류빌 함수

수학에서, Liouvillian 함수는 기본적인 함수와 반복적인 통합을 포함한 일련의 함수로 구성된다.Liouvillian 함수는 다른 Liouvillian 함수의 통합으로 재귀적으로 정의할 수 있다.

보다 분명히, Liouvillian 함수는 한정된 수의 산술 연산(+, -, ×, ÷), 지수, 상수, 대수 방정식의 해법(n번째 뿌리의 일반화), 그리고 반분법의 구성인 한 변수의 함수다. $1/x$ 함수는 $1/x$ / x $1/x$ 의 정수이므로 명시적으로 포함할 필요가 없다 $1/x$

산술 연산, 구성, 통합에 따라 리우빌리언 함수 집합이 닫힌다는 정의에서 바로 따르게 된다.또한 차별화에 따라 폐쇄된다.그것은 한계와 무한의 금액으로 닫히지 않는다.^{[example needed]}

리우빌의 기능은 1833년부터 1841년까지 조셉 리우빌에 의해 일련의 논문에서 소개되었다.

예

모든 기본적인 기능은 류빌리언이다.

Liouvillian이지만 초보적인 기능이 아닌 잘 알려진 기능의 예는 다음과 같다.

$오류$ 함수, $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,$ f $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,$ x ) $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,$ = $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,$ $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,$ $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,$ $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,$ e $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,$ - $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,$ 2 $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,$ $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,$ ${\displaystyle \mathrm {erf}(x)={\\frac$ {2 $}{\sqrt{\pi }}\{0}^{x}e$ ^{-t^{ $2}}\,dt,}}$
지수(Ei), 로그(Li 또는 li) 및 프레스넬(S 및 C) 통합.

모든 Liouvillian 함수는 대수 미분 방정식의 해법이지만, 반대로는 아니다.Liouvillian이 아닌 대수 미분 방정식의 해법인 함수의 예는 다음과 같다.^[1]

대수적 미분 방정식의 해답이 아니므로 Liouvilian이 아닌 함수의 예는 다음과 같은 모든 초월적 초월적 함수를 포함한다.

^ L. Chan, E.S. Cheb-Terrab, "Linear ODE를 위한 비-Liouvillian Solutions for the second orderal ODEs," 2004년 국제 심포지엄의 진행 (ISSAC '04), 2004, 80–86 doi:10.1145/1005.1005299

Davenport, J. H. (2007). "What Might 'Understand a Function' Mean". In Kauers, M.; Kerber, M.; Miner, R.; Windsteiger, W. (eds.). Towards Mechanized Mathematical Assistants. Berlin/Heidelberg: Springer. pp. 55–65. ISBN 3-540-73083-4.