선형행렬불등식

볼록 최적화에서 선형 행렬 불평등(LMI)은 형태의 표현이다.

${\displaystyle \operatorname {LMI}(y):=A_{0}+y_{1}}A_{1}+y_{2}A_{2}+\cdots +y_{m}A_{m}\succeq 0\,}$

어디에,

• ${\displaystyle$$=\!1,\m]}$은(는) 진짜 벡터,
• ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{A\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\time$ n$}$ 대칭$$ 행렬 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ ,, $,,$
• ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ⪰}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B\succeq$ 0$}$은(는) 일반화된 불평등이다. $즉{\displaystyle }$,$$B {\$displaystyle$B$}$은(는$$) $대칭{\displaystyle \mathbb{}}$ 행렬$$S {\$displaystyle \mathb$ {$S}$_{+}의 하위 공간에 속하는$$ 양의 세미데핀 행렬이다$.$

이 선형 행렬 불평등은 y의 볼록 구속조건을 지정한다.

적용들

LMI가 실현 가능한지(예: LMI(y) ≥ 0과 같은 벡터 y가 존재하는지)를 판단하는 효율적인 수치적 방법이 있다.제어 이론, 시스템 식별 및 신호 처리의 많은 최적화 문제는 LMI를 사용하여 공식화될 수 있다.또한 LMI는 다항식 Sum-Of-Squares에서 응용 프로그램을 찾는다.프로토타입 원시 및 이중 세미데마인드 프로그램은 각각 이 LMI를 지배하는 원시 및 이중 볼록 원추에 따라 실제 선형 함수의 최소화를 의미한다.

LMI를 해결하는 중

볼록 최적화의 주요한 돌파구는 내부 포인트 방법의 도입에 있다.이러한 방법은 일련의 논문에서 개발되었으며, 유리 네스테로프와 아르카디 네미로프스키의 작품에서 LMI 문제의 맥락에 진정한 관심을 갖게 되었다.

참고 항목

• 세미데피나이트 프로그래밍
• 스펙트럼면체

참조

• Y. 네스테로프와 A.네미롭스키, 볼록스 프로그래밍의 내부점 다항식 방법.SIAM, 1994.

외부 링크

• S. 보이드, L. 엘 가우이, E.페론, 그리고 V. 발라크리쉬난, 체계와 통제 이론에서의 선형 매트릭스 불평등 (PDF로 된 책)
• C. Scherer와 S.Weiland, 선형 매트릭스 제어 불평등