 그물 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$ .${\displaystyle x_{\displaystyle }}$의 이미지

데카르트 제품의 한계

제품 공간의 그물에는 각 투영에 한계가 있는 경우에만 한계가 있다.

상징적으로, 카르테시안 제품이

공간$({\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ $\\$ I$}$은(는) 제품 토폴로지를 부여하며$$, 모든 인덱스 ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle$ i$\in I}$에 대해 X ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 대한 표준$$ 투영사법을 다음과 같이 나타낸다$$.

${\$$X=\prod _{j\in I}X_{j}\to X_{i}}$에 의해 정의되고 ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {x_{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \left(x_{j}\right)_{j\in$ I$}\mapsto x_{i}$에 의해 정의된다.$}$

Let ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$ be a net in ${\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}$ directed by ${\displaystyle A}$ and for every index ${\displaystyle i\in I,}$ let

"$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$ ${\$을(를) $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ ${\displaystyle \_}$${i}"$에 플러그를 꽂으면 net $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$)${\displaystyle }$: A${\displaystyle }$→ X ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaysty \pi _{i}\(f_{\bullet }}}\$bullet }\$rif)\$riglut)\$rig$)가 된다.$A\to X_{i}.$$}}$ 기능 구성의 관점에서 이 정의를 생각해 보는 것이$$ 유용할 때도 있다: 순 ${\displaystyle {\pi }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$) ${\$는 순$$ $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$ :${\displaystyle {}_{}A}$ →${\displaystyle }$X ${\displaystyle f_{\bullet }:$투영 ${\displaystyle {\pi }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 있는$$ $A\to$ X$}$$X\to X_{i}$; 즉, $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \bullet {}_{}}$ ${\displaystyle f{}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$. ${\displaystyle \pi _{i}\좌(f_{\bullet }\right):$$=\pi _{i}\,\reason \,f_{\reason }$

$L{\displaystyle }$=${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {L_{}}_{}}$ I${\displaystyle {{}_{}}_{}}$) ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle L=\좌측($L_{$i}\우측)_{i\in$ I$}\in$ X,}이$($가) 지정된 경우$$

${\displaystyle f_{\bullet }\to L}$ in ${\displaystyle X=\prod _{i}X_{i}}$ if and only if for every ${\displaystyle \;i\in I,}$ ${\displaystyle \;\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):$$=\좌(\pi _{i}\좌(f_{a}\우)\우)_{a\in A}\;\to \\pi _{i}(L)=$${\displaystyle X{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$의 $L_$${\displaystyle {}_{}}$$i}\;}$ ${\displaystyle \;X_{i}.$$}$

타이코노프의 정리 및 선택공리와의 관계

If no ${\displaystyle L\in X}$ is given but for every ${\displaystyle i\in I,}$ there exists some ${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$ such that ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\to L_{i}}$ in ${\displaystyle X_{i}}$ then the tuple defined by ${\displaystyle L:=\left(L_{i}\right)_{i\in I}}$ will be a limit of ${\displaystyle f_{\bullet }}$ in ${\displaystyle X.}$ However, the axiom of choice might be need to be assumed in order to conclude that this tuple ${\displaystyle L}$ exists; the axiom of choice is not needed in some situations, such as when ${\displaystyle I}$ is finite or when every ${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$ is the unique limit of the net ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ (because then there is nothing to choose between), which happens for example, when every ${\displaystyle }$${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 하우스도르프 공간이다.$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$이(가) 무한하고$$ $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ j ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{I}}$ ${\displaystyle X_{}}$ j ${\$이(가) 비어 있지 않다면$$, 투영 ${\displaystyle {projections}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle i}$ ${\$i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}: {i}}}}: {$i}:$ {i}}}: {i}}}}}}}}}}}}:$X\to X_{i}}$은(는) 굴절적 지도다.

선택의 공리는 어떤 콤팩트한 위상학적 공간의 집합도 콤팩트하다고 하는 타이코노프의 정리와 동등하다.그러나 모든 콤팩트한 공간도 하우스도르프라면, 그 대신 소위 "콤팩트한 하우스도르프 공간을 위한 타이초노프의 정리"가 사용될 수 있는데, 이것은 초필터 보조기(the filter lema)에 해당하고 선택의 공리보다 매우 약하다.네트는 모든 네트가 융합 서브넷을 가질 경우에만 공간이 콤팩트하다는 사실과 함께 위에서 주어진 그물 수렴의 특성화를 이용하여 타이코노프의 정리 양 버전의 짧은 증명서를 주는 데 사용될 수 있다.

망의 군집점

A net ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ in ${\displaystyle X}$ is said to be frequently in or cofinally in a given subset ${\displaystyle S}$ if for every ${\displaystyle a\in A}$ there exists some ${\displaystyle b\in A}$ such that ${\displaystyle b\ge a}$${\displaystyle b\geq a}$ and ${\displaystyle x_{b}\in S.}$^[4] A point ${\displaystyle x\in X}$ is said to be an accumulation point or cluster point of a net if for every neighborhood ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle x,}$ the net is frequently in ${\displaystyle U.}$^[4]

주어진 그물의 포인트=∈ X{\displaystyle Xx\in}은 쌓인 점 만일는 x에 전진 하위 집합을 가지고 있다.{\displaystyle인데}[4]만약 x ∙)클러스터 지점 그 다음에 집합 X{X\displaystyle}에서 ∈{\displaystyle x_{\bullet}(x_{}\right)_{Aa\in}}은 그물())만약 x ∙${\displaystyle {}_{}}$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle x_{\bullet }}$은^[4](는)

where ${\displaystyle x_{\geq a}:=\left\{x_{b}:b\geq a,b\in A\right\}}$ for each ${\displaystyle a\in A.}$ If ${\displaystyle x\in X}$ is a cluster point of some subnet of ${\displaystyle x_{\bullet }}$ then ${\displaystyle x}$ is also a cluster poi$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$의 nt${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{\nt$.}

울트라넷

A net ${\displaystyle x_{\bullet }}$ in set ${\displaystyle X}$ is called a universal net or an ultranet if for every subset ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ is eventually in ${\displaystyle S}$ or ${\displaystyle x_{\bullet }}$ is eventually in the 보완 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle X\setminus$ S$.}$

모든 상수 그물은 울트라넷이다.울트라넷의 모든 서브넷은 울트라넷이고 모든 네트는 울트라넷인 서브넷을 가지고 있다.^[4]If ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ is an ultranet in ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle f:X\to Y}$ is a function then ${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$$Y{\displaystyle }$ . {\$displaystyle Y.}$ 울트라넷은^[4] 울트라필터와 밀접한 관련이 있다.

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle$ x$\in X$에 지정된 경우, x ${\displaystyle x}$에 울트라넷 클러스터$($$만$ x${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$.})$가 있는 경우$$

네트의 한계 예

• 시퀀스의 한계 및 함수의 한계: 아래를 참조하십시오.
• 리만 적분 정의에서 리만 합계의 그물 한계.이 예에서 지시된 집합은 통합 간격의 파티션 집합이며, 부분적으로 포함에 의해 정렬된다.

예

위상학적 공간의 순서

${\displaystyle {위상학적\mathrm{}}_{}}$ 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 1, ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle$ a_{$1},a_{2},\ldots }$ 시퀀스는 $N{\displaystyle \mathbb{}}$ .${\displaystyle \mathb {N}$에 정의된$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystystyle X}$에서 그물로 간주할$$ 수 있다$.$

The net is eventually in a subset ${\displaystyle S}$ of ${\displaystyle X}$ if there exists an ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ such that for every integer ${\displaystyle n\geq N,}$ the point ${\displaystyle a_{n}}$ is in ${\displaystyle S.}$

따라서 $lim{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$→ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \lim {}_{n}a_{n$}\n$}\to$ L$}$의 모든 $인접{\displaystyle }$ V$${\$displaystyle$V}에$$ 대해, 그리고 L${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle L}$이($가{\displaystyle }$) 결국 V . {\$displaystystystyle$ V$.}$에 네트가 되는 경우에만$$ 해당된다.

The net is frequently in a subset ${\displaystyle S}$ of ${\displaystyle X}$ if and only if for every ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ there exists some integer ${\displaystyle n\geq N}$ such that ${\displaystyle a_{n}\in S,}$ that is, if and only if infinitely many elements of the sequence는 $S{\displaystyle }$. ${\displaystyle S}$에 있으므로$$ y ${\displaystyle y}$의 모든 인접 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 시퀀스의 무한히 많은 요소를 포함하는$$ 경우에만 지점 y ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in$ X$}$이(가)의$$ 클러스터 포인트다.

메트릭 공간에서 위상학적 공간으로 기능

Consider a function from a metric space ${\displaystyle M}$ to a topological space ${\displaystyle X,}$ and a point ${\displaystyle c\in M.}$ We direct the set ${\displaystyle M\setminus \{c\}}$reversely according to distance from ${\displaystyle c,}$ that is, the relation is "has at least t$그$는 c$${\$displaystyle c}$과의 거리가 ""와$$ 같으므로 관계와 관련하여 "충분히 커"는 "$c{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ c$}"$를 의미한다.$$$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 함수는 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }${${\displaystyle c}$}${\displaystyle }$. ${\displaystyle M\setminus \{c\}$에 정의된$$ X ${\displaystyle$ X$}$의 그물이다$$.$}$

The net ${\displaystyle f}$ is eventually in a subset ${\displaystyle S}$ of ${\displaystyle X}$ if there exists some ${\displaystyle y\in M\setminus \{x\}}$ such that for every ${\displaystyle x\in M\setminus \{c\}}$ with ${\displaystyle d(x,c)\leq d(y,c$$)}:$ $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$이(가) $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ S$.}$에 있음$$

$따라서{\displaystyle }$ ${\displaystyle \underset{}{l}}$ ,${\displaystyle$ $L$$,}$$f,$ {\$displaystyle$ $f$$}$의$$$모든$ 이웃 V {\$displaystyle$ $V}$이(가$)$$결국{\displaystyle }$ V . {\displaystyle $V.}$에 있는$$ ${\displaystyle \mathrm{경우}}$에만${\displaystyle }$L${\$$displaystystyle$$V.}$

The net ${\displaystyle f}$ is frequently in a subset ${\displaystyle S}$ of ${\displaystyle X}$ if and only if for every ${\displaystyle y\in M\setminus \{c\}}$ there exists some ${\displaystyle x\in M\setminus \{c\}}$ with ${\displaystyle d(x,c)\leq d(y$$,c$$)}($(${\displaystyle x}$ ) {\$displaystyle$ f($x)}$이(가$$) $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ S$.}$에 있는 경우$$)

점 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in$ X$}$은(는$$) $모든{\displaystyle }$ 인접 $지역{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V$${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle y}$에 대해 $네트워크$가 V . ${\displaystyle V.}$에 자주 있는 경우에만 net f ${\displaystystyle f}$의 클러스터 지점이다$$.

잘 정렬된 집합에서 위상학적 공간으로 기능

한계점 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ t$}$이(가) 있는$$ 잘 정렬된 집합$$${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$[$0,c$$]$ 및${\displaystyle }$위상학적 공간 $X$에 $대한$ $함수{\displaystyle }$ f ${\$$displaystyle$$f}$을(를$)$ 고려하십시오$.$ 이$$ 함수는${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$. ${\displaystystyleyled$ [0, $[0,$ t].$}$

It is eventually in a subset ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle X}$ if there exists an ${\displaystyle r\in [0,t)}$ such that for every ${\displaystyle s\in [r,t)}$ the point ${\displaystyle f(s)}$ is in ${\displaystyle V.}$

$따라서{\displaystyle }$ ${\displaystyle \underset{}{l}}$${\displaystyle ,}$${\displaystyle \underset{}{}}$${\displaystyle L$$,$ ${\displaystyle$ L$,}$${\displaystyle }$,$$${\displaystyle f}$의 $모든$ 인접 V {\$displaystyle{\displaystyle }$ V}이(가) 결국$$ V .${\displaystystyle V.}$에 있는 경우에만$$ $해당$된다${\displaystyle .}$

The net ${\displaystyle f}$ is frequently in a subset ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle X}$ if and only if for every ${\displaystyle r\in [0,t)}$ there exists some ${\displaystyle s\in [r,t)}$ such that ${\displaystyle f(s)\in V.}$

점 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in$ X$}$은(는$$) $모든{\displaystyle }$ 인접 $지역{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V$${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle y}$에 대해 $네트워크$가 V . ${\displaystyle V.}$에 자주 있는 경우에만 net f ${\displaystystyle f}$의 클러스터 지점이다$$.

첫 번째 $예$로는${\displaystyle }$c = ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle .}${\$displaystyle c=\omega .}$이(가) 있는 특별한 경우를 들 수 있다.

순서형 인덱스 시퀀스를 참조하십시오.

특성.

사실상 위상의 모든 개념은 그물망과 한계라는 언어로 바꾸어 말할 수 있다.망의 한계 개념은 순서의 한계 개념과 매우 유사하기 때문에 직관을 유도하는 데 유용할 수 있다.다음의 이론과 레마들은 그러한 유사성을 강화하는데 도움이 된다.

위상적 특성의 특성

토폴로지의 개방형 집합 및 특성화

하위 집합 SX⊆{\displaystyle S\subseteq X}만일 X에 그물 S∖{\displaystyle X\setminus S}S.{S.\displaystyle}[6]의 어떤 지점에 전진 또한, S부분 집합 ⊆ X{\displaystyle S\subseteq X}는 개방된 만일 모든 네트 S{S\displaystyle}의 요소로 집중 드디어 conta이 열려 있다.ined in $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle S.}$ 이러한 개방형$$ 서브셋의 특성화. 이를 통해 네트가 위상의 특성을 나타낼 수 있다.

닫힌 세트

토폴로지는 닫힌 하위 집합으로 특징지어질 수도 있다.A subset ${\displaystyle S\subseteq X}$ is closed in ${\displaystyle X}$ if and only if every limit point of every convergent net in ${\displaystyle S}$ necessarily belongs to ${\displaystyle S.}$ Explicitly, a subset ${\displaystyle S\subseteq X}$ is closed if and only if whenever ${\d$$isplaystyle x\in X}$ and ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ is a net valued in ${\displaystyle S}$ (meaning that ${\displaystyle s_{a}\in S}$ for all ${\displaystyle a\in A}$) such that ${\displaystyle \lim {}_{}s_{\bull$$et }\to x}($$X$), ${\displaystyle$ X$,},$ 그런$$ 다음 반드시 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle$ x$\in S.}$

More generally, if ${\displaystyle S\subseteq X}$ is any subset then a point ${\displaystyle x\in X}$ is in the closure of ${\displaystyle S}$ if and only if there exists a net ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ in ${\displaystyle S}$ with limit${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in$ X$},$ 즉$$ 모든 $인덱스$에 ${\displaystyle {대해}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$s ${\displaystyle S}${\$displaystyle s_{a}\$$in$ S$}$인${\displaystyle a}$A . ${\displaystyle a.}$

연속성

위상학적 공간 사이의$$ ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\$$displaystyle f$$:X\to Y$$}$은(는$)$ $모든{\displaystyle }$ net $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$=${\displaystyle {}_{}}$( x ${\displaystyle {a_{}}_{}}$)에 대해$\$ A, {\$displaystyle x_${\$bullet }=\왼쪽($x_${a}\right)_{a\in A}$에서 연속적이다.

"그물"이 "순서"로 대체되는 경우 이 정리는 일반적으로 사실이 아니며, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(또는 순차적 공간이 아님) 첫 번째 카운트 가능한 공간이 아닌 경우 자연수만 제외하고 방향 세트를 허용할 필요가 있다.

증명

원 방향 Let ${\displaystyle f}$ be continuous at point ${\displaystyle x,}$ and let ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ be a net such that ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x.}$$$ Then for every open neighborhood ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle f(x),}$ its preimage under ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle V:=f^{-1}(U),}$ is a neighborhood of ${\displaystyle x}$ (by the continuity of ${\displaystyle f}$ at ${\displaystyle x}$).Thus the interior of ${\displaystyle V,}$ which is denoted by ${\displaystyle \operatorname {int} V,}$ is an open neighborhood of ${\displaystyle x,}$ and consequently ${\displaystyle x_{\bullet }}$ is eventually in ${\displaystyle \operatorname {int} V.}$ Therefore ${\displaystyle {(f(x_{}}_{}}$${\displaystyle \left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ is eventually in ${\displaystyle f(\operatorname {int} V)}$ and thus also eventually in ${\displaystyle f(V)}$ which is a subset of ${\displaystyle U.}$ Thus ${\di$$splaystyle \lim _{}\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in$ A$}\$to f$(x$)}, 이$$ 방향이 입증되었다. 다른 방향: Let ${\displaystyle x}$ be a point such that for every net ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ such that${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x,}$ ${\displaystyle \lim _{}\left(f\left(x_{a}\$$오른쪽)\오른쪽){a\in A}\to f(x).$$}$ 이제$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) $x{\displaystyle }$. ${\displaystyle x.}$에서 연속되지 않는다고$$ 가정하십시오.$$ Then there is a neighborhood ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle f(x)}$ whose preimage under ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle V,}$ is not a neighborhood of ${\displaystyle x.}$ Because ${\displaystyle f(x)\in U,}$ necessarily ${\displaystyle x\in V.}$ Now 격납건물 사전주문이 있는$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$의 열린 주변 집합은 지시된 집합이다(이러한 두 동네의 교차점은 $모두{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle$x}의$$ 열린 주변이기 때문이다). We construct a net ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ such that for every open neighborhood of ${\displaystyle x}$ whose index is ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle x_{a}}$ is a point in this neighborhood that is not in ${\displaystyle V}$; that 항상 $그러한{\displaystyle }$ 지점은$$x {\$displaystyle$ x$}$의 열린 이웃이 V ${\displaystyle V}$에 포함되지 않는다는$$ 사실에서 따온 것이다($$추정에 따르면 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은 x ${\displaystyle$ x$}$의 $이웃$이 아니기 때문이다).$$$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$) ${\$이(가) $U{\displaystyle .}$ ${\displaystyle U.}$에 없다는$$ 것을 따르는 것이다. 이제, $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$의 $모든{\displaystyle }$ 열린 이웃 W ${\displaystyle$ w$}$에 대해 이 동네는$$ 지시된 집합의 멤버로, 우리가 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle a_{0}$을 $나타내는{\displaystyle {}_{}}$ 모든 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$에 대해${\displaystyle {}_{}}$ $0{\displaystyle }$$,$ {\$displaystyle b_{0},$ ${\displaystytype b}$ 색인이 controlledata$$$$.ained within ${\displaystyle W}$; therefore ${\displaystyle x_{b}\in W.}$ Thus ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x.}$ and by our assumption ${\displaystyle \lim _{}\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}\to f(x).$$}$ But ${\displaystyle \operatorname {int} U}$ is an open neighborhood of ${\displaystyle f(x)}$ and thus ${\displaystyle f\left(x_{a}\right)}$ is eventually in ${\displaystyle \operatorname {int} U}$ and therefore also in ${\displaystyle U,}$ in contradiction to ${\displaystyle f(x_{}}$${\displaystyle a_{}}$) ${\$가 $모든{\displaystyle }$ . ${\displaystyle a.}$에 대해 U ${\displaystyle U}$에 있지$$ 않음$$ 이는 모순이므로 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f$$}$은(는) $x{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$.}$에서 연속되어야 한다$$.$$ 이것으로 증거가 완성되었다.

콤팩트

A space ${\displaystyle X}$ is compact if and only if every net ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ in ${\displaystyle X}$ has a subnet with a limit in ${\displaystyle X.}$ This can be seen as a generalization of the Bolzano–위어스트라스 정리 및 하이네-보렐 정리.

증명

먼저 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 소형이라고 가정하십시오.우리는 다음과 같은 관찰이 필요할 것이다.Let ${\displaystyle I}$ be any non-empty set and ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in I}}$ be a collection of closed subsets of ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle \bigcap _{i\in J}C_{i}\neq \varnothing }$ for each finite ${\displaystyle J\subseteq I.}$ Then${\displaystyle \underset{en}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ I ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle \ne }$ { $\$ {\$displaystyle \bigcap _{i\in$ I$}C_{$i}\$neq$ \$varnothing }$도 마찬가지.그렇지 않으면$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle {}_{}^{}}$ c${\displaystyle {}_{}}$} ${\displaystyle i_{}}$ $\$\{$C_{i}^{c}\}_{i\in$ I$}}}$은(는) $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X}$의 소형성에 반하여 유한 하위 커버가 없는$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaysty$ X$}$의 개방형 커버가 될 것이다$$. $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$=${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {a_{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle A_{}}${\$displaystyle x_{\bullet }=\좌측(x_{a}\오른쪽)_{a\$$in$ A$}$은(는) $A{\displaystyle }$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle A.}$이(가) 지시하는$$ $X{\displaystyle }$${\displaystystyle$ X$}$의 그물이 되도록 한다$$$$. $${\displaystyle E_{a}\triangleq \left\{x_{b}:b\geq a\right\}.}$$ 집합${\displaystyle }${ ${\displaystyle \mathrm{cl}(}$ (${\displaystyle E{}_{}}$a ) :${\displaystyle a}$ A${\displaystyle }$}$${\$displaystyle$\{\$operatorname {cl} \left(E_{a}\right):a\in$ A$\}$은(는) 모든 유한 하위 집합에 비어 있지 않은 교차점이 있는 속성을 가지고$$ 있다.따라서, 위의 말에 의하면, 우리는 그것을 가지고 있다. $${\displaystyle \bigcap _{a\in A}\operatorname {cl}(E_{a}\neq \varnothing }}$$ 그리고 이것은 정확히 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$. ${\displaystyle x_{\bullet}}$의 클러스터 포인트 집합이다.} 다음 절에 제시된 입증에 의하면$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$. ${\displaystyle x_{\bullet}}}}}$ 따라서$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$ ${\$의 수렴 서브넷의 한계$$ 집합과 같다. 반대로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 네트에는 수렴 서브넷이 있다고$$ 가정해 보십시오.모순을 위해서 {${\displaystyle UI{}_{}}$: ${\displaystyle I}$∈ ${\displaystyle I\}}$ ${\$$U_{i}:i\in$ I$\right\}}$은(는) 유한 서브커버가$$ $없는{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$X}의 개방형 커버임$$..{\displaystyle D\triangleq){J\subset 1:J<>\infty)}.}을 포함에 따라 D{D\displaystyle}은 연출한 세트와 각 C∈ D에 대한,{C\in D\displaystyle,} xC∈ X{\displaystyle x_{C}\in X가 존재하}이=C∉은{\displaystyle D≜{J⊂ 나는:J<>∞}를 생각해 보자.x_{C$}\notin U_{a}}$ for all ${\displaystyle a\in C.}$ Consider the net ${\displaystyle \left(x_{C}\right)_{C\in D}.}$ This net cannot have a convergent subnet, because for each ${\displaystyle x\in X}$ there exists ${\displaystyle c\in I}$ such that ${\displaystyle U_{c$$}}}}$은(는) x${\displaystyle x}$의 이웃이지만$,$ 모든 $B{\displaystyle }$⊇${\displaystyle }${${\displaystyle c\},}$ ${\displaystyle B\supseteq \{c\}}$에 대해, ${\displaystyle x_{}}$ B${\displaystyle {}_{}{u}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaysty x_{B}\notin U_{c}}}}$이 모순이며, 증거를 완성한다.

군집 및 한계점

망의 클러스터 포인트 집합은 수렴 서브넷의 한계 집합과 동일하다.

증명

Let ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ be a net in a topological space ${\displaystyle X}$ (where as usual ${\displaystyle A}$ automatically assumed to be a directed set) and also let ${\displaystyle y\in X.}$ If ${\displaystyle y}$ is a limit of a$x{\displaystyle {}_{}}$ $∙{\$ $y}$의 서브넷을$$ $선택$한 다음 y ${\$$displaystyle$ y}은(는${\displaystyle {)}_{}}$ x ∙${\displaystyle {}_{}}$. {\$displaystyle$ x_${\display }$의 클러스터 지점이다$$. Conversely, assume that ${\displaystyle y}$ is a cluster point of ${\displaystyle x_{\bullet }.}$ Let ${\displaystyle B}$ be the set of pairs ${\displaystyle (U,a)}$ where ${\displaystyle U}$ is an open neighborhood of ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle a\in A}$은(는) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$. ${\displaystyle x_{a}\in$ U$.}$ $지도$ h${\displaystyle }$: ${\displaystyle B}$→ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h:$그런 다음$${\displaystyle${\displaystyle }$a$}$에$$대한 $B\to A}$ 매핑$$$({\displaystyle U}$ ,${\displaystyle }$) {\$displaystyle$$(U,a)}$을(를) 공동 마무리한다$$.Moreover, giving ${\displaystyle B}$ the product order (the neighborhoods of ${\displaystyle y}$ are ordered by inclusion) makes it a directed set, and the net ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{b}\right)_{b\in B}}$ defined by ${\displaystyle y_{b}=x_{h(b)}}$$y{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ y$.}($으)로 수렴

모든 서브넷에 제한이 있는 경우에만 네트에 제한이 있다.그 경우, 네트워크의 모든 한계는 또한 모든 서브넷의 한도가 된다.

기타 속성

일반적으로 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 그물에는 둘 이상의 제한이 있을$$ 수 있지만, $X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$이(가) 하우스도르프 공간이라면 그물(있는 경우)의 한계는 고유하다.$반대$로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Hausdorff가 아니라면$$ X$${\$displaystyle$ X$}$에 두 개의 뚜렷한 한계가 있는$$ 그물이 존재하게 된다.따라서 한계의 고유성은 공간의 하우스도르프 조건과 동등하며, 실로 이것을 정의로 삼을 수도 있다.이 결과는 방향성 조건에 따라 달라진다. 일반적인 사전 주문 또는 부분 순서에 의해 색인화된 집합은 하우스도르프 공간에서도 구별되는 한계점을 가질 수 있다.

If ${\displaystyle f:X\to Y}$ and ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ is an ultranet on ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle \left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ is an ultranet on ${\displaystyle Y.}$$$

코시 그물

Cauchy net은 Cauchy 시퀀스의 개념을 균일한 공간에 정의된 그물에 일반화한다.^[7]

A net ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ is a Cauchy net if for every entourage ${\displaystyle V}$ there exists ${\displaystyle c\in A}$ such that for all ${\displaystyle a,b\geq c,}$ ${\displaystyle \left(x_{a},x_{b$$}\오른쪽)}}$은 V. ${\displaystyle$ V$.}$의 회원이다$$.더$$^[7][8] 일반적으로 카우치 공간에서는 $네트{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {\bullet }_{}}$ ${\$이(가) 그물에 의해 생성된 필터가 카우치 필터일 경우 카우치이다$$.

위상 벡터 공간(TV)은 모든 코시 네트가 어느 지점까지 수렴하면 완전하다고 불린다.위상학적 벡터 공간의 특수한 유형인 규범 공간은 모든 카우치 시퀀스가 어느 지점(순차적 완전성이라고 하는 속성)으로 수렴되는 경우에만 완전한 TVS(동등하게, 바나흐 공간)이다.표준화된 공간의 완전성을 설명하기 위해 코치 그물이 필요하지는 않지만, 보다 일반적인 (아마도 비표준화된) 위상 벡터 공간의 완전성을 기술하기 위해 필요하다.

필터 관련

필터는 일반적인 위상학적 공간의 수렴을 위한 일반적인 정의를 가능하게 하는 위상의 또 다른 개념이다.두 사상은 융합이라는 같은 개념을 준다는 점에서 동등하다.^[9]좀 더 구체적으로 말하면, 모든 필터 베이스에 대해 관련 네트가 구성될 수 있으며, 필터 베이스의 정합화는 관련된 네트의 정합화(모든 네트에 대해 필터 베이스가 있고, 네트의 정합화는 필터 베이스의 정합화를 의미한다)^[10]를 의미한다.For instance, any net ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ in ${\displaystyle X}$ induces a filter base of tails ${\displaystyle \{\{x_{a}:a\in A,a_{0}\leq a\}:a_{0}\in A\}}$ where the filter in ${\displaystyle X}$ generated by this filter base를 net의 만일의 여과라고 한다.이 대응은 하나의 개념으로 증명될 수 있는 모든 정리를 다른 개념과 함께 증명할 수 있도록 한다.^[10]예를 들어, 한 위상학적 공간에서 다른 위상학적 공간으로의 함수의 연속성은 코도메인에서 해당 그물의 정합성을 암시하는 영역에서의 그물의 융합이나 필터 베이스와 동일한 문장으로 특징지어질 수 있다.

로버트 G. 바틀은 그들의 동등함에도 불구하고 두 가지 개념을 모두 갖는 것이 유용하다고 주장한다.^[10]그는 그물이 시퀀스와 유사하게 자연적인 증명과 정의를 만들기에 충분한 순서인 반면, 특히 분석에서 흔히 볼 수 있는 것과 같은 순차적 요소를 사용하는 순서인 반면, 필터는 대수적 위상에서는 가장 유용하다고 주장한다.어떤 경우든, 그는 일반적인 위상에서의 다양한 이론들을 증명하기 위해 어떻게 두 가지를 조합하여 사용할 수 있는지를 보여준다.

상위 제한

순서의 순서와 유사한 방법으로 실수의 순위의 상한과 하한선을 정의할 수 있다.^[11][12][13]어떤 저자들은 완전한 격자와 같이 실제 선보다 더 일반적인 구조로 작업하기도 한다.^[14]

네트$({\displaystyle {{}_{}}_{}}$ a ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$의 경우,${\displaystyle a_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in$ A$}}$을(를) 넣으십시오.

${\displaystyle \limsup x_{a}=\lim _{a}\sup _{b\in a}x_{b}=\inf _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}.}$

실수의 순보다 상위의 한계는 시퀀스의 경우와 유사한 많은 속성을 가지고 있다.예를 들어,

${\displaystyle \limsup(x_{a}+y_{a})\leq \limsup x_{a}+\limsup y_{a}}}$

그물 중 하나가 수렴될 때마다 평등이 유지되는 곳

참고 항목

• 위상학적 공간 범주의 특성
• 위상에서의 필터
• 프리오더
• 순차공간

인용구

참조

• Sundström, Manya Raman (2010). "A pedagogical history of compactness". arXiv:1006.4131v1 [math.HO].
• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Infinite dimensional analysis: A hitchhiker's guide (3rd ed.). Berlin: Springer. pp. xxii, 703. ISBN 978-3-540-32696-0. MR 2378491.
• Beer, Gerald (1993). Topologies on closed and closed convex sets. Mathematics and its Applications 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. xii, 340. ISBN 0-7923-2531-1. MR 1269778.
• Howes, Norman R. (23 June 1995). Modern Analysis and Topology. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC 31969970. OL 1272666M.
• Kelley, John L. (1975). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 27. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 338047.
• Kelley, John L. (1991). General Topology. Springer. ISBN 3-540-90125-6.
• Megginson, Robert E. (1998). An Introduction to Banach Space Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 193. New York: Springer. ISBN 0-387-98431-3.
• Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego: Academic Press. ISBN 9780080532998. Retrieved 22 June 2013.
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology (First ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.