스타인 다지관

수학에서, 몇 개의 복잡한 변수와 복잡한 다지관의 이론에서, 스타인 다지관은 n개의 복잡한 치수의 벡터 공간의 복잡한 하위 관리형이다.그것들은 칼 스타인(1951년)에 의해 소개되었고 이름을 따서 명명되었다.스타인 공간은 스타인 다지관과 유사하지만 특이점을 가질 수 있다.스타인 공간은 대수 기하학에서 아핀 다양성 또는 아핀 체계와 유사하다.null

정의

$X{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle X}$이(${\displaystyle 가}$) 복합 $치수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$의 다지관이고 O${\displaystyle }$( X${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\mathcal{O}(X)$이 $X$에서 홀로모픽 함수의 링을 나타내도록$$ 한다고 가정합시다$.$${\displaystystyle X}$ 다음$$ 조건이 유지되면 $X{\displaystyle }$}을$$ 스타인 매니폴드라고 부른다.

• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 홀모형 볼록한 것으로, 즉 모든 콤팩트 서브셋 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K\subset$ X$\},$ 이른바 홀모형 볼록 선체에 대해,

${\displaystyle {\k}=\좌측\{z\in X\\\,\f(z) \leq \sup_{w\in K}f(w) \forall f\in {\mathcal {O}(X)\우측.\right\}}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 콤팩트 서브셋이기도 하다$.$

• ${\displaystyle X}$ is holomorphically separable, i.e. if ${\displaystyle x\neq y}$ are two points in ${\displaystyle X}$, then there exists ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$ such that ${\displaystyle f(x)\neq f(y).$$}$

비 컴팩트 리만 표면은 스타인 다지관임

X는 서로 연결된 리만 표면이 되게 하라.하인리히 번케와 스타인(1948)의 깊은 정리는 X가 스타인 다지관이라고 단언한다.null

한스 그라워트와 헬무트 뢰럴(1956년)에 기인된 또 다른 결과는 더욱이 X에 있는 모든 홀로모픽 벡터 번들은 사소한 것이라고 말하고 있다.특히 모든 선다발은 사소한 것이기 때문에 H ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}X,}$ O ${\displaystyle X_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}_{X}^{*}=0$ 지수적인 피복 순서는 다음과 같은 정확한 순서를 이끈다.

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

이제 카르탄의 정리 ${\displaystyle B^{}}$는 $H{\displaystyle {}^{}}$ 1 ${\displaystyle {}^{}X}$, ${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{H}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ H$^{1}(X$, ${\mathcal {O}_{X})=$을 보여준다.$H^{2}(X$, ${\mathcal {O}_{X}}=0$ 따라서 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}X\mathbb{},}$ Z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathb {Z} )=0$

이것은 제2의 사촌문제의 해결과 관련이 있다.null

스타인 다지관의 특성 및 예

• 표준 복합 공간 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$는 스타인 다지관이다$$.

• ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 있는 홀로모피의 모든 영역은 스타인 다지관이다$$.

• 스타인 다지관의 모든 폐쇄된 복합 부속물도 스타인 다지관임을 쉽게 알 수 있다.

• 스타인 다지관에 대한 내장 정리에는 다음과 같이 명시되어 있다.복잡한 치수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 모든 Stein 매니폴드 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 생물학적 고유 지도로 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$에 삽입할 수 있다$$.

이러한 사실은 스타인 다지관이 복잡한 공간의 폐쇄적인 복합 하위관리본드라는 것을 암시하는데, 복합적인 구조는 주변 공간의 그것이다(내장이 생체형이기 때문이다).null

• (복잡한) 치수 n의 모든 스타인 다지관은 n차원 CW 복합체의 호모토피 타입을 가진다.

• 하나의 복잡한 치수에서 스타인 조건을 단순화할 수 있다. 연결된 리만 표면은 압축되지 않은 경우에만 스타인 다지관이다.이것은 Behnke와 Stein 때문에 Riemann 표면에 대한 Runge 정리 버전을 사용하여 증명할 수 있다.

• 모든 Stein 다지관 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 홀모형으로 확산될 수 있다$$. 즉, 모든 $포인트{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X$${\$displaystyle x$$\in X$$}$에 대해 $정의$된$$n ${\$displaystyle $n}$홀모픽$$ 함수가 $있다$. 이 함수는 x {\$displaystytyle$의 일부 열린 근방에 국한될 때 로컬 좌표계를 형성한다$.$$x}$ $.$

• 스타인 다지관이 된다는 것은 (복잡한) 강한 유사성 다지관이 되는 것과 같다.후자와 나는∂¯ ψ 을 ∂이 X에서 즉 부드러운 진짜 기능ψ{\displaystyle \psi}{X\displaystyle}강력한pseudoconvex(또는plurisubharmonic)철저한 기능,(, 그것은 모스 기능을 가정할 수 있)다;0{\displaystylei\partial{{\partial\bar}}\psi<>를 사용하여 0}일 경우는 하위 집합 등을 의미한다. {z${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mid }$ (${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle c}$} ${\displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}}$은(는) $모든{\displaystyle }$ 실수 c ${\displaystyle c}$에 대해 X ${\displaystyty$ X$}$로 콤팩트하다$.$이것은 E. E. E. Levi(1911)의 이름을 ^[1]딴 이른바 Levi 문제에 대한 해결책이다.$\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi}$ 함수는 스타인 다지관의 일반화를 스타인 도메인이라고 하는 경계가 있는 콤팩트 복합 다지관의 해당 등급의 아이디어에 초대한다$$.스타인 도메인은 ${\displaystyle \mathrm{프리이미지}}{\displaystyle }${ z${\displaystyle }$∣ -${\displaystyle \mathrm{}\le \psi }$ ( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle c\}}$ ${\displaystyle \{z\mid$ -$\infit \leq \psi (z)\leq$ c$\backslash \}\}\}.$ 어떤 저자들은 그러한 다지체를 따라서 엄격히 유사 콘벡스 다지라고 부른다.

• 이전 항목과 관련하여, 복잡한 치수 2에서 보다 동등하고 위상적 정의는 다음과 같다:스타인 표면은 f의 임계점에서 벗어나 프리이미지 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}c}$) ${\displaystyle X_{c}}$에 대한 복잡한 접선성의 장을 갖는 X의 실제 값 Morse 함수 f를 갖는 복잡한 표면 X이다.$f^{-1}(c)}$은 $f{\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, c${\displaystyle }$)의 경계로서 통상적인 방향에 동의하는 X의_c 방향을 유도하는 접촉 구조다$.$ ${\displaystyle$ f$^{-1}(-\fty$ ,$c).$$}}$ ${\displaystyle {\mathrm{즉<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; f^\{-1\}(-\backslash infty\; ,c).\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/d2a297a7716499337ce969509a78b7f95c530bda"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:12.282ex;\; height:3.176ex;"\; papago-attr-id="157">}}^{}}$, $f{\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, c${\displaystyle }$) ${\displaystyle f^{-1}(-\infit ,c)}$은 X의_c 스타인 필링이다.

그러한 다지관의 수많은 추가 특성화가 존재하며, 특히 복잡한 숫자의 값을 갖는 "많은" 홀모픽 함수의 특성을 포착한다.예를 들어 Cartan의 sheaf cohomology와 관련된 이론 A와 B를 참조하십시오.초기 자극은 분석함수의 (최대) 분석적 연속성의 정의 영역의 특성에 대한 설명을 갖는 것이었다.null

GAGA 유추 세트에서 스타인 다지관은 아핀 변종과 일치한다.null

스타인 다지관은 복잡한 숫자의 "많은" 홀모픽 함수를 그 자체로 인정하는 복잡한 분석에서 타원 다지관과 어떤 의미에서 이중적이다.스타인 다지관은 이른바 '고형 호모토피 이론'이라는 의미에서 섬유성인 경우에만 타원형인 것으로 알려져 있다.null

매끄러운 다지관과의 관계

지수 ≤n의 핸들만 있는 치수 2n의 모든 콤팩트한 매끄러운 다지관은 제공된 스타인 구조를 가지고 있으며, n=2가 제공된 동일한 홀드일 때 특정 프레임(Thurston-Bennekin 프레임보다 적은 프레임)을 부착한다.^[2][3]모든 닫힌 매끄러운 4-매니폴드는 공통의 경계선을 따라 접착된 두 스타인 4-매니폴드의 조합이다.^[4]null

메모들

참조

• Andrist, Rafael (2010). "Stein spaces characterized by their endomorphisms". Transactions of the American Mathematical Society. 363 (5): 2341–2355. doi:10.1090/S0002-9947-2010-05104-9. S2CID 14903691.
• Forster, Otto (1981), Lectures on Riemann surfaces, Graduate Text in Mathematics, vol. 81, New-York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90617-7 (Behnke-Stein과 Grauert의 증거 포함)뢰를 이론화)
• Hörmander, Lars (1990), An introduction to complex analysis in several variables, North-Holland Mathematical Library, vol. 7, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-88446-6, MR 1045639 (내장 정리 증빙 포함)
• Gompf, Robert E. (1998), "Handlebody construction of Stein surfaces", Annals of Mathematics, Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 148, No. 2, 148 (2): 619–693, arXiv:math/9803019, doi:10.2307/121005, ISSN 0003-486X, JSTOR 121005, MR 1668563 (차원 4의 스타인 도메인 및 다지관의 정의 및 구성)
• Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1979), Theory of Stein spaces, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 236, Berlin-New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90388-7, MR 0580152
• Ornea, Liviu; Verbitsky, Misha (2010). "Locally conformal Kähler manifolds with potential". Mathematische Annalen. 348: 25–33. doi:10.1007/s00208-009-0463-0. S2CID 10734808.
• Iss'Sa, Hej (1966). "On the Meromorphic Function Field of a Stein Variety". Annals of Mathematics. 83 (1): 34–46. doi:10.2307/1970468. JSTOR 1970468.
• Stein, Karl (1951), "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem", Math. Ann. (in German), 123: 201–222, doi:10.1007/bf02054949, MR 0043219
• Zhang, Jing (2006). "Algebraic Stein Varieties". arXiv:math/0610886. Bibcode:2006math.....10886Z. {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)