르위의 예

Lewy's example

부분 미분 방정식수학적 연구에서는 한스 르위 때문에 해결책이 없는 선형 부분 미분 방정식의 유명한 가 된다.그것은 카우치-코발레프스카야 정리의 아날로그가 매끄러운 범주에 들어 있지 않음을 보여준다.

본래의 예는 한-바나흐의 정리를 채용하고 있기 때문에 명시적인 것은 아니지만, 그 이후 해롤드 자코비츠가 발견한 동질의 다양한 명시적인 예가 있다.

말그랑쥬-에렌프레리스 정리에서는 계수가 일정하게 존재하는 선형 부분 미분 방정식은 항상 적어도 하나의 해법이 있다고 명시하고 있다. 르위의 예는 이 결과를 다항식 계수가 있는 선형 부분 미분 방정식으로 확장할 수 없다는 것을 보여준다.

그 진술은 다음과 같다.

ℝ×ℂ에는 미분방정식과 같은 부드러운 복합값 함수 ) 가 존재한다.
어떤 해결책도 인정하지 않다 이(가) 분석적이라면 Cauchy-Kovalevskaya 정리는 해결책이 있음을 암시한다는 점에 유의한다.

Lewy는 다음 결과를 사용하여 을(를) 구성한다.

ℝ×ℂ에서 , ) 이(가) 원점 부근에 만족하는 함수라고 가정한다.
일부1 C 함수 for에 대해.그렇다면 φ은 원산지의 (아마도 더 작은) 동네에서 진짜 분석성이 있어야 한다.

이것은 φ을 단지 매끄러운 함수라고 생각함으로써 존재하지 않는 정리로 해석될 수 있다.르위의 예는 이 후자의 방정식을 취하며 어떤 의미에서는 그 비탄력성을 ℝ×ℂ의 모든 점으로 해석한다.증명 방법은 바이어 범주 주장을 사용하므로, 어떤 정확한 의미에서는 이 형식의 거의 모든 방정식을 확인할 수 없다.

미조하타(1962년)는 나중에 더욱 간단한 방정식을 발견했다.

2개의 실제 변수에 따라 xy는 때때로 해결책이 없다.이것은 일정하지 않은 계수를 가진 거의 가장 간단한 부분 미분 연산자다.

CR 매니폴드에 대한 중요도

CR 다지관에는 b 복소라고 불리는 복합 다지관돌벌 단지와 형식적으로 유사한 차동 운영자의 체인 콤플렉스가 장착되어 있다.돌베오 콤플렉스는 푸앵카레 보조정리 버전을 인정하고 있다.셰이브의 언어로, 이것은 돌벌 콤플렉스가 정확하다는 것을 의미한다.그러나 루이스의 예는 b -complex가 거의 정확하지 않다는 것을 보여준다.

참조

  • Lewy, Hans (1957), "An example of a smooth linear partial differential equation without solution", Annals of Mathematics, 66 (1): 155–158, doi:10.2307/1970121, JSTOR 1970121, MR 0088629, Zbl 0078.08104.
  • Mizohata, Sigeru (1962), "Solutions nulles et solutions non analytiques", Journal of Mathematics of Kyoto University (in French), 1 (2): 271–302, MR 0142873, Zbl 0106.29601.
  • Rosay, Jean-Pierre (2001) [1994], "Lewy operator and Mizohata operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press