형식 계획

수학에서, 특히 대수 기하학에서, 공식 체계는 그것의 주변 환경에 대한 데이터를 포함하는 공간의 한 유형이다.일반적인 체계와는 달리, 형식 체계에는 사실상 체계에서 벗어난 방향을 가리키는 극소수의 데이터가 포함된다.이 때문에 변형 이론과 같은 주제에서는 형식적인 계략이 자주 등장한다.그러나 그 개념은 또한 형식함수에 대한 정리 같은 정리를 증명하는 데에도 사용되는데, 이는 평소의 계략에 대한 관심의 이론들을 추론하는 데 사용된다.

국부적인 노메테리아식 계획은 표준적인 방식으로 국부적인 노메테리아식 형식주의로, 그 자체를 따라 형식적인 완성이다.즉, 국지적으로 노메테리아식 공식 계획의 범주는 모두 국지적으로 노메테리아식 계획을 포함하고 있다.

형식적인 계획은 자리스키의 형식적인 홀로모픽 함수 이론에 의해 동기 부여되고 일반화되었다.

형식 계획에 기초한 대수 기하학을 형식 대수 기하학 기하학이라고 한다.

정의

형식적인 계획은 대개 노메테리아 사건에서만 정의된다.노메테리아인이 아닌 공식 체계에 대한 몇 가지 정의가 있었지만, 이러한 정의들은 기술적인 문제에 부딪친다.결과적으로, 우리는 지역적으로만 노메테리아식 공식 계획을 정의할 것이다.

모든 링은 유닛과 호환되는 것으로 가정한다.A를 (노메테리아) 위상학적 고리, 즉 덧셈과 곱셈의 연산이 지속되는 위상학적 공간인 링 A가 되게 하라.0이 이상으로 구성된 기초를 가지고 있다면 A는 선형적으로 토폴로지된다.An ideal of definition ${\mathcal {J}}$ for a linearly topologized ring is an open ideal such that for every open neighborhood V of 0, there exists a positive integer n such that ${\mathcal {J}}^{n}\subseteq V$ . A linearly topologized ring is preadmissible if it admits an ideal of d그리고 그것이 또한 완전하다면 그것은 허용된다.(Bourbaki의 용어로, 이것은 "완전하고 분리된" 것이다.)

A이(가) ${\mathcal {J}}$ 된다고 가정하고 ${\mathcal {J}}$ J {\ $displaystyle$ {\ $mathcal{$ J}}을(를) 정의의 이상이라고 ${\mathcal {J}}$ 가정하십시오.기본 ${\mathcal {J}}$ 은 ${\mathcal {J}}$ J {\ $displaystyle$ {\ $mathcal{J$ }를 포함하는 경우에만 개방된다 ${\mathcal {J}}$ A의 오픈 프라이머리 이상 집합 또는 $동등하게 A의 프라이머리$ 이상 $집합$ 은 Spf A로 표시된 A의 공식 스펙트럼의 기초 위상학적 공간이다 $A/{\mathcal {J}}$ Spf A는 링 스펙트럼의 구조 덮개를 사용하여 정의한 구조 덮개를 가지고 있다 $A/{\mathcal {J}}$ ${\mathcal {J}}_{\lambda }$ ${\$ 정의 이상으로 구성된 0의 근린 기준이 되게 ${\mathcal {J}}_{\lambda }$ 하라. $A/{\mathcal {J}}_{\lambda }$ / $A/{\mathcal {J}}_{\lambda }$ ${\$ 의 모든 스펙트럼은 기초 위상학적 공간은 같지만 구조상 피복이 다르다 $A/{\mathcal {J}}_{\lambda }$ .Spf A의 구조 셰프는 투사 한계임 $\varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$ limit $\varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$ O $\varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$ $\varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$ / $\varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$ { { ${$ \ $displaystyle \varprojlim_$ {\ $lambda$ }{\ $lambda }{\lambda }{\lambda$

It can be shown that if f ∈ A and D_f is the set of all open prime ideals of A not containing f, then ${\mathcal {O}}_{{\text{Spf}}A}(D_{f})={\widehat {A_{f}}}$ , where ${\widehat {A_{f}}}$ is the completion of the localization A_f.

Finally, a locally noetherian formal scheme is a topologically ringed space $({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})$ (that is, a ringed space whose sheaf of rings is a sheaf of topological rings) such that each point of ${\mathfrak {X}}$ admits an open neighborhood (위상적으로 링이 있는 공간으로서) 노메트리안 링의 공식 스펙트럼에 대한 이소모르픽.

형식 계획 간의 형태론

A morphism $f:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {Y}}$ of locally noetherian formal schemes is a morphism of them as locally ringed spaces such that the induced map ${\displaystyle f^{\#}:$ $\감마(U,{\mathcal {O}_{\mathfrak {Y})\to \감마(f^{-1})(U),{\mathcal {O}_{\mathfrak {X})}}}}$ 은 $f^{{\#}}:\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{{\mathfrak {Y}}})\to \Gamma (f^{{-1}}(U),{\mathcal {O}}_{{\mathfrak {X}}})$ 모든 아핀 오픈 서브셋 U에 대한 위상 링의 연속적인 동형성이다.

f is said to be adic or ${\mathfrak {X}}$ is a ${\mathfrak {Y}}$ -adic formal scheme if there exists an ideal of definition ${\mathcal {I}}$ such that $f^{*}({\mathcal {I}}){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ is an id ${\mathfrak {X}}$ ${\$ 에 대한 정의 eal ${\mathfrak {X}}$ f가 아딕이라면 이 속성은 정의의 이상에 대해 보유한다.

예

이상 I 및 링 A에 대해 우리는 A에 I-adic 위상(I-adic 위상)을 정의할 수 있으며, A+Iⁿ 형식의 집합으로 구성된 기준으로 정의된다.이것은 A가 I-adially로 완결된 경우 허용되며, 허용된다.In this case Spf A is the topological space Spec A/I with sheaf of rings ${\text{lim}}_{n}{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/I^{n}}=\lim _{n}{\widetilde {A/I^{n}}}$ instead of ${\widetilde {A/I}}$ .

A=k[t]와 I=t.그러면 A/I=k 공간 Spf A는 그 구조물이 k[t] 값을 갖는 단일 지점(t)이다.이를 스펙 A/I와 비교해 보십시오. 이 시점에서 sheaf가 가치 k를 취하는 구조: 이것은 Spf A가 I에 대한 A의 '공식적 두께화'라는 아이디어의 예입니다.
폐쇄의 정식종료.이상적인 I=(y-x²³)에 의해 정의된 k 위에 부착된 평면의 닫힌 하위 체임 X를 고려한다.A₀=k[x,y]는 I-adic 완료에 대해 A로 작성해야 한다.이 경우 Spf A=X는 공간으로서, 구조는 $\lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}$ n $\lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}$ [ x $\lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}$ , $\lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}$ $\lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}$ / $\lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}$ $\lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}$ ~ ${\$ 이다. $I^{n$ 글로벌 섹션이 A/I인 X와는 반대로 글로벌 섹션이 A이다.

참고 항목

참조

Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.

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