르위의 예
Lewy's example부분 미분 방정식의 수학적 연구에서는 한스 르위 때문에 해결책이 없는 선형 부분 미분 방정식의 유명한 예가 된다.그것은 카우치-코발레프스카야 정리의 아날로그가 매끄러운 범주에 들어 있지 않음을 보여준다.
본래의 예는 한-바나흐의 정리를 채용하고 있기 때문에 명시적인 것은 아니지만, 그 이후 해롤드 자코비츠가 발견한 동질의 다양한 명시적인 예가 있다.
더 말그랑쥬-에렌프레리스 정리에서는 계수가 일정하게 존재하는 선형 부분 미분 방정식은 항상 적어도 하나의 해법이 있다고 명시하고 있다. 르위의 예는 이 결과를 다항식 계수가 있는 선형 부분 미분 방정식으로 확장할 수 없다는 것을 보여준다.
예
그 진술은 다음과 같다.
- ℝ×ℂ에는 미분방정식과 같은 부드러운 복합값 함수 ) 가 존재한다.
- 어떤 해결책도 인정하지 않다 이(가) 분석적이라면 Cauchy-Kovalevskaya 정리는 해결책이 있음을 암시한다는 점에 유의한다.
Lewy는 다음 결과를 사용하여 이 을(를) 구성한다.
- ℝ×ℂ에서 , ) 이(가) 원점 부근에 만족하는 함수라고 가정한다.
- 일부1 C 함수 for에 대해.그렇다면 φ은 원산지의 (아마도 더 작은) 동네에서 진짜 분석성이 있어야 한다.
이것은 φ을 단지 매끄러운 함수라고 생각함으로써 존재하지 않는 정리로 해석될 수 있다.르위의 예는 이 후자의 방정식을 취하며 어떤 의미에서는 그 비탄력성을 ℝ×ℂ의 모든 점으로 해석한다.증명 방법은 바이어 범주 주장을 사용하므로, 어떤 정확한 의미에서는 이 형식의 거의 모든 방정식을 확인할 수 없다.
미조하타(1962년)는 나중에 더욱 간단한 방정식을 발견했다.
2개의 실제 변수에 따라 x와 y는 때때로 해결책이 없다.이것은 일정하지 않은 계수를 가진 거의 가장 간단한 부분 미분 연산자다.
CR 매니폴드에 대한 중요도
CR 다지관에는 의b 복소라고 불리는 복합 다지관의 돌벌 단지와 형식적으로 유사한 차동 운영자의 체인 콤플렉스가 장착되어 있다.돌베오 콤플렉스는 푸앵카레 보조정리 버전을 인정하고 있다.셰이브의 언어로, 이것은 돌벌 콤플렉스가 정확하다는 것을 의미한다.그러나 루이스의 예는 의b -complex가 거의 정확하지 않다는 것을 보여준다.
참조
- Lewy, Hans (1957), "An example of a smooth linear partial differential equation without solution", Annals of Mathematics, 66 (1): 155–158, doi:10.2307/1970121, JSTOR 1970121, MR 0088629, Zbl 0078.08104.
- Mizohata, Sigeru (1962), "Solutions nulles et solutions non analytiques", Journal of Mathematics of Kyoto University (in French), 1 (2): 271–302, MR 0142873, Zbl 0106.29601.
- Rosay, Jean-Pierre (2001) [1994], "Lewy operator and Mizohata operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press