로그 극좌표

수학에서 로그 극좌표(또는 로그 극좌표)는 2차원의 좌표계인데, 여기서 한 점을 특정 지점까지의 거리의 로그에 대해 한 점을, 그리고 각도에 대해 한 점을 두 개의 숫자로 식별한다. 로그극 좌표는 극좌표와 밀접하게 연결되어 있는데, 극좌표들은 대개 일종의 회전 대칭으로 평면의 도메인을 설명하는 데 사용된다. 고조파 및 복합 분석과 같은 영역에서 로그 극 좌표는 극좌표보다 표준 좌표가 더 많다.

정의 및 좌표 변환

평면 내 로그극 좌표는 실수의 쌍(ρ, θ)으로 구성되며, 여기서 ρ은 주어진 점과 원점 사이의 거리의 로그이며, θ은 기준선(x축)과 원점과 점을 통과하는 선 사이의 각이다. 각 좌표는 극좌표와 동일하며, 방사 좌표는 규칙에 따라 변형된다.

${\displaystyle r}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ $\}\}\}.$

여기서 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$은(는) 원점까지의 거리. 데카르트 좌표에서 로그 극 좌표로 변환하는 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\displaysty}\rho =\log {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},\\\theta =\arctan y/x{\hbox{{}}}}}}}}}}*x>0인 경우\end{case}}}$^{[문서 – 토의]}

로그극에서 데카르트 좌표로 변환하는 공식은

${\displaystyle {\case}x=e^{\rho }cos \theta ,\y=e^{\rho }\sin \theta .\end}}}}$

복잡한 숫자(x, y) = x + iy를 사용하여 후자의 변환을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle x+iy=e^{\rho +i\theta}}}$

즉, 복합 지수함수. 이로부터 고조파 및 복합 분석의 기본 방정식은 데카르트 좌표와 동일한 단순한 형태를 가질 것이다. 극좌표(극좌표)의 경우는 그렇지 않다.

로그 극 좌표의 몇 가지 중요한 방정식

라플라스 방정식

2차원의 라플라스 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\fract ^{2}u}{\frac x^{2}}:}+{\frac {\frac ^{2}u}{\flash y^{2}}=0}$

데카르트 좌표로. 극좌표에서 같은 방정식을 쓰는 것은 더 복잡한 방정식을 준다.

${\displaystyle r{\frac {\frac}{\propert r}}\왼쪽(r{\fract u}{\property r}}\frac {\propert ^{2}u}{\flict \theta ^{2}}=0}$

또는 동등하게

${\displaystyle \left(r{\frac {}{\reason r}\right)^{2}u+{\frac {\fract ^{2}u}{\reason \theta ^{2}}}=0}$

단, $관계{\displaystyle }$ r${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\rho }^{}}$ ${\$에서 $r$ ∂ r${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\partial \mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\rho }{}}$ $ρ$ { ${\partial r}}{\partial$ r$}={\frac {\partial }{\partial \rho}}}}}}$에 따라서 라플라스의 방정식은 로그극 좌표로 구분된다.

${\displaystyle {\frac {\fract ^{2}u}{\frho ^{2}}+{\frac {\frac ^{2}u}{\flash \theta ^{2}}=0}$

데카르트 좌표에서와 같은 간단한 식을 가지고 있다. 이것은 일치 매핑에 의해 데카르트 좌표로 변환되는 모든 좌표계에 적용된다. 따라서 회전 대칭이 있는 평면 부분(예: 원형 디스크)에 대한 라플레이스의 방정식을 고려할 때 로그 극 좌표는 자연스러운 선택이다.

코치-리만 방정식

분석 기능을 고려할 때 유사한 상황이 발생한다. ${\displaystyle \mathrm{데카르트}}$ 좌표로 작성된$$ 분석 함수 $f{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle u}$( x${\displaystyle }$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)}}$는 Cauchy-Remann 방정식을 만족한다.

${\displaystyle {\frac {\fract u}{\preason x}={\frac {\preason v}{\preason y},\ \ \ \\precovery y}=-{\fract v}{\preason v}{\preason x}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

대신 함수가 극형 $f{\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle e^{}}$ i ${\displaystyle {\theta }^{}}$)${\displaystyle }$= R ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\phi }}^{}}$ ${\$로 표현된다면$,$ Cauchy-Remann 방정식은 더 복잡한 형태를 취한다.

${\displaystyle r{\frac {\partial \log R}{\partial r}}={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial \log R}{\partial \theta }}=-r{\frac {\partial \Phi }{\partial r}},}$

라플레이스의 방정식의 경우와 마찬가지로, 극좌표를 로그극 좌표로 변경하여 데카르트 좌표의 단순한 형태를 회복한다($let{\displaystyle }$ P${\displaystyle }$= ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle$ P$=\log$ R$}).$

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial \rho }}={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial P}{\partial \theta }}=-{\frac {\partial \Phi }{\partial \rho }}}$

Cauchy-Remann 방정식도 다음과 같이 하나의 단일 방정식으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle \left\frac {\displaystyle \frac}{\preci{\frac {}{\precent y}\오른쪽)f(x+iy)=0}$

By expressing ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}}$ and ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}}$ in terms of ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \rho }}}$ and ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$ this equation can be written in the 등가 형식

${\displaystyle \left\frac {\reft }{\reho }}{\frac }}{\fract }{\recipal \theta }}f(e^{\rho +i\theta }=0}}}$

오일러 방정식

회전 대칭이 있는 영역에서 디리클레 문제를 해결하고 싶을 때는 라플레이스의 방정식에 대한 부분 미분 방정식에 대해 극성 형태로 변수를 분리하는 방법을 사용하는 것이 보통이다. 즉, $u{\displaystyle (r,}$ ${\displaystyle )}$) = ${\displaystyle R(}$r ) ${\displaystyle \mathrm{\theta }(\theta }$) ${\displaystyle ((\theta }$) ${\displaystyle u(r,\theta )=R(r)\$을 쓴다는 뜻이다.$세타(\theta$ $)\}.$ 라플레이스의 방정식은 이후 두 개의 일반적인 미분 방정식으로 분리된다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}\세타'(\theta )+\nu ^{2}\Theta(\teta )=0\\r^{2}R"+R'(r)-\nu ^{2}R(r)=0\end{case}}}}$

여기서 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$은(는) 상수임. 이 중 첫 번째는 계수가 일정하고 쉽게 풀린다. 두 번째는 오일러 방정식의 특수한 경우다.

${\displaystyle r^{2}R"(r)+crR'(r)+dR(r)=0}$

$여기$서 c${\displaystyle }$, ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle c,d}$은(는) 상수다. 이 방정식은 보통 $ansatz{\displaystyle }$ R${\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\lambda }^{}}$ ${\$ $\}\}\}\}$에 의해 해결되지만, 로그 극반경을 이용하여 다음과 같은 계수가 일정한 방정식으로 변경할 수 있다.

${\displaystyle P"(\rho )+(c-1)P'(\rho )+dP(\rho )=0}$

$라플레이스$의 방정식을 ${\displaystyle \mathrm{고려}}$할 때 $c{\displaystyle }$${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle c=1}$ $및$ d${\displaystyle }$= -${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ r ${\displaystyle r}$에 대한 방정식이 간단한 형태를 취함$$$$

${\displaystyle P"(\rho )-\nu ^{2}P(\rho )=0}$

데리클레 문제를 데리클레 좌표에서 해결할 때, 이것들은$$ 정확히 x$${\$displaystyle x}$과$$y {\$displaystyle$y}의 방정식이다$.$ 따라서, 다시 한번 회전 대칭이 있는 영역의 자연적인 선택은 극이 아니라, 오히려 로그 극, 좌표다.

이산 기하학

도메인에서 숫자적으로 PDE를 해결하려면 이 도메인에서 이산 좌표계가 도입되어야 한다. 도메인이 회전 대칭성을 가지고 있고 직사각형으로 구성된 그리드를 원한다면 극 좌표는 원의 중심에서 직사각형이 아닌 삼각형이 발생하기 때문에 좋지 않은 선택이다. 단, 다음과 같은 방법으로 로그극 좌표를 도입하면 이를 교정할 수 있다. 평면을 측면 ${\displaystyle }$ 2 $\$ {\$displaystyle \pi$} /n으로 정사각형 그리드로 나누십시오. 여기서 n은 양의 정수입니다. 복합 지수 함수를 사용하여 평면에 로그 극 격자를 작성한다. 그런 다음 왼쪽 하프 평면은 단위 디스크에 매핑되며, 반지름 수는 n과 같다. 대신 나선형으로 구성된 단위 디스크에 개별 좌표계를 제공하는 대각선을 이 정사각형에 매핑하는 것이 훨씬 유리할 수 있다. 오른쪽 그림을 보라.

디리클레-뉴만 연산자

후자의 좌표계는 예를 들어 디리클레와 노이만 문제를 다루는데 적합하다. 이산 좌표계가 단위 디스크에서 비방향 그래프로 해석되는 경우, 전기 네트워크의 모델로 간주할 수 있다. 그래프의 모든 라인 세그먼트에 대해 $함수{\displaystyle }$ $\$ {\$displaystyle \gamma }$에 의해 주어진 전도성을 연관시킨다$.$ 그러면 전기 네트워크는 단위 디스크의 디리클레 문제에 대한 이산 모델 역할을 하게 되는데, 여기서 라플라스 방정식은 키르호프의 법칙의 형태를 취한다. 원의 경계선에 있는 노드에는 경계 노드를 통해 전류(Neumann 데이터)를 유도하는 전위(Dirichlet data)가 정의된다. 디리클레 데이터에서$$ 노이만 데이터까지 선형 연산자 ${\$을 디리클레트-투-뉴만 연산자라고 하며, 네트워크의 위상과 전도성에 따라 달라진다.

연속 디스크의 경우, 전도성이 균일하면 $everywhere$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \gamma =1}$라고 하자 디리클레-투-뉴만 연산자는 다음 방정식을 만족한다.

${\displaystyle \Lambda _{\gamma }^{2}+{\frac {\partial ^{2}\{\partial \theta ^{2}}=0}$

디리클레 문제의 좋은 이산형 모델을 얻기 위해서는 디리클레-투-뉴만 연산자가 같은 속성을 갖고 있는 장치 디스크에서 그래프를 찾는 것이 유용할 것이다. 극좌표는 우리에게 어떤 해답을 주지 않지만, 이것은 근사/비법적이며, 로그 극좌표에 의해 주어지는 회전 대칭 네트워크가 우리에게 제공하는 것을 제공한다.^[1]

영상분석

이미 1970년대 말에 이산 나선 좌표계의 적용은 영상 분석에서 제공되었다. 데카르트 좌표가 아닌 이 좌표계의 영상을 나타내기 위해 이미지를 회전하거나 확대할 때 계산상의 이점을 제공한다. 또한 사람의 눈의 망막에 있는 광수용체는 나선 좌표계와 큰 유사성을 갖는 방식으로 분포한다.^[2] 만델브로트 프랙탈에서도 찾을 수 있다(오른쪽 그림 참조).

또한 로그 극 좌표는 라돈 변환과 그 역방향 변환을 위한 빠른 방법을 구성하는 데 사용될 수 있다.^[3]

참고 항목

• 극좌표
• 데카르트 좌표, 평행 좌표.
• 원통좌표
• 구형좌표

외부 링크

• 논뉴턴 미적분 웹사이트

참조