피카르-린델뢰프 정리

수학 - 특히 미분 방정식에서 - 피카르-린델뢰프 정리, 피카르의 존재 정리, 카우치-립시츠 정리, 존재와 고유성 정리는 초기 가치 문제가 고유한 해결책을 갖는 일련의 조건을 제공한다.

이 정리는 에밀 피카르, 에른스트 린델뢰프, 루돌프 립시츠, 아우구스틴루이 코우치의 이름을 따서 명명되었다.

정리

D $D\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$ $D\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$ $D\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$ $D\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$ × R {\ $displaystyle D\subseteq \mathb {R} \time$ \ $mathb {$ $(t_{0},y_{0})\in D$ $}$ \mathb {R} $D\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$ $(t_{0},y_{0})\in D$ $n}}}$ 은( $(t_{0},y_{0})\in D$ 0 $,$ 0 ) $(t_{0},y_{0})\in D$ $displaystyle (t_$ { $0$ $},$ $f:D\to \mathbb {R} ^{n}$ ${$ $f:D\to \mathbb {R} ^{n}$ $})\$ $in$ D $}$ 인 닫힌 직사각형이 되도록 $D\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$ $.$ $D\to \mathb {R} ^{n}}$ 은(는) $t$ $t$ 에서는 $t$ 연속이고 $y$ ${\displaysty y}$ 에서는 Lipschitz 연속인 함수임 $f:D\to \mathbb {R} ^{n}$ $y$ 그 후, 초기값 문제가 있을 정도로 일부 > > $0$ 이 존재한다.

$y'(t)=f(t,y(t),\qquad y(t_{0})=y_{0}.$

$[t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]$ 0 - $[t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]$ , $[t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]$ $[t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]$ + $[t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]$ ] $[t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]$ 간격에 고유한 $y(t)$ $솔루션$ $y(t)$ ( t $y(t)$ ) ${\$ $displaystyle [t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]}$ 이(가) 있다 $[t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]$ ^[1]^[2]^[3]

$D$ $D$ 은 $D$ (는) 대신 열어야 하는 경우가 많지만, 그러한 가정 하에서조차 증거는 $D$ ${\displaystyle$ D $} 내$ 에서 닫힌 직사각형만 사용한다는 점에 유의하십시오 $D$

교정 스케치

그 증거는 미분 방정식의 변형과 고정점 이론의 적용에 의존한다.양쪽을 통합함으로써, 미분 방정식을 만족시키는 모든 함수 또한 적분 방정식을 만족시켜야 한다.

y(t)-y(t_{0}}=\int _{t_}^{t}f(s,y(s)\,ds.

해결책의 존재에 대한 간단한 증거는 연속적인 근사치를 통해 얻어진다.이런 맥락에서 이 방법은 피카르 반복이라고 알려져 있다.

세트

\varphi _{0}(t)=y_{0}}

그리고

\varphi _{k+1}(t)=y_{0}+\int_{t_{0}^{t}f(s,\varphi _{k}s)\,ds.

그런 다음 바나흐 고정점 정리를 이용하여 "피카르드 반복" $φ$ 의_k 순서가 수렴되고 한계가 문제에 대한 해결책임을 보여줄 수 있다. $φ$ 과 $ψ$ 이 두 가지 해결책인 $φ(t)$ - $ψ (t)$ 에 그룬월(Grönwall)의 보조마크를 $적용$ 하면=(t) = $ψ (t$ )가 글로벌 고유성을 입증하는 것으로 나타난다(국소 고유성은 바나흐 고정점의 고유성의 결과임).

지시사항은 뉴턴의 연속 근사 방법을 참조하라.

Picard 반복 예제

Let $y(t)=\tan(t),$ the solution to the equation $y'(t)=1+y(t)^{2}$ with initial condition ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}=0,t_{0}=0.$ $}$ $\varphi _{0}(t)=0,$ $\varphi _{0}(t)=0,$ t $\varphi _{0}(t)=0,$ ) $\varphi _{0}(t)=0,$ = $\varphi _{0}(t)=0,$ $\varphi _{0}(t)=0,$ 로 $\varphi _{0}(t)=0,$ 시작하면 $y(t_{0})=y_{0}=0,t_{0}=0.$ 반복한다.

\varphi _{k+1}(t)=\int _{0}^{t}(\varphi _{k}s)^{2}\,ds

$\varphi _{n}(t)\to y(t)$ ( $\varphi _{n}(t)\to y(t)$ ) $\varphi _{n}(t)\to y(t)$ → $\varphi _{n}(t)\to y(t)$ ( $\varphi _{n}(t)\to y(t)$ ) ${\displaystyle \varphi _{n}(t)\to y(t$

{\dsstyle \varphi _{1}(t)=\int _{0}^{t}(1+0^{2})\,ds=t}

\varphi _{2}(t)=\int_{0}^{t}(1+s^{2})\,ds=t+{\frac{t^{3}}}}

\varphi _{3}(t)=\int _{0}^{t}\left(1+\left(s+{\frac {s^{3}}{3}}\right)^{2}\right)\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}+{\frac {2t^{5}}{15}}+{\frac {t^{7}}{63}}

등등.분명히, 그 기능들은 우리의 알려진 $y=\tan(t).$ y $y=\tan(t).$ = $y=\tan(t).$ ( t $y=\tan(t).$ . ${\디스플레이 스타일$ y=\ $tan$ (t)의 Taylor 시리즈 확장을 계산하고 있다 $.$ $}}$ ${\$ $displaystyle$ $\tan}$ 에 ± $\pm {\tfrac {\pi }{2}},$ $\pm {\tfrac {\pi }{2}},$ , ${\displaystyle$ $\$ $pm {\tfrac {\pi }{2$ }}: 극이 있으므로 $y=\tan(t).$ $\tan$ $,$ 이는 $\pm {\tfrac {\pi }{2}},$ $|t|<{\tfrac {\pi }{2}},$ < $|t|<{\tfrac {\pi }{2}},$ $|t|<{\tfrac {\pi }{2}},$ , ${\tfrac$ t $<{\$ $tfrac$ ${}{\$ $pi },}}}},$ 일부 $\mathbb {R}$ 에 대해서만 $|t|<{\tfrac {\pi }{2}},$ 로컬 솔루션으로 수렴된다 $\mathbb {R}$

고유하지 않은 예제

솔루션의 고유성을 이해하려면 다음 예를 고려하십시오.^[4]미분방정식은 정지점을 가질 수 있다.예를 들어 방정식의, .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{.는 초기 조건에 대해 가져온 Border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}dy/dt)공부한다 예(<>;0{\displaystyle a<0}),는 고정형 해결책은 y(t)=0으로, y(0)=0. 다른 초기 조건과 y(0))y0 ≠ 시작했다.0, 해결책 y(t)는 고정형을 향해지만, 무한한 시간의 한계에서만,의 고유성 그래서 그것에 도달하는 경향이 있다.해결책(모든 유한한 시간에 걸쳐)이 보장된다.

그러나 유한한 시간 후에 고정용액에 도달하는 방정식의 경우 고유성이 실패한다.이러한 현상은 $dy / dt$ = $ay 2 / 3$ 방정식에 대해 발생하며, 초기 $조건 y(0)$ = $0$ 에 해당하는 용액이 적어도 두 개 있다(예: $y (t)$ = 0 $또는$

y(t)={\displaysty}\precent\tfrac {at}{3}\right)^{3}^{3}}}&t<0\\\\ \ \ \ \ 0&t\geq 0,\end{case}}

따라서 시스템의 이전 상태는 t = 0 이후의 상태에 의해 고유하게 결정되지 않는다.고유성 정리는 $함수$ $f(y)$ = $y$ 가^2/3 y = $0$ 으로 무한 경사를 가지기 때문에 립스키츠 연속성이 아니어서 정리의 가설을 위반하기 때문에 적용되지 않는다.

상세증거

내버려두다

C_{a,b}={\overline {I_{a}(t_{0})}}\time {\overline {B_{b}(y_{0}}}}}}}}}}

여기서:

{\begin{aigned}{\overline {I_{a}(t_{0})}}&=[t_{0}-a,t_{0}+a]\\{B_{B}(y_{0})}&=[y_{0}-b,y_{0}+b].\end{정렬}}

이것은 f가 정의된 콤팩트 실린더다.내버려두다

M=\sup _{C_{a,b}\f\,

즉, 함수의 기울기(절대값)의 우월성이다.마지막으로 L을 두 번째 변수에 대해 $f$ 의 립스키츠 상수가 되게 한다.

${\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ 는 C ${\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ ( ${\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ ${\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ ( ${\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ t ${\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ ) ${\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ , B ${\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ ( ${\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ ${\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ ) ${\displaystyle {\c}(I_{a}(t_{0})$ 에 대한 메트릭을 사용하여 Banach 고정점 정리를 계속 적용할 것이다.균일한 $규범에$ 의해 $유도된$ B_ ${$ b}(y_ ${\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ {0})}

\\varphi \ _\\put }=\supp_{t\in I_{a}}} \varphi (t) .

연속함수의 두 기능 공간, 즉 Picard의 연산자 사이에 연산자를 다음과 같이 정의한다.

\Gamma :{\mathcal{C}(I_{a})(t_{0}),B_{b}(y_{0})\긴 오른쪽 화살표 {\mathcal {C}(I_{a})(t_{0}),B_{b}(y_{0})}

정의:

\Gamma \varphi (t)=y_{0}+\int_{t_{0}^{t}f,\varphi (s)\,ds.

우리는 이 운영자가 비어 있지 않은 완전한 미터법 공간 X를 그 자체로 매핑하고 또한 수축 매핑이라는 것을 보여주어야 한다.

먼저, ${\displaystyle$ a $}$ 에 대한 특정 제약이 있는 경우 $a$ $\Gamma$ {\ $displaystyle \Gamma}$ 이 ${\overline {B_{b}(y_{0})}}$ ) B (y ${\overline {B_{b}(y_{0})}}$ )의 ${\$ 을(를) 그 자체로 ${\overline {B_{b}(y_{0})}}$ 가져간다는 $\Gamma$ 것을 보여 준다.여기서 ${\overline {B_{b}(y_{0})}}$ ${\overline {B_{b}(y_{0})}}$ $){\$ 은 상수 함수 $y_{0}$ $y_{0}$ ${\$ 에서 연속(및 경계) 함수 "중심"의 공간에 있는 닫힌 공이다 ${\overline {B_{b}(y_{0})}}$ $y_{0}$ 그래서 우리는 그것을 보여줄 필요가 있다.

\\varphi -y_{0}\{\\\nft }\leq b

함축적으로 말하다

\left\ \Gamma \varphi (t)-y_{0}\right\ =\left\ \int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))\,ds\right\ \leq \int _{t_{0}}^{t'}\left\ f(s,\varphi (s))\right\ ds\leq \int _{t_{0}}^{t'}M\,ds=M\left t'-t_{0}\right \leq Ma\leq b

여기서 $t$ $'$ ${\$ 은 $[t_{0}-a,t_{0}+a]$ 는) [ $[t_{0}-a,t_{0}+a]$ 0 $[t_{0}-a,t_{0}+a]$ - a , $[t_{0}-a,t_{0}+a]$ $[t_{0}-a,t_{0}+a]$ + $[t_{0}-a,t_{0}+a]$ $[t_{0}-a,t_{0}+a]$ ${\displaystyle [t_{0}-a,t_{0}+a]$ 의 일부 번호로 $t'$ , 최대값에 $[t_{0}-a,t_{0}+a]$ 도달한다. $a<{\frac {b}{M}}$ 가 $a<{\frac {b}{M}}$ 을 < $a<{\frac {b}{M}}$ b $a<{\frac {b}{M}}$ ${\$ a $<{\frac{b}{M}}>$ 로 부과한다면 체인의 마지막 불평등은 사실이다 $a<{\frac {b}{M}}$

이제 이 연산자가 수축 매핑이라는 것을 증명해 보자.

$\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ 1 , $\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ $\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ $\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ $\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ ( $\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ $\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ ( $\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ $\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ ) $\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ , $\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ $\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ ( $\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ 0 $\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ ) ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}(I_{a})(t_{0}))$ 의 두 가지 함수를 지정하면 $B_{b}(y_{0$ Banach 고정점 정리를 적용하기 위해 필요한 사항.

\left\\{1}-\Gamma \varphi _{2}\right\{\inft }\leq\left\\\\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\}}}}

$약$ $0\leq q<1$ $0\leq q<1$ $0\leq q<1$ < 1 ${\displaystyle 0\leq<1}.$ 따라서 $0\leq q<1$ t ${\displaystyle$ t}이 $($ 가) 다음과 같이 되도록 하십시오 $t$ .

\\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\\nft }\{\nft\\\left(\Gamma \varphi _{1}-\varphi _{2}\rigma \right\}}

그런 다음 $\Gamma$ $\Gamma$ 의 정의를 사용하십시오 $\Gamma$

{\displaystyle{\begin{정렬}\left\ \left(\Gamma \varphi_{1}-\Gamma \varphi_{2}\right)(t)\right\&=\left\ \int _{t_{0}}^ᆰ\left(f(s,\varphi_{1}(s))-f(s,\varphi_{2}(s))\right)ds\right\ \\&, \leq \int _{t_{0}}^{t}\left\ f\left(s,\varphi_{1}(s)\right)-f\left(s,\varphi_{2}(s)\right)\right\ ds\\&, \leq L\int _{t_{0}}^{t}\left\ \varphi다.{1}(s)-\varphi _{2}(s)\right\ ds&&{\text{since }}f{\text{ is Lipschitz-continuous}}\\&\leq L\int _{t_{0}}^{t}\left\ \varphi _{1}-\varphi _{2}\right\ _{\infty }\,ds\\&\leq La\left\ \varphi _{1}-\varphi _{2}\right\ _{\infty }\end{aligned}}}

$a<{\tfrac {1}{L}}.$ 는 < $a<{\tfrac {1}{L}}.$ $a<{\tfrac {1}{L}}.$ . ${\displaystyle$ a $<{\tfrac {1}{L}}$ 인 경우 수축이다. $}$

우리는 피카르의 운영자가 동일한 규범에 의해 유도된 지표를 가진 바나흐 공간의 수축이라는 것을 규명했다.이를 통해 바나흐 고정점 정리를 적용하여 운영자가 고유한 고정점을 가지고 있다고 결론을 내릴 수 있다.특히 독특한 기능이 있다.

\varphi \in {\mathcal {C}(I_{a})(t_{0}),B_{b}(y_{0})}

그런 γ = = $φ$ .이 함수는 초기 값 문제의 고유한 해결책이며, 조건을 만족하는 간격 I에서_a 유효하다.

{\\min \left\{\tfrac {b}{M},{\tfrac {1}{L}\right\}}을(를) 표시하십시오.}

솔루션 간격 최적화

그럼에도 불구하고 바나흐 고정점 정리에는 코롤러가 있다: 연산자 T가ⁿ N의 일부 N에 대한 수축이라면 T는 독특한 고정점을 갖는다.이 정리를 Picard 연산자에 적용하기 전에 다음을 기억하십시오.

Lemma — ${\displaystyle \left\ \Gamma ^{m}\varphi _{1}(t)-\Gamma ^{m}\varphi _{2}(t)\right\ \leq {\frac {L^{m} t-t_{0} ^{m}}{m!$ $}}}\왼쪽\\\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\}}$ $t\in [t_{0}-\alpha ,t_{0}+\alpha ]$ t $t\in [t_{0}-\alpha ,t_{0}+\alpha ]$ [ $t\in [t_{0}-\alpha ,t_{0}+\alpha ]$ 0 - $t\in [t_{0}-\alpha ,t_{0}+\alpha ]$ $t\in [t_{0}-\alpha ,t_{0}+\alpha ]$ 0 + $t\in [t_{0}-\alpha ,t_{0}+\alpha ]$ ] ${\displaystyty$ t $\in [t_$ \0 $}-\reason, t_{0}+\in ]}$

증명. M에 인덕션.유도( $m$ = $1$ )의 기초는 이미 확인되었으므로 불평등이 $m$ - $1$ 을 유지한다고 가정하면 다음과 같다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\left\ \Gamma ^{m}\varphi _ᆰ(t)-\Gamma ^{m}\varphi _ᆲ(t)\right\&=\left\ \Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _ᆴ(t)-\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _ᆶ(t)\right\ \\&, \leq\left \int _{t_{0}}^{t}\left\ f\left(s,\Gamma ^{m-1}\varphi_{1}(s)\right)-f\left(s,\Gamma ^{m-1}\varphi_{2}(s)\right)\right\ds\right \\&, \leq.L\left \int_{t_{0}}^{t}\left\ \Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s)-\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s)\right\ ds\right \\&\leq L\left \int _{t_{0}}^{t}{\frac {L^{m-1} s-t_{0} ^{m-1}}{(m-1)!}}}\왼쪽\\\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\ds\\\\\\leq{\frac {\l^{m} t-t_{0} ^{m}{m}}{m}}}{m!}}}\왼쪽\\\varphi _{1}-\varphi _{2}\오른쪽\ .\end{arged}}}

By taking a supremum over $t\in [t_{0}-\alpha ,t_{0}+\alpha ]$ we see that ${\displaystyle \left\ \Gamma ^{m}\varphi _{1}-\Gamma ^{m}\varphi _{2}\right\ \leq {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!$ $}}}\왼쪽\ \varphi _{1}-\varphi _{2}\오른쪽$

이 불평등은 어떤 큰 M에게는

{\frac {L^{m}\알파 ^{m}}{m!}}<1,

따라서 γ은^m 수축이 될 것이다.그래서 이전 Ⅱ에 의해서 독특한 고정점을 갖게 될 것이다.마지막으로

α

=

최소{a,

b / M}

을 취함으로써 용액의 간격을 최적화할 수 있었다.

결국 이 결과는 용액의 정의 간격이 필드의 립스치츠 상수에 좌우되는 것이 아니라 필드의 정의 간격과 그 최대 절대값에만 좌우된다는 것을 보여준다.

기타존재구성

피카르-린델뢰프 정리는 해결책이 존재하며 독특한 것임을 보여준다.피아노 존재 정리는 고유성이 아닌 존재만을 보여주지만, 립슈츠 연속이 아닌 $y$ 에서 $f$ 가 연속된다는 가정만 든다.예를 들어, 초기 조건 y(0) = 0인 $dy / dt$ = $y 1 / 3$ 방정식의 오른쪽은 연속이지만 립스키츠 연속은 아니다.실제로, 이 방정식은 독특하기 보다는 다음과 같은 세 가지 해법이 있다.^[5]

y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}

( t

y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}

)

y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}

=

y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}

y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}

( t

y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}

)

y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}

=

y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}

± (

y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}

2

y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}

y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}

) 3

y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}

{\

y(

t)=0,\qquad

y(

t)=\pm \leftleft\t\right)^{3}^{\frac {3}{

2

y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}

더욱 일반적인 것은 캐러테오도리의 존재 정리로서 $f$ 에 대한 약한 조건하에서 (더 일반적인 의미에서는) 존재를 증명한다.이 조건들은 충분할 뿐이지만, 오카무라의 정리처럼 초기 가치 문제의 해결이 고유하기 위한 필요하고도 충분한 조건도 존재한다.^[6]

참고 항목

메모들

^ 코딩턴 & 레빈슨(1955), 정리 I.3.1
^ Murray, Francis; Miller, Kenneth. Existence Theorems for Ordinary Differential Equations. p. 50.
^ Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry. Ordinary Differential Equations. p. 734.
^ Arnold, V. I. (1978). Ordinary Differential Equations. The MIT Press. ISBN 0-262-51018-9.
^ 코딩턴 & 레빈슨(1955), 페이지 7
^ Agarwal, Ravi P.; Lakshmikantham, V. (1993). Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations. World Scientific. p. 159. ISBN 981-02-1357-3.

참조

Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill. ISBN 9780070992566.
Lindelöf, E. (1894). "Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 118: 454–7. (그 글에서 린델뢰프는 피카르의 초기 접근법의 일반화에 대해 논한다.)
Teschl, Gerald (2012). "2.2. The basic existence and uniqueness result" (PDF). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Graduate Studies in Mathematics. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. p. 38. eISSN 2376-9203. ISBN 978-0-8218-8328-0. ISSN 1065-7339. Zbl 1263.34002.

외부 링크

"Cauchy-Lipschitz theorem". Encyclopedia of Mathematics.
고정 지점 및 Picard 알고리즘, http://www.krellinst.org/UCES/archive/classes/CNA/dir2.6/uces2.6.html에서 복구.
Grant, Christopher (1999). "Lecture 4: Picard-Lindelöf Theorem" (PDF). Math 634: Theory of Ordinary Differential Equations. Department of Mathematics, Brigham Young University.

[1] 코딩턴 & 레빈슨(1955), 정리 I.3.1

[2] Murray, Francis; Miller, Kenneth. Existence Theorems for Ordinary Differential Equations. p. 50.

[3] Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry. Ordinary Differential Equations. p. 734.

[4] Arnold, V. I. (1978). Ordinary Differential Equations. The MIT Press. ISBN 0-262-51018-9.

[5] 코딩턴 & 레빈슨(1955), 페이지 7

[6] Agarwal, Ravi P.; Lakshmikantham, V. (1993). Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations. World Scientific. p. 159. ISBN 981-02-1357-3.

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