국부 균일화

대수 기하학에서 국부적 균일화는 특이점 분해능의 약한 형태로서, 어떤 가치평가에 가까운 다양성을 착상할 수 있다고 대략 명시하거나, 다른 말로, 그 다양성의 자리스키-리만 공간이 어떤 의미에서는 비논리적인 공간이라고 언급하고 있다.지역 통일화는 자리스키(1939년, 1940년)가 도입하였는데, 이들은 다양성의 특이점 해결 문제를 지역 통일화 문제, 지역 통일화를 글로벌 담합화 문제 등으로 구분하였다.

기능 분야의 평가에서 다양성을 국소적으로 통일한다는 것은 평가의 중심이 비성적일 정도로 다양성의 프로젝트적 모델을 찾는 것을 의미한다.이것은 특이점의 분해능보다 약하다: 만약 특이점의 분해능이 있다면, 이것은 모든 평가의 중심이 비가성적일 수 있는 모델이다.Zariski(1944b)는 만약 어떤 사람이 변종의 국소적인 획일화를 보여줄 수 있다면, 모든 평가들이 적어도 이들 모델들 중 하나에서 비음향적인 중심을 가질 수 있는 한정된 수의 모델을 찾을 수 있다는 것을 증명했다.특이점의 분해능 증명을 완료하기 위해서는 이러한 유한 모델을 단일 모델로 결합할 수 있다는 것을 보여주는 것으로 충분하지만, 이것은 다소 어려워 보인다. (평가에서 국소 균일화는 가치평가의 중심에 있는 분해능을 직접적으로 의미하지는 않는다: 대략적으로 말하면, 그것은 단지 가까운 "웨지"의 해결을 의미할 뿐이다.점이며, 서로 다른 쐐기의 결함을 한 지점에서 결심으로 결합하는 것은 어려워 보인다.)

자리스키(1940년)는 특성 0의 분야에 걸쳐 어떤 차원에서도 국소적인 균일화를 입증했고, 이를 사용해 최대 3차원 특성 0의 품종에 대한 특이점 분해능을 입증했다.긍정적인 특성에서의 국소적 통일은 훨씬 더 어려워 보인다.아비얀카르(1956년, 1966년)는 표면의 모든 특성과 3배수의 특성의 최소 7개 특성에서 국부적 균일화를 입증했고, 이 사례에서 특이성의 세계적인 해상도를 추론할 수 있었다.커트코스키(2009)는 아비얀카르의 긴 증거를 단순화했다.코사르트와 필탄트(2008년, 2009년)는 아비얀카르의 3배 지역 균일화 증명서를 나머지 특징 2, 3, 5배까지 확대했다.템킨(2013년)은 기능분야의 순수하게 불가분의 확장을 취한 후 어떠한 평가도 지역적으로 획일화하는 것이 가능하다는 것을 보여주었다.

최소 4개 이상의 차원에 대한 양성 특성에서의 국소 균일화는 (2019년 기준) 개방적인 문제다.

참조

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• Abhyankar, Shreeram S. (1966), Resolution of singularities of embedded algebraic surfaces, Springer Monographs in Mathematics, Acad. Press, doi:10.1007/978-3-662-03580-1, ISBN 3-540-63719-2 (본문 2판)
• Cossart, Vincent; Piltant, Olivier (2008), "Resolution of singularities of threefolds in positive characteristic. I. Reduction to local uniformization on Artin–Schreier and purely inseparable coverings", Journal of Algebra, 320 (3): 1051–1082, doi:10.1016/j.jalgebra.2008.03.032, MR 2427629
• Cossart, Vincent; Piltant, Olivier (2009), "Resolution of singularities of threefolds in positive characteristic. II" (PDF), Journal of Algebra, 321 (7): 1836–1976, doi:10.1016/j.jalgebra.2008.11.030, MR 2494751
• Cutkosky, Steven Dale (2009), "Resolution of singularities for 3-folds in positive characteristic", Amer. J. Math., 131 (1): 59–127, arXiv:math/0606530, doi:10.1353/ajm.0.0036, JSTOR 40068184, MR 2488485, S2CID 2139305
• Temkin, Michael (2013), "Inseparable local uniformization", J. Algebra, 373: 65–119, arXiv:0804.1554, doi:10.1016/j.jalgebra.2012.09.023, MR 2995017, S2CID 115167009
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• Zariski, Oscar (1944a), "The compactness of the Riemann manifold of an abstract field of algebraic functions", Bulletin of the American Mathematical Society, 50 (10): 683–691, doi:10.1090/S0002-9904-1944-08206-2, ISSN 0002-9904, MR 0011573
• Zariski, Oscar (1944b), "Reduction of the singularities of algebraic three dimensional varieties", Ann. of Math., 2, 45 (3): 472–542, doi:10.2307/1969189, JSTOR 1969189, MR 0011006

외부 링크

• "Local uniformization", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]