잘라내기 오류(숫자 통합)

숫자 통합에서 잘림 오류는 두 가지 유형으로 나뉜다.

• 로컬 잘라내기 오류 – 한 번의 반복으로 인한 오류
• 전역 잘라내기 오류 - 많은 반복으로 인한 누적 오류.

정의들

연속 미분 방정식이 있다고 가정합시다.

${\displaystyle y'=f(t,y),\qquad y(t_{0})=y_{0},\qquad t\geq t_{0}}}}$

그리고 개별 시간 ${\displaystyle {단계\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$t ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…, ${\displaystyle t_{}}$N {\$displaystyle t_{1},\dots, t_{N}$에서 실제 솔루션 $y{\displaystyle }$(${\displaystyle t_{}}$) ${\displaystyle y($$t_$${n})$의 근사 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 계산하려고 한다$.$ 단순성을 위해 시간 단계가 균등하게 다음과 같이 가정한다.

${\displaystyle h=t_{n}-t_{n-1},\qquad n=1,2,\ldots,N.}$

폼의 한 ${\displaystyle {단계}_{}}$ 방법으로 $y$ ${\$ 시퀀스를 계산한다고 가정합시다.

${\displaystyle y_{n}=y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},y_{n-1},h,f)}$

함수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 증분함수라고 하며$$, $경사{\displaystyle \frac{}{}}$ y${\displaystyle \frac{(t_{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{y(t_{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{1_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$n-1$}){h}}$의 추정치로 해석할 수 있다$.$

로컬 잘라내기 오류

로컬 잘라내기 오류 ${\displaystyle {\tau n}_{}}$ ${\$은(는) 이전 반복에서 실제 솔루션에 대한 완벽한 지식을 가정한 우리의 증분 $함수$인 A$${\$displaystyle A}$이(가$)$ 단일 반복 동안 일으키는 오류다$$.

More formally, the local truncation error, ${\displaystyle \tau _{n}}$, at step ${\displaystyle n}$ is computed from the difference between the left- and the right-hand side of the equation for the increment ${\displaystyle y_{n}\approx y_{n-1}+hA(t_{n-1},y$$_{n-1},h,f)}$:

${\displaystyle \tau _{n}-y(t_{n-1})-hA(t_{n-1},y(t_{n-1}),h,f).}$^[1][2]

만약 국부 절단 오차 OOO(h){\displaystyle o(h)}그 수치 해석 법(이 모든 ε에>0{\displaystyle \varepsilon>0} H{H\displaystyle}가τ n<>존재하고, ε h{\displaystyle \tau_{n}<>\varepsilon h}모든 h<>;H{\displaysty을 의미한다.h< 르.H}, 보십시오리틀오 표기법증가 함수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(${\displaystyle 가}$) 연속인$$ 경우, A${\displaystyle (}t{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f(,}$ ${\displaystyle y}$ ) = f(, y${\displaystyle }$) ${\displaysty A(t,y,0,f)=f(t,y)}$인 경우에만 방법이 일치한다$.$^[3]

또한 초기 값 문제의 원만한 해결책의 경우 로컬 잘라내기 오류는 $O{\displaystyle (}$ h${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$ + 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle O(h^{p+1})($$상수{\displaystyle }$$$ C ${\displaystyle C}$ $및{\displaystyle }$ H$$ ${\displaystyle$ H$})$인 경우$$ 숫자 방법에는 $p{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ $p$$}$ 순서가 있다고 한다.< + ${\$$^{p$$+1$}{{n$}$^[4]$h$ < H> 입니다.

전역 잘라내기 오류

글로벌 잘라내기 오류는 초기 시간 단계에서 실제 솔루션에 대한 완벽한 지식을 가정하여 모든 반복에 걸쳐 로컬 잘라내기 오류가 누적된 것이다.^{[citation needed]}

좀 더 공식적으로, t $시간{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$에서 글로벌 잘라내기 $오류$인 e ${\displaystyle n_{}}$${\$을(를) 다음과 같이 정의한다$$.

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}&=y(t_{n})-y_{n}\\&=y(t_{n})-{\Big (}y_{0}+hA(t_{0},y_{0},h,f)+hA(t_{1},y_{1},h,f)+\cdots +hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f){\Big )}.\end{정렬}}}$^[5]

단계 크기가 0이 될 때 글로벌 잘림 오류가 0이 되면 숫자 방법이 수렴된다. 즉, 숫자 솔루션은 정확한 솔루션으로 수렴된다: ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ h${\displaystyle \underset{}{}}$→ ${\displaystyle \underset{}{0}}$ ${\displaystyle \underset{}{max}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}}$e n = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lim _{h\to 0}\max _{n} e_{n} =0$^[6]

로컬 잘라내기 오류와 전역 잘라내기 오류 간의 관계

로컬 잘라내기 오류를 이미 알고 있는 경우 때때로 글로벌 잘라내기 오류의 상한 값을 계산할 수 있다.이것은 우리의 증분기능이 충분히 행동할 것을 요구한다.

글로벌 잘라내기 오류는 반복 관계를 충족한다.

${\displaystyle e_{n+1}=e_{n}+h{n}+h{n}{n},y_{n},f)-A(t_{n},y_{n},h,f){\Big )+\n+1}.$

이것은 그 정의에서 바로 따온 것이다.이제 두 번째 인수에 증분 함수가 Lipschitz 연속이라고 가정해 보십시오. 즉, 모든 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$ 및$$ y$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 다음과 같은$$ $상수{\displaystyle }$ L ${\displaystystyle L}$이 존재한다고 가정해 보십시오.

${\displaystyle A(t,y_{1},h,f)-A(t,y_{2},h,f) \leq L y_{1}-y_{2} .}$

그러면 글로벌 오류가 바운드를 충족함

${\displaystyle e_{n} \leq {\frac {\max _{j}\tau _{j}}{j}}{j}}L}}\왼쪽(\mathrm {e} ^{L(t_{n}-t_{0}})-1\오른쪽).}$^[7]

미분방정식의$$ $함수{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f}$이(가) 첫 번째 변수에 연속적이고 두 번째 인수(Picard-Lindelöf 정리로부터의 조건)에 립시츠가 연속적이며 $증분함수{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$이(가) 모든 논쟁에 연속적인$$ 경우 글로벌 오차에 대한 위의 경계에서 이어진다.그리고 Lipschitz가 두 번째 주장에서 연속적으로, 스텝 $크기{\displaystyle }$ h ${\displaystyle h}$이 0에 가까워질$$ 때 글로벌 오차는 0이 되는 경향이 있다(즉, 숫자 방법은 정확한 해법으로 수렴된다).^[8]

선형 다단계 메소드에 대한 확장

이제 공식에 의해 주어진 선형 다중 단계 방법을 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{aligned}}}$

따라서 수치해결액의 다음 값은 다음과 같이 계산한다.

${\displaystyle y_{n+s}=-\sum _{k-1}a_{k}y_{n+k}+h\sum _{k=0}^{k=0}b_{k}f(t_{n+k},y_{n+k}).}$

선형 다단계 방법의 다음 반복은 이전의 반복에 따라 달라진다.따라서, 국소 절단 오류에 대한 정의에서, 이전의 모든 반복이 정확한 해결책에 해당한다고 가정한다.

${\displaystyle \tau _{n}y_{n(t_{n+k})+\sum _{k=0}a_{k}y(t_{n+k}-h}\sum _{k=0}b_{n+k},y(t_{n+k})+k}}$^[9]

다시 ${\displaystyle {\tau n}_{}}$= ${\displaystyle o(h}$) ${\displaystyle \tau _{n}=o(h)}$일 경우 방법이 일관되고$$, ${\displaystyle {\tau n}_{}}$= O${\displaystyle (h^{}}$ p${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$) ${\displaystyle \tau _{n}=O(h^{p+1$일 경우 순서 p가 있다.글로벌 잘라내기 오류의 정의도 변함이 없다.

로컬 잘라내기 오류와 글로벌 잘라내기 오류의 관계는 한 단계 방법의 단순한 설정과는 약간 다르다.선형 다단계 방법의 경우 국소 및 전역의 절단 오류 사이의 관계를 설명하기 위해 제로 안정성이라는 추가 개념이 필요하다.0-안정성의 조건을 만족하는 선형 다단계 방법은 1단계 방법과 국소적 오류와 전역적 오류 사이에 동일한 관계를 갖는다.즉, 선형 다단계 방법이 영안정적이고 일관성이 있으면 수렴한다.그리고 선형 다중 단계 방법이 0으로 고정되고 로컬 오류 ${\displaystyle {errorn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle O}$( ${\displaystyle {}^p}$ +${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ )$${\$displaystyle \tau _{n}=O(h^{p+1})$가 있는 경우$,$ 글로벌 $오류$는 ${\displaystyle {en}_{}}$ = ${\displaystyle O(}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$)${\displaysty e_{n}=O(h^{p}})$를 만족한다$.$^[10]

참고 항목

• 정확도순서
• 수치적 통합
• 수치일반미분방정식
• 잘라내기 오류

메모들

참조

• Iserles, Arieh (1996), A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55655-2.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0521007941.

외부 링크

• 잘라내기 오류 및 Runge-Kutta 메서드에 대한 참고 사항
• 오일러 메서드의 절단 오류